安徽省岳西中學(xué) 劉建華 （郵編：246600）

安徽省合肥市第四中學(xué) 周賽龍 （郵編：230000）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》（以下簡稱“標(biāo)準(zhǔn)”）強(qiáng)調(diào)高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情景,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展[1].在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中,解題教學(xué)是常規(guī)的教學(xué)方式之一.著名數(shù)學(xué)家波利亞說過：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”,作為一線數(shù)學(xué)教師,如何擺脫“題海戰(zhàn)術(shù)”,使解題教學(xué)真正成為提升學(xué)生思維品質(zhì)、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效方式,是我們一直探索并思考的問題.本文,筆者就以“2016 年清華大學(xué)自主招生第26 題的解答與拓展過程”為例,闡述這方面的實(shí)踐與感悟,旨在踐行“標(biāo)準(zhǔn)”對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維,提高學(xué)生核心素養(yǎng)的育人要求.

1 提出問題，引發(fā)思考

2016 年清華大學(xué)自主招生第26 題是這樣一道題：

原問題若O點(diǎn)為△ABC內(nèi)一點(diǎn),滿足SΔAOB∶SΔBOC∶SΔCOA=4∶3∶2,設(shè)則λ+μ=____.

此題是一道背景內(nèi)涵豐富、拓展空間廣闊、育人價(jià)值突出的平面向量綜合問題.但多數(shù)參考答案直接利用二級(jí)結(jié)論（奔馳定理）進(jìn)行求解,不僅人為給高中學(xué)習(xí)與自主招生考試之間制造了一條難以逾越的“鴻溝”,更與“標(biāo)準(zhǔn)”所倡導(dǎo)的“重視基礎(chǔ)、回歸教材”的理念背道而馳,嚴(yán)重流失了題目背后豐富的知識(shí)內(nèi)涵,育人價(jià)值難以體現(xiàn).

2 追本溯源，回歸基礎(chǔ)

我們知道,平面向量基本定理是對向量線性運(yùn)算幾何形式、代數(shù)形式的抽象概括與統(tǒng)領(lǐng),是解決向量問題的基礎(chǔ)知識(shí)[2].根據(jù)題目的條件,我們可以考慮利用平面向量基本定理,以為基底表達(dá)和研究此問題.那么,解決問題的關(guān)鍵是利用SΔAOB∶SΔBOC∶SΔCOA=4∶3∶2,確定點(diǎn)O在ΔABC內(nèi)部的具體位置.

解法1因?yàn)镾ΔAOB∶SΔBOC∶SΔCOA=4∶3∶2，

所以SΔAOB∶SΔABC=4∶9,SΔCOA∶SΔABC=2∶9，

結(jié)合O點(diǎn)為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)知：

點(diǎn)O既在與AB平行的線段DE上,又在與AC平行的線段FG上.

即：點(diǎn)O是DE與FG的交點(diǎn)，如圖1所示.且DE∶AB=5∶9,FG∶AC=7∶9.

圖1

另外,根據(jù)題目的條件背景,我們也容易聯(lián)想到向量的典型問題模型：三角形重心的向量表示.即：如圖2 所示,若O點(diǎn)為ΔABC重心,則有且SΔAOB∶SΔBOC∶SΔCOA∶SΔABC=1∶1∶1∶3.故也可嘗試將問題轉(zhuǎn)化為此基本模型進(jìn)行解決.

圖2

評(píng)注解法1 利用基底法將問題回歸到基本知識(shí),解法2 利用圖形構(gòu)造法將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的基本問題模型,兩種解法均利用平面向量“形”的特點(diǎn),結(jié)合向量的幾何意義,使問題的解答回歸到數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想及核心思維,體現(xiàn)了圖形構(gòu)造、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想.

3 拓展深化，展開聯(lián)想

3.1 初步拓展，揭示規(guī)律

我們知道,ΔABC三邊所在直線可以把一個(gè)平面劃分為7 個(gè)區(qū)域,如圖3 所示.而原題目中限定O點(diǎn)為ΔABC內(nèi)一點(diǎn),其實(shí)只考慮了點(diǎn)O在I 區(qū)的情況,那么,當(dāng)點(diǎn)O在其他區(qū)域時(shí)又是什么情況呢？為了揭示問題的一般規(guī)律,可以對原問題進(jìn)行如下拓展探究：

圖3

由于O點(diǎn)在平面內(nèi)位置未知,且m、n、t的取值具有不確定性,所以,該拓展問題再想利用平面向量“形”的特點(diǎn)求解就會(huì)存在一定難度.不過,我們知道,平面向量除了具有“形”的特點(diǎn)外,還兼具“數(shù)”的特點(diǎn).平面向量的坐標(biāo)就是向量的代數(shù)表示,它可以使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化,是將某些復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)量運(yùn)算的橋梁.因此,我們可以考慮使用向量坐標(biāo)法來解決此問題.

