陳 楊， 徐曉雙， 趙亮亮， 劉保軍

(1.空軍工程大學(xué)，河南 信陽 464000；2.信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 信陽 464000)

航空彈藥是航空兵作戰(zhàn)的機(jī)載彈藥總稱。海灣戰(zhàn)爭之后，戰(zhàn)爭消耗量大是世界各國一致的認(rèn)識，靠主觀經(jīng)驗進(jìn)行航空彈藥需求預(yù)測的做法已經(jīng)不能滿足未來作戰(zhàn)的需求。減少主觀因素所帶來的缺陷，是當(dāng)前空軍部隊航空彈藥保障工作中亟待解決的重大問題。目前，對航空彈藥的需求預(yù)測有數(shù)理模型預(yù)測、案例推理法、規(guī)則推理法、統(tǒng)計學(xué)法、微分方程法等，每種方法各有優(yōu)缺點。統(tǒng)計學(xué)和微分方程法難度不高，但是精度同樣不高；案例推理法和規(guī)則推理法精度適中，時間短，但是處理效率低；數(shù)理模型預(yù)測具有精度較高、時間短的特點，同時具備一定的通用性，便于移植。本文采用數(shù)理模型預(yù)測對航空彈藥需求進(jìn)行分析。航空彈藥的需求預(yù)測分為平時需求預(yù)測及戰(zhàn)時需求預(yù)測。航空彈藥的平時需求量可根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，通過構(gòu)建合理的模型實現(xiàn)預(yù)測；對于戰(zhàn)時的需求量，則根據(jù)不同的航空彈藥種類構(gòu)建不同的模型進(jìn)行預(yù)測，由需求結(jié)構(gòu)及數(shù)量兩部分組成。

傳統(tǒng)的航空彈藥作戰(zhàn)需求總量預(yù)測是建立在指揮員對以往作戰(zhàn)經(jīng)驗總結(jié)的基礎(chǔ)上，這種方法曾經(jīng)為作戰(zhàn)勝利發(fā)揮了重要的作用。但是，隨著航空彈藥的發(fā)展及空戰(zhàn)模式的改變，這種方法有很大的局限性，已不能滿足未來戰(zhàn)爭的需求。國外研究方面，文獻(xiàn)[1]提出了基于MarKov模型的戰(zhàn)時彈藥預(yù)測，利用3σ準(zhǔn)則提取航空彈藥供應(yīng)能力關(guān)鍵指標(biāo)，組建戰(zhàn)時彈藥保障評價體系，用遺傳算法進(jìn)化尋優(yōu)彈藥供應(yīng)保障模型。此模型精度高，但是可擴(kuò)展性差。文獻(xiàn)[2]提出了Bayesian準(zhǔn)則的預(yù)測模型，該方法依據(jù)方差分解和最優(yōu)線性非齊次預(yù)測給出戰(zhàn)時航空彈藥的需求預(yù)測模型。此模型具有可行性，但預(yù)測精度低。國內(nèi)研究方面，文獻(xiàn)[3]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對航空彈藥作戰(zhàn)需求進(jìn)行預(yù)測，克服了局部收斂的問題，預(yù)測精度較高，達(dá)到了全局最優(yōu)效果。文獻(xiàn)[4]基于歷史數(shù)據(jù)構(gòu)建了航空彈藥需求的多元線性回歸預(yù)測模型，并對模型進(jìn)行了F檢驗及t檢驗。文獻(xiàn)[5]分析了航空彈藥需求的多元線性回歸預(yù)測、灰色預(yù)測、并聯(lián)及串聯(lián)灰色多元回歸預(yù)測，提供了較多的選擇余地，取得了較好的預(yù)測效果，但其針對的是平時作戰(zhàn)需求。文獻(xiàn)[6]基于蘭徹斯特模型對戰(zhàn)時的作戰(zhàn)需求進(jìn)行預(yù)測，模型充分考慮了作戰(zhàn)效能對需求的影響。但上述模型均未考慮需求結(jié)構(gòu)的影響。本文采用唯象型預(yù)測思想，通過對最近發(fā)生的戰(zhàn)爭進(jìn)行研究，掌握航空彈藥的作戰(zhàn)需求規(guī)律，再搜集當(dāng)前戰(zhàn)爭幾個數(shù)據(jù)點，可對航空彈藥作戰(zhàn)需求總量進(jìn)行預(yù)測。在需求總量預(yù)測的基礎(chǔ)上，結(jié)合航空彈藥作戰(zhàn)的具體情況，建立需求結(jié)構(gòu)模型，對主要作戰(zhàn)因素、目標(biāo)因素和炸彈自身因素進(jìn)行定性和定量分析，得到航空彈藥作戰(zhàn)需求的最優(yōu)結(jié)構(gòu)，作為航空彈藥需求的決策依據(jù)。

