王 清, 蘇正煉, 嚴(yán) 駿

(陸軍工程大學(xué) 野戰(zhàn)工程學(xué)院, 江蘇 南京 210007)

在裝備維修器材管理中，器材的儲存與轉(zhuǎn)運(yùn)主要借助倉庫實(shí)現(xiàn)。為了在部隊(duì)要求的任何地區(qū)都能提供所需的軍事裝備維修器材，應(yīng)當(dāng)構(gòu)建合理的儲備布局[1]。裝備維修器材倉庫的選址決定了后期器材輸送的模式與成本，建設(shè)耗資巨大，位置不宜隨意變動。以往考慮選址因素(如部隊(duì)分布、建設(shè)費(fèi)用、交通狀況、運(yùn)輸距離、運(yùn)輸成本和部隊(duì)需求等[2])時(shí)，為計(jì)算方便，均假設(shè)為定值。但某些參數(shù)的微小擾動可能使原決策由最優(yōu)解變成次優(yōu)解或不可行解。因此，不確定參數(shù)下的裝備維修器材倉庫選址問題更加貼近實(shí)用，通過建立具有較高抗干擾能力的數(shù)學(xué)模型，使解在參數(shù)攝動時(shí)始終具有可行性與優(yōu)化性，可以為決策者提供更為穩(wěn)定的決策方案。

文獻(xiàn)[3]提出了魯棒優(yōu)化解決參數(shù)擾動，得到了眾多國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[4]研究了離散需求情景概率不確定下的多周期庫存魯棒優(yōu)化模型，驗(yàn)證了所建模型能抑制需求分布不確定對庫存績效的影響。文獻(xiàn)[5]考慮了多重覆蓋的應(yīng)急設(shè)施協(xié)同布局魯棒優(yōu)化問題，建立了雙目標(biāo)優(yōu)化模型，研究了場景內(nèi)不確定需求和隨機(jī)場景對設(shè)施布局的影響，并驗(yàn)證模型。文獻(xiàn)[6]針對2個(gè)階段的應(yīng)急設(shè)施選址建立了魯棒優(yōu)化模型，通過與傳統(tǒng)P-center模型對比說明了模型的合理性與有效性。文獻(xiàn)[7]研究了兩個(gè)受車輛容量和時(shí)間窗限制的魯棒優(yōu)化模型，對車輛路線進(jìn)行了優(yōu)化，減少了距離和時(shí)間。文獻(xiàn)[8]考慮了項(xiàng)目調(diào)度中的工期不確定，建立的自適應(yīng)魯棒優(yōu)化模型減少了最壞情況下的完工時(shí)間。文獻(xiàn)[9]在能源供應(yīng)系統(tǒng)中建立了多目標(biāo)魯棒優(yōu)化模型，利用混合整數(shù)線性規(guī)劃求解，說明了魯棒優(yōu)化在能源設(shè)計(jì)領(lǐng)域的作用。文獻(xiàn)[10]針對不確定條件下的指派問題，在目標(biāo)函數(shù)中添加了2個(gè)懲罰加權(quán)系數(shù)來表達(dá)決策者對風(fēng)險(xiǎn)的防范程度，實(shí)現(xiàn)模型與解的魯棒性平衡。

目前，魯棒性主要應(yīng)用在機(jī)器控制、民用供應(yīng)鏈等方面，在軍事方面的應(yīng)用較少，基于魯棒優(yōu)化的裝備維修器材選址模型研究不多，其中的多目標(biāo)問題研究更少。通過研究不確定參數(shù)下的器材倉庫選址，不僅可在理論上豐富魯棒優(yōu)化理論，而且具有較強(qiáng)的軍事效益。根據(jù)器材倉庫選址的實(shí)際情況，本文主要采用情景分析法描述維修器材需求量的不確定性，建立對應(yīng)的雙目標(biāo)魯棒優(yōu)化模型，結(jié)合智能算法對問題求解，并研究風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)對目標(biāo)函數(shù)及其方差的影響。

1 模型建立

1.1 模型描述

結(jié)合傳統(tǒng)的覆蓋問題、中心問題和中位問題[11]，對本文模型進(jìn)行選址。在固定區(qū)域范圍內(nèi)，若干維修基層分隊(duì)對某型裝備維修器材存在需求，而且需求量不確定，但可表示為多種情景的集合，可以從已知需求點(diǎn)中選出建立裝備維修器材倉庫的位置，實(shí)現(xiàn)對所有需求點(diǎn)的器材補(bǔ)給，使得需求為集合中任一情景時(shí)，選址方案的特定目標(biāo)函數(shù)值及其波動最小。為準(zhǔn)確描述模型，需做以下假設(shè)：(1)倉庫位置只能從需求點(diǎn)中選出，不得重新另選地址構(gòu)建，一個(gè)需求點(diǎn)只能由一個(gè)倉庫實(shí)施保障；(2)倉庫選址的相關(guān)費(fèi)用已知，暫時(shí)不受市場影響，為定值；(3)倉庫的車輛運(yùn)輸與儲備能力能夠滿足模型需求；(4)各器材需求點(diǎn)位置確定，調(diào)度過程不能更改。