解如圖4 所示,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),邊AB所在直線為x軸建立坐標(biāo)系.則：A(0,0).

圖4

設(shè)：B(xB,0),C(xC,yC),O(x,y),則：

通過對拓展問題的探究與求解,最終揭示問題的一般規(guī)律：

3.2 深入拓展，發(fā)散思維

在結(jié)論1 的基礎(chǔ)上,我們又可以進(jìn)一步思考：若O點(diǎn)是空間中一點(diǎn),有沒有與平面內(nèi)類似的規(guī)律呢？即引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論1 由二維平面類比到三維空間得到并證明結(jié)論2：

結(jié)論2 的證明方法與結(jié)論1 類似,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,運(yùn)用向量坐標(biāo)法即可證之,可由學(xué)生自主獨(dú)立完成,此處不再贅述.

評(píng)注一方面,平面向量是溝通代數(shù)、幾何的有利工具,兼具“數(shù)”和“形”的特點(diǎn).采用向量坐標(biāo)法對問題進(jìn)行求解,不僅將復(fù)雜的幾何問題代數(shù)化,而且通過代數(shù)運(yùn)算和代數(shù)式往往更容易發(fā)現(xiàn)問題的一般規(guī)律,如結(jié)論1、2 的發(fā)現(xiàn).另一方面,結(jié)論1、2 是對原問題逐步拓展所生成的新收獲,通過對問題的不斷拓展深化,不僅可以加深學(xué)生對問題本質(zhì)規(guī)律的理解與掌握,更能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、核心素養(yǎng)都得到充分的發(fā)散與發(fā)展,是培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的有效方式.另外,結(jié)論1 其實(shí)與奔馳定理本質(zhì)相同,當(dāng)O點(diǎn)在ΔABC內(nèi)部時(shí),SΔAOB∶SΔBOC∶SΔCOA∶SΔABC=t∶m∶n∶(m+n+t),將 式 子中的m、n、t用面積進(jìn)行替換,即可得到奔馳定理由此可使學(xué)生感受到,大學(xué)自主招生也并非如此“高不可攀”,回歸到中學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法,同樣可以揭開自主招生試題的神秘面紗.

4 變式應(yīng)用，體驗(yàn)收獲

首先,為了體驗(yàn)原問題的一般性,不限定O點(diǎn)在ΔABC內(nèi)部,對其做如下變式：

根據(jù)結(jié)論1 的問題模型可知：SΔAOB∶SΔBOC∶SΔCOA=|μ|∶|1-λ-μ|∶|λ|=4∶3∶2.

因此,變式問題可結(jié)合上圖3 按區(qū)域進(jìn)行分類求解,具體見下表1：

表1

μ ＜0,1-λ-μ ＜0,λ ＞0 V ■■■■■()-μ ∶(λ+μ-1)∶λ=4∶3∶2不存在__不存在__VI ■■_____■μ ＞0,1-λ-μ ＜0,λ ＞0 μ∶(λ+μ-1)∶λ=4∶3∶2 VII ■■■■μ ＞0,1-λ-μ ＜0,λ ＜0 μ∶(λ+μ-1)∶()-λ=4∶3∶2 4 3 _______________________________________________________________不存在2 3 不存在不存在 2 不存在

綜上可知：λ+μ=或±2.

另外,為了體驗(yàn)原問題的發(fā)散性,不限定O點(diǎn)在平面內(nèi),對其做如下變式：

評(píng)注變式問題1、2 是對結(jié)論1、2 的鞏固應(yīng)用.對于變式問題1,點(diǎn)O在II～VII 區(qū)域本質(zhì)上與在I 區(qū)的情況類似,所以,也可以鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)利用平面向量“形”的特點(diǎn),類比原問題的2 種解法來解決此問題.對于變式問題2,類似地,空間中三棱錐A-BCD的四個(gè)平面可以把空間分為15 個(gè)區(qū)域,點(diǎn)O除了在三棱錐A-BCD內(nèi)部之外,在空間中的其他區(qū)域的情況又如何呢？這些想法的實(shí)踐對學(xué)生數(shù)學(xué)能力、思維、素養(yǎng)的發(fā)展同樣具有重要價(jià)值,可留給學(xué)生課下慢慢探究.另外,通過變式問題對結(jié)論的應(yīng)用,不僅可以使學(xué)生體會(huì)到拓展探究、獲得知識(shí)的價(jià)值與快樂,更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情以及創(chuàng)新、創(chuàng)造的信心.