1 航空彈藥作戰(zhàn)需求總量預(yù)測模型

航空彈藥是重要的壓制火力，作戰(zhàn)需求量極大，如果僅依據(jù)指揮員的歷史經(jīng)驗進(jìn)行預(yù)測，則存在很大偏差：預(yù)測總量過大，會帶來巨大的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)；過小，則不能滿足作戰(zhàn)需求。

1.1 威布爾分布

威布爾分布在實際中有著廣泛的應(yīng)用，在航空彈藥作戰(zhàn)需求量預(yù)測和壽命估計中發(fā)揮著重要作用[7]。

三參數(shù)威布爾分布的概率分布特征函數(shù)[8-9]為

(1)概率密度函數(shù)

(1)

(2)分布函數(shù)

(2)

(3)數(shù)學(xué)期望

(3)

(4)數(shù)學(xué)方差

(4)

式中：α為形狀參數(shù)，β為尺度參數(shù)，γ為位置參數(shù)，Γ(·)為伽瑪函數(shù)。

各參數(shù)的取值情況同威布爾曲線的關(guān)系如下：

(1) 形狀參數(shù)α決定著威布爾函數(shù)的形狀。當(dāng)α>1時，表現(xiàn)為單峰曲線；當(dāng)α<1時，曲線隨著t的變化而單調(diào)遞減，而且它以t=γ為漸近線，α越小，曲線越趨近于直線t=γ；當(dāng)α=1時，表現(xiàn)為指數(shù)曲線；當(dāng)α>3時，和正態(tài)分布曲線很接近。如圖1所示。

(2) 尺度參數(shù)β決定曲線的陡峭程度。

(3) 位置參數(shù)γ反映曲線的起始位置情況，當(dāng)γ=0時，模型退化為二參數(shù)威布爾模型。

圖1 威布爾分布密度曲線

1.2 航空彈藥作戰(zhàn)需求量預(yù)測

戰(zhàn)斗過程劃分為開始、中間和結(jié)束3個階段，如果戰(zhàn)斗不出現(xiàn)大的突變性，那么航空彈藥的需求量具備如下特點：開始和結(jié)束少，中間多，并且開始和結(jié)束階段需求量的變化較為平緩，隨著戰(zhàn)斗的全面展開，中間階段的需求量急劇增加(反映了戰(zhàn)斗的激烈程度)。根據(jù)對海灣戰(zhàn)爭(1990年)和伊拉克戰(zhàn)爭(2003年)數(shù)據(jù)的掌握情況，繪制出美軍的航空彈藥消耗規(guī)律分別如圖2、圖3所示。圖2出現(xiàn)兩個波峰，是因為在海灣戰(zhàn)爭中期進(jìn)行了“沙漠風(fēng)暴”和“沙漠之狐”兩次行動[10]。

圖2 海灣戰(zhàn)爭航空彈藥消耗

圖3 伊拉克戰(zhàn)爭航空彈藥消耗

假定航空彈藥的作戰(zhàn)需求量服從威布爾分布，則航空彈藥作戰(zhàn)需求量預(yù)測的關(guān)鍵是威布爾分布參數(shù)的確定。本文采用矩估計法對威布爾分布的參數(shù)進(jìn)行估計。

