何玲，鐘江川，張欽仰

（貴州大學 現(xiàn)代制造技術教育部重點實驗室，貴陽 550025）

工業(yè)機器人具備工作空間大、結(jié)構(gòu)緊湊、柔性好、成本低等優(yōu)點[1]，廣泛應用在智能制造領域。精度是衡量機器人性能的重要指標，精度的提高將使機器人在智能裝配中有更優(yōu)秀的表現(xiàn)[2]。日趨復雜的工業(yè)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)對智能裝配控制精度的要求越來越高，熱電池組通常由若干單體熱電池串并聯(lián)形成，受總體結(jié)構(gòu)等條件限制，就出現(xiàn)了異形熱電池組，增加了機器人裝配難度[3]。智能制造裝配過程中裝配精度要求高，裝配環(huán)境復雜，裝配的可視化程度低，為裝配帶來較大的難題[4]。

熱電池具有比能量和比功率高、激活迅速可靠、適應環(huán)境能力強、貯存時間長、結(jié)構(gòu)緊湊、工藝簡便、生產(chǎn)成本低、免維護等優(yōu)點，成為航天的首選電源[5-6]。隨著航天技術的進步，對電源系統(tǒng)的要求也越來越高[7]，為滿足電源系統(tǒng)的要求，通常將若干單體熱電池排列串（并）聯(lián)形成熱電池組。受到應用場景的影響，熱電池有許多形狀、尺寸不一的結(jié)構(gòu)，這就導致熱電池裝配順序復雜、不統(tǒng)一，并且航天器內(nèi)部裝配空間小，可視化程度低。這些都要求機器人在裝配過程中有精度高、智能化程度高的能力。

為發(fā)揮機器人在裝配中高精度、智能化的能力，季旭全等[8]針對星載設備裝配空間半封閉、可視化程度低的問題提出了一種基于機器人與視覺引導的智能裝配方案，該方案提高了裝配效率，但在裝配過程中未考慮實際裝配空間。胡瑞欽等[9]針對大型航天裝備提出了一套基于力/位移的機器人柔性裝配方法，該方法雖成功應用于多類航天器大部件裝配中，但是在裝配過程中力感知與力控制精度方面還需進一步優(yōu)化。陳雨杰等[10]得出一種利用機器人自動繪制基準標定、工藝標識等進行輔助裝配的方法，這些裝配方案主要研究的是可行性問題，缺乏對裝配精度問題的關注。

為了提高機器人的精度，范文強等[11]針對LED裝配位置精度無法保證的問題提出了一種基于待裝配孔位姿測量的裝配軌跡在線修正方法，該方法雖成功解決了工業(yè)機械臂運動誤差，提高了自動裝配的實際生產(chǎn)效率和精度，但該方法并未分析、考慮待裝配工件的實際位置與工業(yè)機械臂預編譯裝配軌跡之間的偏差。顧巖等[12]針對狹小空間內(nèi)虛擬手臂運動規(guī)劃求解難等問題提出了一種運動學與動力學結(jié)合的分層求解優(yōu)化方法，該方法提高了手臂路徑生成效率以及裝配精度，但只適用于自由度低于3 的機器人。何啟嘉等[13]提出了一種解析法求解部分解、自適應多種群的遺傳算法求解其余解的機器人逆運動求解方法，該解析法求解精度高，但求解必須滿足Pieper 準則，實際應用性較差。謝習華[14]、李清[15]和Mao[16]等采用優(yōu)化差分進化算法求解機器人逆運動學問題，該算法求解穩(wěn)定性高，但在設置姿態(tài)誤差和位置誤差權(quán)重時采用經(jīng)驗值，主觀性較強，沒有考慮機器人運動學特性。

針對異形熱電池裝配，文中設計一種裝配機器人。通過改進D-H 參數(shù)法構(gòu)建機器人連桿參數(shù)坐標系，對機器人進行運動學建模，結(jié)合機器人運動特性分析姿態(tài)誤差和位置誤差的關系，利用改進差分進化算法求解裝配機器人。