1.2 確定模型結(jié)構(gòu)

當(dāng)需求存在多種情景時(shí)，為方便構(gòu)造魯棒優(yōu)化模型，并與魯棒解結(jié)果對比，首先建立需求確定時(shí)的裝備維修器材倉庫選址模型(Definitive model，DM)，以獲得各情景下的最佳目標(biāo)函數(shù)值。

定義各參數(shù)如下：J為倉庫總數(shù)量；K為需求點(diǎn)總數(shù)量；j為倉庫編號，j=1,2,…,J；k為需求點(diǎn)編號，k=1,2,…K；Bj為第j個(gè)倉庫的固定建設(shè)成本；djk為器材倉庫j到需求點(diǎn)k的距離；N為擬選倉庫位置的總數(shù)量；qk為需求點(diǎn)k的維修器材需求量；mk為單位維修器材在需求點(diǎn)k的效用系數(shù)；cjk為倉庫j向k部隊(duì)運(yùn)送的單位數(shù)量維修器材單位距離運(yùn)費(fèi)；Yjk為第j個(gè)器材倉庫與第k個(gè)需求點(diǎn)之間是否存在供需關(guān)系，是則取1，否則取0；Xj為第j個(gè)裝備需求點(diǎn)位置，若位置為維修器材倉庫時(shí)取1，否則取0。

模型目標(biāo)函數(shù)包括f1和f2，f1為效用值，f2為總成本值，其表達(dá)式分別為

(1)

(2)

根據(jù)模型描述，約束條件包括

(3)

(4)

Yjk≤Xj

(5)

Xj∈{0,1}

(6)

Yjk∈{0,1}

(7)

式(1，2)為目標(biāo)函數(shù)，式(3)為一個(gè)需求點(diǎn)只能由一個(gè)維修器材倉庫提供器材保障，式(4)為維修器材倉庫的數(shù)量要求，式(5)為只有被選擇出來的倉庫才能與需求點(diǎn)產(chǎn)生供需關(guān)系，式(6，7)為決策變量的0、1約束。

1.3 基于魯棒優(yōu)化的雙目標(biāo)選址模型

魯棒優(yōu)化方法對不確定量的描述一般有區(qū)間分析法與情景分析法2種[12]。維修器材需求數(shù)量對決策方案的選擇具有較大影響，情景集合主要描述日常訓(xùn)練、戰(zhàn)時(shí)保障、非戰(zhàn)爭軍事行動等場合的需求差別。魯棒優(yōu)化中的差異模型引入了風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)，更便于調(diào)節(jié)解的優(yōu)化性與魯棒性[13]。在DM基礎(chǔ)上，建立魯棒優(yōu)化模型(Robust optimization model，ROM)。

(8)

(9)

(10)

(11)

ROM的約束條件與DM相同。

在不同的情景下：式(9)將式(1)的最大化效用轉(zhuǎn)化為最小化問題，便于魯棒模型建立與求解，M為固定值；式(11)為情景s下的建設(shè)固定費(fèi)用與運(yùn)輸費(fèi)用之和；式(8，10)的F1和F2為魯棒優(yōu)化的雙目標(biāo)函數(shù)值，分別引入了風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)λ1和λ2，構(gòu)成各自風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)，用于決策者權(quán)衡模型的魯棒性與優(yōu)化性。

2 模型求解

魯棒優(yōu)化模型中，式(8，9)為二次項(xiàng)，屬于非線性整數(shù)規(guī)劃模型，用精確算法、枚舉法與一般商業(yè)軟件難以求解[14]，本文選用多目標(biāo)智能算法中的NSGA-Ⅱ?qū)δＰ瓦M(jìn)行求解，算法具體步驟為：

(1)染色體編碼，構(gòu)建初始種群P。采用實(shí)數(shù)編碼，從1～K共K個(gè)數(shù)中不重復(fù)地選擇N個(gè)整數(shù)，表示N個(gè)倉庫點(diǎn)，形成染色體，如K=4，N=20時(shí)，染色體2-6-12-18表示選擇第2、6、12和18個(gè)需求點(diǎn)作為倉庫地址。重復(fù)執(zhí)行，直到產(chǎn)生滿足數(shù)量n的染色體作為初始種群P。