矩估計法的基本思想是用子樣的各階矩(或中心矩)估計母體的各階矩(或中心矩)。由于戰(zhàn)爭初期就存在航空彈藥消耗，因此位置參數(shù)γ=0，此時航空彈藥作戰(zhàn)需求量的分布變?yōu)槎?shù)威布爾分布。為使問題簡化便于求解，進(jìn)行如下假設(shè)：

(1)航空彈藥作戰(zhàn)需求量是一次作戰(zhàn)或戰(zhàn)役中的需求量；

(2)航空彈藥作戰(zhàn)需求量屬于獨立分布，且符合某一分布；

(3)航空彈藥的作戰(zhàn)需求量是一個客觀過程，排除人為決策影響；

(4)航空彈藥的作戰(zhàn)需求量為所有種類航空彈藥的需求總量，對需求數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。

根據(jù)矩估計法求解模型參數(shù)的基本思想：用子樣均值去估計母體的數(shù)學(xué)期望，用子樣方差去估計母體的方差，即可求得二參數(shù)威布爾分布的參數(shù)。

(5)

(6)

將式(5)平方后，與式(6)相除，可得

(7)

(8)

從而可估計參數(shù)α和β的值，代入式(1)即可求得航空彈藥作戰(zhàn)需求量的變化規(guī)律，利用海灣戰(zhàn)爭的航空彈藥需求數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行檢驗，當(dāng)置信水平達(dá)到90%時，同實際的符合程度極好。

威布爾分布參數(shù)估計應(yīng)用比較成熟的方法還有：威布爾概率紙法、極大似然估計法和最小二乘法。比較新的方法有：最好線性無偏估計(Best linnear uniased estimation，BLUE)、簡單線性無偏估計(GLUE)、概率權(quán)重法、相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法和灰色估計法等[8-9]。

1.3 實例分析

通過對空軍演習(xí)中航空彈藥需求量歷史數(shù)據(jù)的收集和整理，獲得數(shù)據(jù)如表1所示[7，10]。

表1 航空彈藥作戰(zhàn)需求量

為使量綱統(tǒng)一，對其進(jìn)行歸一化處理，處理后的數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 歸一化后的作戰(zhàn)需求量數(shù)據(jù)

根據(jù)所給方法進(jìn)行參數(shù)估計：α=2.31，β=44.9。

航空彈藥作戰(zhàn)需求量的概率密度函數(shù)為

(9)

航空彈藥需求量變化曲線，如圖4所示。

考慮到航空彈藥演習(xí)中需求量與威布爾分布量綱的統(tǒng)一，將威布爾曲線與歸一化之后的數(shù)據(jù)進(jìn)行對照，對照結(jié)果如圖4所示，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)置信水平為0.9時，預(yù)測值與實際數(shù)據(jù)擬合程度很好，達(dá)到預(yù)測要求。

圖4 模型結(jié)果與實際需求對比

2 航空彈藥作戰(zhàn)需求結(jié)構(gòu)模型

在整個海灣戰(zhàn)爭期間，美軍共投擲8.42 萬t航空彈藥，但其中7 400 t為精確制導(dǎo)彈藥，僅占到投彈量的9%，常規(guī)彈藥比例達(dá)到91%，占據(jù)絕大部分比例[11-12]。什么樣的比例結(jié)構(gòu)才是最合理、如何確定航空彈藥的需求結(jié)構(gòu)是本文研究的重點。

2.1 問題的提出

航空彈藥作戰(zhàn)需求結(jié)構(gòu)問題可歸結(jié)為：已知威脅敵的種類及威脅程度，每個威脅敵擁有的關(guān)鍵目標(biāo)的重要程度及數(shù)量，并且知道己方的航空彈藥種類、單價以及毀傷敵方各種關(guān)鍵目標(biāo)所需的每種航空彈藥數(shù)，據(jù)此求航空彈藥的作戰(zhàn)需求結(jié)構(gòu)，以獲得最佳的軍事和經(jīng)濟(jì)效益。