1 裝配機器人工作原理

熱電池組的裝配任務多為緊固螺釘，所用的螺釘會隨著熱電池組的大小而發(fā)生改變，且熱電池組的大小、形狀各不相同。較大的熱電池組四周會有單個熱電池，因此需要裝配機器人伸展空間大、靈活性好?？紤]到機器人自身誤差和螺釘尺寸誤差，得出機器人末端誤差不超過螺釘公稱直徑1%的結(jié)果。熱電池組裝配使用M2 的螺釘，因此熱電池組裝配誤差最大不超過0.02 mm，見圖1。

圖1 熱電池組三維模型Fig.1 3D model of the thermal battery

根據(jù)熱電池組裝配的特點，設計了六軸關節(jié)型機器人，見圖2。該機器人由6 個轉(zhuǎn)動關節(jié)串聯(lián)而成，機器人主體由機器人底座、機器人底座旋轉(zhuǎn)關節(jié)、大臂、小臂、手腕和末端法蘭盤構(gòu)成。機器人底部旋轉(zhuǎn)關節(jié)360°旋轉(zhuǎn)控制機器人橫向工作，調(diào)整大臂與小臂位姿實現(xiàn)不同高度的熱電池裝配，軸4 旋轉(zhuǎn)關節(jié)控制橫向與豎向裝配，使機器人實現(xiàn)對熱電池四周附著單體熱電池的固定。通過調(diào)整軸5 與軸6 旋轉(zhuǎn)關節(jié)來提高裝配精度。較長的大臂與小臂結(jié)構(gòu)使機器人運行空間增大，但是這也對機器人的精度造成巨大影響，懸臂式的結(jié)構(gòu)使得機器人工作時振動較大。

圖2 機器人三維模型Fig.2 3D model of the robot

2 運動學模型

使用改進D-H 參數(shù)法對機器人構(gòu)建數(shù)學模型，構(gòu)建連桿坐標系，其中X0、Y0、Z0分別為基坐標系的坐標軸，Xi、Yi、Zi分別為各關節(jié)坐標系的坐標軸，見圖3。

圖3 機器人連桿坐標系Fig.3 Robot connecting rod coordinate system

機器人連桿參數(shù)見表1。其中di表示相鄰關節(jié)之間的連桿長度，ai–1表示相鄰關節(jié)連桿偏移量，αi–1表示相鄰關節(jié)坐標系之間的扭轉(zhuǎn)角。θi表示相鄰關節(jié)的關節(jié)角。

表1 機器人連桿參數(shù)Tab.1 Robot connecting rod parameters

根據(jù)改進D-H 參數(shù)法構(gòu)建桿與桿之間的相對變換通式見式（1）。

式中：sθi、cθi、sαi、cαi分別表示θ與α的正余弦值。機器人末端連桿坐標系相對于基坐標系的關系可由上述各連桿變換矩陣相乘得到式（2）。

式中：姿態(tài)矩陣R3×3表示機器人末段連桿坐標系各基準軸相對于基坐標系的位置向量；位置矩陣P1×3表示機器人末段連桿坐標系原點相對基坐標系位置。

按照圖1 中的熱電池組裝配螺釘1、2、3、4 的位置，生成機器人末端軌跡，見圖4。該軌跡表示機器人的3 種裝配情況，分別為上下來回裝配、從熱電池組上下兩端向熱電池組四周裝配和同一高度平移裝配。根據(jù)機器人末端的位姿計算各關節(jié)角度值對機器人動態(tài)特性分析、運動控制等研究有重要意義。

圖4 機器人末端軌跡Fig.4 The trajectory of the end of the robot

3 基于改進差分進化算法的逆運動學求解

DE 進化算法是基于實數(shù)編碼的一種遺傳算法，增強了全局尋優(yōu)的能力，但也暴露出易陷于局部收斂的缺陷。針對此問題，文中在變異過程中提出了新的自適應算子，在邊界處理上提出了邊界比例映射法。

3.1 目標函數(shù)設計

位姿矩陣分為位置函數(shù)與姿態(tài)函數(shù)，因此可將求逆解問題轉(zhuǎn)化為在變量取值范圍內(nèi)求解函數(shù)最值的問題，即為求解的機器人末端執(zhí)行器的位姿和目標位姿之間的誤差函數(shù)。由式（2）可知，機器人末端執(zhí)行器的目標位姿矩陣見式（3）。

