張國(guó)鳴，郝志東，趙 奇，張志文，蔡柏林，李 兵

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引言

相移輪廓術(shù)（phase shifting profilometry，PSP）是一種有效的光學(xué)三維測(cè)量方法，在生物醫(yī)學(xué)、工業(yè)檢測(cè)和逆向工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-3]。通常，PSP 系統(tǒng)由投影儀和攝像機(jī)構(gòu)成，投影儀投射一系列周期性圖案至目標(biāo)物體，同時(shí)使用攝像機(jī)捕捉經(jīng)過(guò)物體調(diào)制后的條紋圖像[4-5]。在系統(tǒng)無(wú)非線性的假設(shè)下，調(diào)制后的條紋可以通過(guò)條紋分析方法獲取物體相貌信息[6-7]。但在實(shí)際的系統(tǒng)中，由于投影儀和攝像機(jī)的使用，獲取的圖像強(qiáng)度值會(huì)發(fā)生截?cái)啵瑥亩a(chǎn)生非線性誤差[8]。

為了獲取高精度的三維測(cè)量結(jié)果，很多學(xué)者針對(duì)系統(tǒng)的非線性誤差提出了解決方案[9]。Huang 等人提出對(duì)測(cè)量系統(tǒng)的亮度進(jìn)行預(yù)標(biāo)定，獲取輸入輸出亮度值，構(gòu)建查找表（lookup table，LUT）[10]。這樣整個(gè)系統(tǒng)的非線性可以通過(guò)LUT 法進(jìn)行有效的校正。但是，該校正法針對(duì)的是某一固定不變的系統(tǒng)。當(dāng)測(cè)量系統(tǒng)某一變量發(fā)生變化時(shí)，預(yù)標(biāo)定的參數(shù)就無(wú)法使用。所以主動(dòng)校正方法不具有通用性，同時(shí)需要人工干預(yù)標(biāo)定。為了減少人工標(biāo)定操作，Zhang 提出使用投射的條紋圖像獲取系統(tǒng)輸入輸出強(qiáng)度的LUT[11]。該方法同樣會(huì)由于環(huán)境變化而產(chǎn)生偏離誤差。隨后Pan 推導(dǎo)了N步相移的相位與非線性相位誤差的關(guān)系，并使用迭代法進(jìn)行較正[12]，但是該方法需要大量的計(jì)算。為了避免非線性對(duì)測(cè)量的影響，Lei 提出了離焦二值條紋測(cè)量技術(shù)[13]。離焦效應(yīng)相當(dāng)于低通濾波器，通過(guò)較大程度的透鏡離焦可以顯著降低投影儀的非線性。一般來(lái)說(shuō)，二值條紋對(duì)離焦程度和頻率較為敏感，測(cè)量精度很大程度上取決于條紋的質(zhì)量，精度不穩(wěn)定。

為了解決上述問(wèn)題，Mo 等人提出了復(fù)合梯形正弦方法來(lái)減少圖像的數(shù)量，同時(shí)能夠保證該方法的通用性[14]。但該方法在測(cè)量過(guò)程中，仍然需要3 組相移條紋共9 幅圖像。對(duì)于快速測(cè)量來(lái)說(shuō)，9 幅圖像仍顯冗余?；诖耍疚奶岢隽藘?yōu)化的梯形正弦相移算法，引入希爾伯特變換，使得一次測(cè)量只需要7 幅圖像，測(cè)量的效率提高了28%。

1 相關(guān)理論

1.1 三步相移法

N步相移算法因其測(cè)量速度快、測(cè)量精度高和非接觸的優(yōu)點(diǎn)[15]，而被廣泛地應(yīng)用于相位測(cè)量中。在N步相移算法中，三步相移算法是高速三維測(cè)量應(yīng)用中的最佳選擇，因?yàn)樗枰钌俚膱D像來(lái)獲得絕對(duì)相位圖。三步相移算法的步長(zhǎng)是2π/3，每個(gè)條紋的強(qiáng)度值可以表示為

式中：A(x,y)是測(cè)量環(huán)境背景光強(qiáng)；B(x,y)是條紋的調(diào)制度；φ(x,y)是截?cái)嘞辔唬?x,y)是圖像坐標(biāo)點(diǎn)。依據(jù)相移算法，A(x,y)、B(x,y)、φ(x,y)可分別通過(guò)下式計(jì)算得到（為了公式簡(jiǎn)潔，后文省略坐標(biāo)(x,y)）：

通過(guò)求解方程（4）可得到截?cái)嘞辔?，因?yàn)榉凑泻瘮?shù)的值域范圍只有?π 到π。2π 相位跳變點(diǎn)需要通過(guò)相位展開算法消除。相位展開算法的核心問(wèn)題是獲得條紋級(jí)次k(x,y)。最終絕對(duì)相位可以由（5）式得到。