2.2 層次分析法

層次分析法由于在處理復(fù)雜的決策問題上的實用性和有效性，很快就在世界范圍內(nèi)得到普遍重視和廣泛應(yīng)用。

(1)層次分析流程

經(jīng)過理論研究和實際工程應(yīng)用，利用層次分析法建模已形成鮮明的固定流程。層次分析法建模的流程如圖5所示。

(2)層次分析步驟

步驟1：分析系統(tǒng)中各要素的關(guān)系，建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型，一個典型的層次結(jié)構(gòu)模型如圖6所示。

步驟2：根據(jù)上一層次中的某一因素對于本層中所有元素的影響，進(jìn)行相對重要性的成對比較，構(gòu)造判斷矩陣A。

步驟3：求解判斷矩陣的最大特征值及特征向量，并進(jìn)行歸一化處理，求得權(quán)向量。并進(jìn)行一致性檢驗。

步驟4：計算同層次所有因素對最高層的相對權(quán)重值，并計算總排序的隨機(jī)一致性比率CR。通常，當(dāng)CR<0.1時，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有滿意的一致性，否則還需要重新調(diào)整比較矩陣的元素取值。

圖5 層次分析法建模流程圖

圖6 層次結(jié)構(gòu)模型示意圖

2.3 航空彈藥需求結(jié)構(gòu)模型

航空彈藥種類繁多，依據(jù)作戰(zhàn)飛機(jī)類型及掛載能力確定航空彈藥需求結(jié)構(gòu)的方法偏差較大，不夠合理。采用層次分析法，結(jié)合航空彈藥的具體情況，對主要作戰(zhàn)因素、目標(biāo)因素及炸彈自身因素進(jìn)行定性和定量分析，得出的航空彈藥需求結(jié)構(gòu)具有一定的科學(xué)指導(dǎo)意義。

(1)模型建立

在航空彈藥需求結(jié)構(gòu)模型中，既有定性因素，又有定量因素，采用層次分析法建立航空彈藥需求結(jié)構(gòu)模型，可以很好地將定性因素與定量因素結(jié)合起來，給出科學(xué)的需求結(jié)構(gòu)。

建立航空彈藥需求結(jié)構(gòu)的層次分析模型如圖7所示，模型共分4層：目標(biāo)層是航空彈藥需求優(yōu)先系數(shù)，它決定了需求結(jié)構(gòu)；準(zhǔn)則層分準(zhǔn)則層1和準(zhǔn)則層2，準(zhǔn)則層1反映存在的威脅敵，準(zhǔn)則層2反映各威脅敵的關(guān)鍵目標(biāo)情況；方案層是航空彈藥的種類，主要考慮各型航空彈藥突擊單一關(guān)鍵目標(biāo)所需數(shù)量和價格。

圖7 航空彈藥需求結(jié)構(gòu)層次模型

(2)模型求解

步驟1：構(gòu)造成對比較矩陣

假定己方當(dāng)前存在威脅敵1、威脅敵2、…、威脅敵n，根據(jù)其對己方的威脅程度及威脅能力，通過專家評價構(gòu)造準(zhǔn)則層1對目標(biāo)層的成對比較矩陣An×n

(10)

根據(jù)準(zhǔn)則層1中的各威脅敵包含的關(guān)鍵目標(biāo)的重要程度及數(shù)量，通過專家評價構(gòu)造準(zhǔn)則層2對準(zhǔn)則層1的成對比較矩陣B1、B2、…、Bl、…、Bn。其中

(11)

根據(jù)方案層中各種航空彈藥毀傷關(guān)鍵目標(biāo)的數(shù)量及價格，構(gòu)造方案層對準(zhǔn)則層2的成對比較矩陣C1、C2、…、Cl、…、Cm。其中