(2)計(jì)算各目標(biāo)值，進(jìn)行非支配排序。對種群P中的每個(gè)個(gè)體xi，兩兩比較對應(yīng)的所有目標(biāo)值，若不存在xj的所有目標(biāo)值均優(yōu)于xi的目標(biāo)值(xj≠xi)，則令xi解的秩為ra=1，所有互不支配的xi構(gòu)成集合Q1。在集合(P-Q1)中，若不存在其他解完全支配解xk，則令xk的秩為ra=2，所有互不支配的xk構(gòu)成集合Q2。依次進(jìn)行下去，直到所有個(gè)體均被賦予秩值。在同等秩的解中，再按照其擁擠距離[15]排序，擁擠距離大的優(yōu)先。

(3)遺傳操作，生成子代P′。遺傳操作包括交叉與變異，與傳統(tǒng)遺傳算法類似。遺傳操作并非對所有父代進(jìn)行，在產(chǎn)生的初始種群中采用二元錦標(biāo)賽方式產(chǎn)生交配池規(guī)模為t的父代個(gè)體，針對這些父代個(gè)體實(shí)施交叉、變異得到子代P′。

(4)對父代與子代綜合P∪P′個(gè)體進(jìn)行非劣排序，計(jì)算擁擠距離d。將步驟(3)得到的子代P′與最初的P進(jìn)行合并，按照步驟(2)的計(jì)算方法得到種群的秩與擁擠距離。

(5)前n個(gè)個(gè)體精英保留。當(dāng)ra

(6)解的選取。多目標(biāo)問題與單目標(biāo)問題的不同之處在于同時(shí)存在多個(gè)解，在無特殊說明時(shí)無法決定哪個(gè)解為最優(yōu)解。若將每個(gè)情景下所有的Pareto解都代入計(jì)算，將會造成計(jì)算量較大，因此有必要在每個(gè)Pareto解集中根據(jù)一定規(guī)則選擇相對較好的解作為最優(yōu)解。常用做法是從基于多目標(biāo)之間的均衡性出發(fā)，選擇解集距離烏托邦點(diǎn)(Utopia point)最近的點(diǎn)作為最佳解輸出[16]，如圖1所示。具體做法以雙目標(biāo)為例，描述如下：① 在目標(biāo)空間f1和f2找到Pareto解集的極值點(diǎn)h1和h2，分別沿各自坐標(biāo)作平行線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為烏托邦點(diǎn)；② 以烏托邦點(diǎn)為中心，與Pareto解集中距離最近的點(diǎn)作為選取出的最終解向量X。

圖1 烏托邦點(diǎn)下的最佳解選取

3 實(shí)例驗(yàn)證

3.1 模型實(shí)驗(yàn)分析

在600×400區(qū)域范圍內(nèi)存在20個(gè)裝備維修器材需求點(diǎn)，從中選擇4個(gè)作為倉庫，以q1=(58,83,83,55,64,64,47,83,83,64,55,47,54,37,68,74,83,64,92,46)為基準(zhǔn)，根據(jù)不同需求在±40%隨機(jī)波動產(chǎn)生q2～q10，共10種情景。

情景出現(xiàn)概率向量p=(0.05,0.05,0.1,0.15,0.15,0.15,0.1,0.15,0.05,0.05)。

固定建設(shè)成本B=(102,124,133,112,139,100,138,89,162,129,130,96,104,153,126,116,135,148,127,116)。

按照上述計(jì)算過程求解模型。其他參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 算法參數(shù)設(shè)置

表2 各情景下的DM解

為體現(xiàn)魯棒優(yōu)化模型的效果，同時(shí)利用隨機(jī)優(yōu)化方法計(jì)算解，剔除2個(gè)目標(biāo)函數(shù)中的風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)，僅將期望值作為目標(biāo)，模型記為SOM。使用NSGA-Ⅱ算法求解ROM與SOM，得到兩者的Pareto前沿，如圖2所示。其中，SOM選址最佳方案為6-8-2-19，目標(biāo)值為f1，SOM=2.070 3，f2，SOM=508 792。ROM選址最佳方案為2-13-19-9，目標(biāo)值分別為f1，ROM=2.827 8，f2，ROM=586 423，模型各選址中心覆蓋的需求點(diǎn)如表3所示。

圖2 ROM、SOM的pareto前沿

表3 SOM與ROM最優(yōu)選址方案

圖2中，Ur，Us和Xr，Xs分別表示ROM，SOM的烏托邦點(diǎn)與距離該點(diǎn)最近的Pareto解集中的解向量，作為對應(yīng)模型解。

為驗(yàn)證解的有效性，將SOM和ROM選址方案代入10種情景集合中，分別計(jì)算在當(dāng)前情景下的目標(biāo)函數(shù)值，平均值和方差的結(jié)果如表4所示。

