王紅運(yùn)，張曉晗，王洪里

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)春130000）

0 引言

20世紀(jì)初，控制科學(xué)理論的發(fā)展逐步開始，離散控制系統(tǒng)作為理論的一個(gè)重要分支，受到了廣大學(xué)者的普遍關(guān)注［1-4］.離散控制系統(tǒng)理論的重要基礎(chǔ)和基本內(nèi)容是穩(wěn)定性理論，即給定系統(tǒng)是在穩(wěn)定的情況下，系統(tǒng)在容許范圍內(nèi)的不確定參數(shù)取任何值時(shí)，系統(tǒng)都能達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài).為了避免不穩(wěn)定的事故發(fā)生，學(xué)者們對(duì)離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析產(chǎn)生了極大的研究熱情，也取得了很多的相關(guān)理論成果［5-8］.

目前，基于不確定多時(shí)滯離散系統(tǒng)展開的穩(wěn)定性研究在理論和應(yīng)用上雖然已經(jīng)獲得了大量的重要成果［9-11］，但是，所得結(jié)論在保守性上仍有很大的減小空間.因此，本文針對(duì)同時(shí)具有奇異攝動(dòng)、不確定性、多時(shí)滯的離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析.擬定義一個(gè)新的函數(shù)，基于改進(jìn)的交叉項(xiàng)界定方法和矩陣不等式技術(shù)，在時(shí)滯依賴的情況下，得出攝動(dòng)參數(shù)上界更大的穩(wěn)定性存在的結(jié)論.

1 問題描述和引理

考慮以下含有不確定性結(jié)構(gòu)的奇異攝動(dòng)多時(shí)變時(shí)滯離散系統(tǒng)

且

注：引理1說明了對(duì)于對(duì)稱陣Zi，滿足以上LMIs，則可以保證構(gòu)造新的Lyapunov函數(shù)中E(ε)Z(ε)是對(duì)稱正定的矩陣.

注：引理2主要針對(duì)矩陣不等式進(jìn)行不同程度的放大，從而達(dá)到矩陣不等式更加穩(wěn)定的目的.

2 穩(wěn)定性分析

下面定理給出非線性條件的穩(wěn)定性結(jié)論.

證明 構(gòu)造新的Lyapunov函數(shù)V(k) =V1(k) +V2(k)，

由引理1及線性矩陣不等式（3）～（5），有

則V(k)為正定的Lyapunov函數(shù).

將V(k)沿著系統(tǒng)（1）向前差分ΔV(k) =V(k+ 1) -V(k)，得

同理V2(k)沿著系統(tǒng)（1）向前差分得

由引理2可知，存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣P，對(duì)稱陣N和R，得

由上式可得

其中：η(k) =[x(k)x(k-di(k))]T；

因此，由式（6）與式（7）得G(0) ＜0，G() ＜0，利用引理1 得G(ε) ＜0,故可知V(k) ＜0,所以系統(tǒng)（1）是漸近穩(wěn)定的.

3 結(jié)論

本文主要研究新的多時(shí)滯奇異攝動(dòng)不確定離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通過設(shè)計(jì)新的Lyapunov 函數(shù)，針對(duì)時(shí)滯依賴情形的穩(wěn)定性，利用相關(guān)引理、Lyapunov 穩(wěn)定性理論以及新的差分不等式等交叉項(xiàng)界定技術(shù)，得出系統(tǒng)保守性更小的穩(wěn)定性存在條件.