式中：Ra表示目標姿態(tài)矩陣；Pa表示目標位置矩陣。機器人末端執(zhí)行器的當前位姿矩陣見式（4）。

式中：Rt表示當前姿態(tài)矩陣，Pt表示當前位置矩陣。則目標函數(shù)計算公式見式（5）。

式中：α、β為位置誤差與姿態(tài)誤差的權(quán)重，為使該求解方法能夠適用于其他機器人，設計了權(quán)重計算見式（6）。

式中：λi表示機器人各軸連桿長度，Pdi表示各軸連桿偏距，該方法根據(jù)機器人的結(jié)構(gòu)引入的自適應權(quán)重系數(shù)不僅能夠平衡兩種誤差的重要性，還提高了普遍適用性。

3.2 算法流程

1）種群初始化。根據(jù)關節(jié)轉(zhuǎn)角范圍隨機生成N組關節(jié)角，則初始種群個體計算見式（7）。

式中：rand 表示(0,1)隨機取值，且服從均勻分布的小數(shù)；Uijmax、Uijmin分別為個體i關節(jié)角j取值的上下限；Np=200 為種群大小,i=1,2,…,Np、j=1,2, …,6。

2）變異操作。標準DE 算法的變異控制隨機性大，使種群差異大，增大了搜索范圍，降低了收斂速度，因此文中在保留原有變異方式的同時，引入當前種群最優(yōu)個體作為初始量，不僅避免局部最優(yōu)結(jié)果，而且能達到提高收斂的速度。則變異個體的計算見式（8）。

式中：xp1、xp2、xp3為種群隨機選擇的3 個個體，且p1≠p2≠p3；縮放因子F取值為0.8；xb(t)為迭代t次種群中最好的個體，T=1 000 為迭代次數(shù)。

3）邊界處理。邊界處理多以隨機再生成的方式，這樣的方式將減少父代與子代間的聯(lián)系，降低收斂速度。文中采用比例映射法，將邊界內(nèi)的值與邊界外的值成比例一一對應，保留變異個體的位置信息，一定程度上削弱了隨機性，其邊界處理見式（9）。

4）交叉選擇。交叉選擇在增加種群的多樣性的同時，保留了優(yōu)化的個體。其交叉的計算見式（10）。

式中：交叉概率C取值為0.9。

通過變異、交叉產(chǎn)生的實驗體采用貪婪的選擇策略，其計算公式見式（11）。

5）終止判斷。重復步驟2 至4，使迭代次數(shù)達到最大值即終止程序，輸出最優(yōu)解。

3.3 實驗測試與分析

為驗證上述改進DE 算法的穩(wěn)定性，進行如下實驗：將螺釘1 所在位置的機器人位姿矩陣作為目標矩陣，對該位置進行重復100 次求解實驗，實驗結(jié)果繪制見圖5。由圖5a 可知，改進DE 算法求解平均迭代次數(shù)為219.85 次，比DE 算法平均迭代次數(shù)少600次，并且每次求解都能得到最優(yōu)結(jié)果。由圖5b 可知，改進DE 算法平均求解時間為5.27 s，比DE 算法平均求解時間少1.8 s，并且2 種算法求解均未出現(xiàn)異常值。表2 為100 次實驗結(jié)果分析，其中改進DE 算法的最優(yōu)結(jié)果平均值為3.337×10–4，求解時間偏差為0.197，說明改進DE 算法收斂速度較快，且精度更高。綜合以上結(jié)論表明改進DE 算法具有穩(wěn)定的求解能力并且求解速度更快。

圖5 實驗結(jié)果統(tǒng)計Fig.5 Statistics of experimental results

表2 100 次實驗結(jié)果分析Tab.2 Analysis of 100 experimental results

為驗證改進DE 算法所求的結(jié)果是否優(yōu)于傳統(tǒng)DE 算法，研究如下。

將圖4 機器人末端軌跡均分為35 個位姿，分別采用DE 算法與改進DE 算法對這35 個位姿矩陣進行求解，所求結(jié)果應為一組關節(jié)角度，但為了對比位置與姿態(tài)，將所求關節(jié)角帶入式（2）得到位姿矩陣，其結(jié)果如下。