1.2 系統(tǒng)非線性分析

系統(tǒng)非線性引起的誤差會(huì)影響偽攝像機(jī)投影儀標(biāo)定法的精度，在標(biāo)定過(guò)程中需要對(duì)非線性誤差進(jìn)行補(bǔ)償。一般的結(jié)構(gòu)光系統(tǒng)使用的是基于DMD 開發(fā)的DLP 數(shù)字投影儀。它在一定程度上消除了機(jī)械光柵的相移步進(jìn)的相移誤差，但引進(jìn)了由于自身Gamma 非線性導(dǎo)致的光柵非正弦化。同時(shí)攝像機(jī)本身也存在非線性響應(yīng)，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中將兩者非線性作為一個(gè)整體考慮。在測(cè)量過(guò)程中，攝像機(jī)拍攝的過(guò)程如圖1所示。

忽略環(huán)境光對(duì)被測(cè)物體表面的影響，假設(shè)生成的正弦條紋為I(x,y)，那么攝像機(jī)拍攝的圖像強(qiáng)度分布可表示為

式中：Fc、Fp分別為投影儀和攝像機(jī)的非線性響應(yīng)函數(shù)；Ic為拍攝得到的圖像。經(jīng)過(guò)兩次非線性響應(yīng)后，拍攝圖像的非正弦表現(xiàn)為圖像的高次諧波。為了簡(jiǎn)化校正模型，本文中使用多項(xiàng)式模型來(lái)表示非正弦化，其中二階和三階因素對(duì)結(jié)果影響最大。該模型可表示為

式中：e3、e2、e1、e0為常系數(shù)，需要通過(guò)擬合得到，在 本文中非線性模型的階數(shù)為三。

1.3 希爾伯特變換

希爾伯特變換被廣泛地應(yīng)用在信號(hào)處理領(lǐng)域中，一個(gè)實(shí)函數(shù)μ(t)的希爾伯特變換是將μ(t)與1/πt做卷積，得到另一個(gè)實(shí)函數(shù)H(μ)(t)：

希爾伯特變換可以看作是頻域乘法操作：

式中：F 表示傅里葉變換操作，δH(ω)可被定義為

由上式可知，希爾伯特變換可使信號(hào)相位滯后π/2。那么對(duì)于正弦信號(hào)I(x,y)=B(x,y)cos[φ(x,y)]，希爾伯特變換后可得：

最終截?cái)嘞辔豢梢杂上率接?jì)算得到：

1.4 優(yōu)化的梯形條紋

為了提高條紋解析的效率，Huang 提出了梯形相移算法[16]。梯形相移條紋在圖像強(qiáng)度變化上不再是正弦曲線，而是呈梯形變化。梯形條紋是基于圖像強(qiáng)度編碼的，條紋處理速度較快。本文提出使用正弦曲線代替梯形過(guò)渡的斜線，通過(guò)正弦編碼，將其解析的值域擴(kuò)展為0～6π。改進(jìn)后的梯形條紋強(qiáng)度可表示為

式中：T1、T2、T3為三步相移的梯形條紋，A、B、φ同上文。三步相移梯形條紋強(qiáng)度分布如圖2（a）～（c）所示。將三步相移的梯形條紋相加后，其強(qiáng)度分布如圖2（d）所示，同時(shí)其可視為如圖2（e）～（g）所示3 幅圖像的復(fù)合。所以在獲取上述3 幅梯形條紋后，可通過(guò)下式獲取圖像最大和最小強(qiáng)度分布圖。

從圖像生成的原理，可知梯形條紋的區(qū)域由6 個(gè)局部區(qū)域組成，這6 個(gè)局部區(qū)域的級(jí)次可通過(guò)圖像強(qiáng)度在局部區(qū)域的不同獲取，如圖3所示。

獲取的局部級(jí)次信息是0、1、2、3、4、5，如果2 幅局部級(jí)次信息，1 幅圖像中周期是另一幅圖像的6 倍，那么可唯一確定36 個(gè)條紋級(jí)次。具體的原理由文中第2 節(jié)給出。

2 基于梯形與正弦相移的測(cè)量方法

為了消除系統(tǒng)非線性對(duì)測(cè)量精度影響，并進(jìn)一步提高測(cè)量速度，本文提出了梯形與正弦相移相結(jié)合的非線性誤差校正算法。該方法使用2 組改進(jìn)的梯形相移條紋(T1,T2,T3;T4,T5,T6)和1 幅正弦條紋圖(I)。2 組改進(jìn)的梯形相移條紋頻率不同，高頻條紋頻率是低頻條紋的6 倍。假設(shè)圖像的深度是8 位，高頻梯形條紋中A+B=195和A-B=55;低頻梯形條紋中A+B=255和A-B=0。正弦條紋的背景強(qiáng)度和調(diào)制度與低頻條紋相同，而其條紋頻率是高頻梯形條紋6 倍，低頻梯形條紋的36 倍。該方法的流程圖如圖4所示，圖中低頻梯形條紋的頻率為1。