表4 DM、SOM和ROM計(jì)算結(jié)果

對比ROM與SOM解對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，ROM下的平均值2.069 8、586 831均分別大于SOM的2.037 9和526 234，也分別大于DM的1.905 4與514 593，這是控制目標(biāo)函數(shù)的變化程度而添加懲罰項(xiàng)造成的。

從表4的平均值與方差可以看出，確定情景下SOM和ROM目標(biāo)函數(shù)均大于DM模型目標(biāo)值。ROM在平均值指標(biāo)上雖然相對較差，但在方差指標(biāo)上，ROM卻占明顯優(yōu)勢。目標(biāo)1的方差為0.017 2，只有DM和SOM的1/2～1/3，目標(biāo)2的方差為1.1×107，亦小于DM和SOM，說明無論發(fā)生何種情況，ROM始終能保證解在2個(gè)目標(biāo)函數(shù)的變動范圍相對較小，使得選址方案基本可行，避免因需求參數(shù)變動出現(xiàn)反復(fù)決策。

3.2 風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)λ分析

在雙目標(biāo)中，引入了2個(gè)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)λ1和λ2，用以調(diào)節(jié)模型優(yōu)化與魯棒性，在諸多文獻(xiàn)中一般只研究單目標(biāo)時(shí)情景分析方法下的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)、目標(biāo)函數(shù)和方差關(guān)系[17-18]，而對多目標(biāo)下風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)的研究較少?；诖耍謩e設(shè)計(jì)了2個(gè)風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)變化時(shí)對2個(gè)目標(biāo)值和方差的影響實(shí)驗(yàn)。

固定λ1=50，λ2從0.001 5以0.001的步長均勻變化到0.010 5，得到f1=3.32，σ1=0.017 2，目標(biāo)函數(shù)f2及方差σ2的結(jié)果如圖3(a)所示。固定λ2=0.005 5，λ1從10以10的步長均勻變化到100，得到f2=537 773，σ2=1.1×107，目標(biāo)函數(shù)f1及方差σ1結(jié)果如圖3(b)所示。

圖3 λ1、λ2變化時(shí)目標(biāo)函數(shù)值與方差的關(guān)系

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，固定λ1=50時(shí)，λ2的變化并未對目標(biāo)函數(shù)f1及方差σ1造成影響，仍然為定值。而從圖3(a)可以發(fā)現(xiàn)，目標(biāo)函數(shù)f2隨著λ2的增加逐步遞增，方差σ2相應(yīng)降低，說明當(dāng)決策者重視該目標(biāo)的偏差程度，希望得到更小的方差時(shí)，必須付出更大的費(fèi)用代價(jià)。同樣的結(jié)論在圖3(b)中也能得出，當(dāng)方差σ1越小時(shí)，目標(biāo)函數(shù)f1更大。由式(10)進(jìn)一步可知對應(yīng)效用值降低，說明穩(wěn)定需要損失一定的效益值才能獲得。但是過分追求方差最小化可能導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)的快速上升，因此必須在可接受的范圍內(nèi)調(diào)整各風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)。

針對2種風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)λ1和λ2的變化規(guī)律，決策者可根據(jù)不同的情景采用不同的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)值。平時(shí)情況下的裝備維修器材選址時(shí)，主要考慮經(jīng)濟(jì)因素，決策者多希望在需求不確定時(shí)，總費(fèi)用投資變化不大，這時(shí)主要通過選取合適的λ2獲得較為理想的選址方案。而在戰(zhàn)爭或者緊急救援行動中，多以效益值(如可救助人數(shù)、維修保障程度)優(yōu)先，因此需保證任何情景下的效益值變化最小，這時(shí)需要適當(dāng)增加λ1。2個(gè)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)的獨(dú)立取值可使決策者在面對不同需求時(shí)具有更加靈活的應(yīng)對策略。

4 結(jié)論

需求量的不確定性是裝備維修器材倉庫選址中必須考慮的問題，應(yīng)采取措施保證決策方案的持續(xù)有效。本文采用情景分析法描述需求量的變化，在效益與成本的雙目標(biāo)函數(shù)中均引入風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)控制各目標(biāo)的波動范圍，得到了器材倉庫選址問題的魯棒優(yōu)化模型。MATLAB實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，相對隨機(jī)優(yōu)化而言，魯棒優(yōu)化可通過犧牲部分函數(shù)值獲得更加穩(wěn)定的魯棒解。同時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)也有助于決策者根據(jù)決策環(huán)境靈活制定選址方案。但情景分析法仍然無法很好地表述參數(shù)變動規(guī)律，由于仍存在一定誤差，下一步將集中研究不同參數(shù)變化規(guī)律下的裝備維修器材倉庫選址魯棒優(yōu)化模型。