5 總結(jié)反思 感悟啟示

《怎樣解題》中有這樣一段話：“解決數(shù)學(xué)問題要善于聯(lián)想——你以前見過它嗎？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用的上的定理？這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有聯(lián)系且早已解決的問題,你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？……[3]”根據(jù)以上啟發(fā)并結(jié)合教學(xué)實(shí)踐,筆者認(rèn)為,在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,有效的解題探究過程大體會(huì)經(jīng)歷如下4 個(gè)階段：

（1）明確問題,回歸基礎(chǔ),尋找“依靠”.當(dāng)學(xué)生面對一個(gè)問題毫無解題思路時(shí),首先,必須理解該題目的語言陳述——未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？這樣才能聯(lián)系題目初步思考與問題相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)是什么？基本方法是什么？以此找到解決問題的基本“依靠”；

（2）聯(lián)系問題,探求思路,確定解法.好的思路來源于過去的經(jīng)驗(yàn)和以前獲得的知識(shí).在明確題目考察知識(shí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上,可進(jìn)一步思考與問題類似的基本問題模型是什么？這些問題間有什么區(qū)別和聯(lián)系？依次考慮變化問題的不同方面,在腦海中不斷地把它們轉(zhuǎn)一遍又一遍,在變化問題的過程中,通過分解、重組題目元素,或者應(yīng)用普遍化、特殊化、類比的豐富來源,篩選出有效解決問題的關(guān)鍵思路以及可行解法；

（3）反思問題,凝結(jié)歸納,深化理解.解題教學(xué)的目的不是讓學(xué)生為了解題而“解題”,而是讓學(xué)生通過解題而“學(xué)會(huì)解題”.因此,在解決問題后,教師要帶領(lǐng)學(xué)生回顧完整的答案,重新斟酌、審查結(jié)果及導(dǎo)致結(jié)果的途徑,深度反思解決此類問題的關(guān)鍵知識(shí)與基本思想,及時(shí)凝結(jié)出解決問題的核心思維和基本方法,這對學(xué)生厘清問題知識(shí)本質(zhì)、深化數(shù)學(xué)思想理解、提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力大有裨益；一個(gè)好的教師必須要使他的學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到：沒有一個(gè)題目是徹底完成的了.總還會(huì)有些事情可以做；在經(jīng)過充分的研究和洞察后,我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)；而且無論如何,我們總可以深化我們對答案的理解[4]；

（4）拓展問題,揭示規(guī)律,發(fā)散思維.在學(xué)生已有問題解決的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上,積極地開展思考與發(fā)現(xiàn),大膽地進(jìn)行創(chuàng)新與拓展,充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的主體地位,在系統(tǒng)構(gòu)建知識(shí)體系的同時(shí),形成深入思考的習(xí)慣、拓展探究的方法以及創(chuàng)新創(chuàng)造的信心.這不僅是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)、揭示問題的一般規(guī)律、充分發(fā)散學(xué)生思維的有效途徑,更是提升學(xué)生思維品質(zhì)、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要載體[5].

如此就要求,解題教學(xué),一方面應(yīng)努力縱向延伸,追溯問題本源、探尋知識(shí)本質(zhì),將學(xué)習(xí)與思考不斷深入；另一方面也要積極橫向拓展,揭示一般規(guī)律,發(fā)散數(shù)學(xué)思維,培養(yǎng)數(shù)學(xué)實(shí)踐與創(chuàng)新意識(shí).最終,在縱橫貫通中,將“就題論題”經(jīng)由“就題論法”上升到“就題論道”層面,使解題教學(xué)真正成為提升學(xué)生思維品質(zhì)、促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)提升的有效方式.另外,需要強(qiáng)調(diào)的是,在解題教學(xué)過程中,不一定每一次解題都要經(jīng)歷上述所有階段,但是,就如波利亞所說：“一個(gè)專心的、認(rèn)真的老師能拿出一個(gè)有意義但又不復(fù)雜的題目,去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面,使得通過這道題,就好像一道門,把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”有效的解題教學(xué),一定是我們努力追求的方向.