文中所提方法的主要步驟如下：

1）使用2 組復(fù)合梯形條紋是用公式可以獲得4 幅圖像強(qiáng)度不一的圖像(F0,F1,F2,F3)，同時(shí)利用A=(F0+F3)/2可以獲取低頻條紋圖像的背景強(qiáng)度。

2）4 幅圖像強(qiáng)度不一的圖像作為輸出，圖像生成時(shí)給定的強(qiáng)度值作為輸入。由此可建立系統(tǒng)的非線性響應(yīng)曲線[14]。

3）利用希爾伯特變換，可以獲取原正弦條紋相位滯后的條紋。文中正弦條紋為I，希爾伯特變換后獲取的條紋可表示為H(I)，截?cái)嘞辔豢梢酝ㄟ^(guò)公式(12)獲取，并使用步驟2 獲取的非線性響應(yīng)曲線去校正截?cái)嘞辔弧?/p>

4）利用公式，分別獲取低頻和高頻梯形條紋的局部級(jí)次M1和M2，那么條紋級(jí)次可表示為

5）在完成上述步驟后，使用文獻(xiàn)[17]方法對(duì)條紋級(jí)次k存在的相位誤差進(jìn)行消除。利用公式（5），可直接獲取非線性校正后的絕對(duì)相位。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證文中方法在實(shí)際測(cè)量中的有效性，搭建了條紋投影系統(tǒng)。該系統(tǒng)包括DLP Light-Crafter 4500 和攝像機(jī)Balser a2A1920-160ucBAS，其中投影儀的分辨率為912 pixel×1 140 pixel，攝像機(jī)的分辨率為1 920 pixel ×1 280 pixel。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，梯形低頻條紋的頻率為1，周期為1 140 像素；高頻條紋頻率為6，周期為190 像素；正弦條紋的頻率為36。

為了驗(yàn)證文中方法的性能，首先對(duì)一個(gè)平面進(jìn)行了測(cè)量。將生成的條紋圖像，依次投射到光滑的平板上，攝像機(jī)同步拍攝經(jīng)過(guò)平板調(diào)制后的圖像。調(diào)制后的低高頻條紋及正弦條紋圖像分別如圖5（a）～（c）所示。利用第2 節(jié)中所述算法步驟，首先求取非線性響應(yīng)函數(shù)y=-1.31×10-5x3+0.004 6x2+x-1。然后獲取高頻條紋圖像的背景強(qiáng)度。正弦條紋圖像經(jīng)過(guò)希爾伯特變換后，利用公式（13）可以求取截?cái)嘞辔?φ，如圖5（d）所示。隨后利用公式，可求得局部級(jí)次M1和M2，最終獲取整幅圖像的條紋級(jí)次分布k。M1、M2和k分別如圖5（e）～（g）所示。將上述 φ和k代入公式（5），可求得最終的絕對(duì)相位 Φ，如圖5（h）所示。

圖6 展示了對(duì)上述平面的重建結(jié)果，分別為非線性校正前后的結(jié)果。圖中可以看出校正后的結(jié)果表面更為平滑。為了更清楚地表明校正的效果，圖6（c）～（d）顯示了校正前后重建結(jié)果的第840 列的橫截面。圖中可以看出，校正后的結(jié)果，其表面明顯更為光滑，而校正前的表面會(huì)出現(xiàn)些許的紋波。此外，實(shí)驗(yàn)中也對(duì)比了文中方法與文獻(xiàn)[14] 方法的結(jié)果，如圖6（d）所示。在第840 列的橫截面上，兩種方法的結(jié)果幾乎完全吻合，再一次佐證了本文方法的有效性。

使用文中方法測(cè)量了表面較為復(fù)雜的單個(gè)雕塑。攝像機(jī)采集的圖像如圖7（a）～（c）所示，依照第2 節(jié)的算法，可以求出其條紋級(jí)次和絕對(duì)相位，分別如圖7（d）和7（e）所示。依據(jù)所求取的非線性響應(yīng)曲線，可消除表面紋波，重建結(jié)果如圖7（f）所示。本節(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該方法的有效性。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于梯形與正弦條紋組合使用的非線性校正方法。文中使用2 組圖像強(qiáng)度不同的梯形條紋，其強(qiáng)度值作為輸入求取系統(tǒng)的非線性響應(yīng)曲線，然后完成系統(tǒng)的校正。希爾伯特變換的使用減少了正弦條紋的數(shù)量。與傳統(tǒng)方法相比，文中方法使用更少的圖像，仍然能夠有效獲取被測(cè)物體的三維形貌，同時(shí)測(cè)量效率提高了28%。