(12)

步驟2：計算權(quán)向量并做一致性檢驗

對于每一個成對比較矩陣，求取最大特征根及其對應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量(歸一化后)即為權(quán)向量；否則，需要對未通過檢驗的成對比較矩陣進(jìn)行改進(jìn)使其通過一致性檢驗。

步驟3：計算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗

分別計算準(zhǔn)則層2和方案層對目標(biāo)層的組合權(quán)向量，計算方法如下

(13)

記準(zhǔn)則層1中成對比較矩陣An×n滿足一致性檢驗的權(quán)向量為ω(2)，則準(zhǔn)則層2對目標(biāo)層的組合權(quán)向量為

ω(3)=W(3)ω(2)

(14)

(15)

則方案層對目標(biāo)層的組合權(quán)向量為

ω(4)=W(4)ω(3)

(16)

進(jìn)行組合一致性檢驗，檢驗方法如下

(17)

(18)

則準(zhǔn)則層2的組合一致性比率為

(19)

2.4 實例分析

設(shè)當(dāng)前存在兩個威脅敵，定義10種關(guān)鍵目標(biāo)，裝備4種航空彈藥，構(gòu)建如圖8所示航空彈藥需求結(jié)構(gòu)模型。

圖8 航空彈藥需求結(jié)構(gòu)層次分析模型

邀請專家就圖8中的層次分析模型中各因素進(jìn)行比較分析，構(gòu)造每層的判斷矩陣。其中，A陣表示準(zhǔn)則層1中各威脅敵的威脅程度比較

(20)

B1(B2)陣表示各關(guān)鍵目標(biāo)對威脅敵A(B)的重要程度及規(guī)模的綜合比較

(21)

(22)

Cl陣表示每種航空彈藥對關(guān)鍵目標(biāo)Cl進(jìn)行突擊所需的數(shù)量及價格的綜合比較

(23)

采用Matlab提供的EIG函數(shù)，求得各判斷矩陣的最大特征根及特征向量，通過歸一化處理求得權(quán)向量，并進(jìn)行一致性檢驗。

根據(jù)準(zhǔn)則層2的B1陣可以求得

(24)

根據(jù)準(zhǔn)則層2的B2陣可以求得

(25)

表3 方案層的計算結(jié)果

根據(jù)式(13～16)，可求得準(zhǔn)則層2、方案層對目標(biāo)層的組合權(quán)向量分別為

(26)

ω(4)= ( 0.589 6,0.236 8,0.219 1,0.161 3)T

(27)

組合一致性檢驗：因為準(zhǔn)則層1的判斷矩陣為2階，所以，準(zhǔn)則層2對準(zhǔn)則層1的一致性檢驗通過，從而，準(zhǔn)則層2的組合一致性檢驗通過。

根據(jù)式(17～19)求得

(28)

因此組合一致性檢驗通過，ω(4)可以作為航空彈藥作戰(zhàn)需求結(jié)構(gòu)的依據(jù)。即在航空彈藥的需求結(jié)構(gòu)中，A、B、C、D四型航空彈藥需求量的最佳比例為：0.589 6∶0.236 8∶0.219 1∶0.161 3。

3 結(jié)論

本文構(gòu)建了航空彈藥的作戰(zhàn)需求總量預(yù)測模型及結(jié)構(gòu)模型。通過分析最近兩次高技術(shù)局部戰(zhàn)爭中航空彈藥消耗的特點，得出航空彈藥需求量的威布爾分布模型，并通過算例對模型進(jìn)行檢驗。在預(yù)測需求總量的基礎(chǔ)上，結(jié)合航空彈藥作戰(zhàn)的具體情況，建立層次分析結(jié)構(gòu)模型，對主要作戰(zhàn)因素、目標(biāo)因素和炸彈因素進(jìn)行定性和定量分析，得出航空彈藥需求的最優(yōu)結(jié)構(gòu)。