標準DE 算法的平均位置誤差約為0.01 mm，姿態(tài)誤差約為1°，位置誤差最大值為0.1 mm，出現(xiàn)不滿足裝配精度的情況，見圖6。改進DE 算法的位置誤差約為1×10–4mm，位置誤差最小值為1×10–8mm，姿態(tài)誤差約為1×10–5度，滿足裝配精度。將上述35個點平均位置誤差、姿態(tài)誤差及迭代次數(shù)統(tǒng)計于表3中，改進DE 算法求解平均迭代次數(shù)為219.857，相較DE 算法結(jié)果降低了600 次，效率提高了72.5%。由計算結(jié)果的平均值也可以得到改進DE 算法求解精度高于DE 算法，并且迭代次數(shù)標準偏差結(jié)果顯示改進DE 算法求解效率更高，穩(wěn)定性更好。綜上結(jié)果表明改進DE 算法相較于標準DE 算法有更高的精度而且收斂速度更快、穩(wěn)定性更好，完全滿足機器人的精度要求。

圖6 2 種算法結(jié)果對比Fig.6 Comparison of the results of the two algorithms

表3 對比實驗數(shù)據(jù)分析Tab.3 Comparative experiment data analysis

4 仿真實驗分析

將上述改進DE 算法所求得的位姿矩陣作為機器人在對應點的動作執(zhí)行方案，根據(jù)五次多項式插值求解各關節(jié)角速度、角加速度見圖7—8。

圖7 機器人各關節(jié)角速度Fig.7 Angular velocity of each joint of the robot

圖8 機器人各關節(jié)角加速度Fig.8 Angular acceleration of each joint of the robot

各機器人各關節(jié)角速度曲線變化平滑，表明在理想條件下，機器人能夠較好實現(xiàn)整個工作流程。各關節(jié)角加速度曲線呈現(xiàn)出類似正弦變化趨勢，其中關節(jié)2、3 角加速度曲線關于時間軸對稱。僅關節(jié)1 速度與加速度值較大，但機器人各關節(jié)先后運動，且關節(jié)1 為底部旋轉(zhuǎn)關節(jié)，速度與加速度較大符合機器人快速大范圍轉(zhuǎn)動的特點。這說明在整個動作過程中，機器人能夠穩(wěn)定運行，本體未產(chǎn)生較大振動。

為驗證前文研究所得到理想情況下關節(jié)角速度是否適合實際情況，將圖7 的關節(jié)角速度作為機器人的實際工作角速度，得到機器人末端實際軌跡，見圖9。

圖9 機器人末端軌跡Fig.9 The trajectory of the end of the robot

機器人末端仿真軌跡對比圖與機器人各關節(jié)旋轉(zhuǎn)角速度對比，見圖9—10。由圖可知，末端執(zhí)行器運動軌跡與運動學仿真運動軌跡重合，但是在運動中出現(xiàn)了較為明顯的波動，對比關節(jié)旋轉(zhuǎn)角速度曲線可知，在0.55 s～0.75 s 與3.4 s～3.6 s 時間段內(nèi)實際速度在理論速度附近波動。在0.55 s 與3.4 s 角速度出現(xiàn)大于3.5 rad/s 的情況時，機器人末端位置產(chǎn)生大幅度偏差，經(jīng)分析是由于角速度過大引起機器人出現(xiàn)波動。

圖10 機器人各關節(jié)角速度對比Fig.10 Comparison of the angular velocity of each joint of the robot

因此設計以下仿真實驗進行驗證，增大關節(jié)5 與關節(jié)1 角速度切線斜率，降低幅值，使得各關節(jié)旋轉(zhuǎn)角度總體不變、時間不變的前提下，避免機器人關節(jié)角速度出現(xiàn)大于3.5 rad/s 的情況。

關節(jié)角速度優(yōu)化后的末端軌跡曲線與角速度變化曲線，見圖11—12。由圖可知，各關節(jié)角速度優(yōu)化之后，機器人末端執(zhí)行器軌跡的理論曲線與仿真曲線能夠基本吻合，出現(xiàn)的偏差也在誤差范圍內(nèi)。關節(jié)1 到6 的最大角速度均不超過3.5 rad/s，其中機器人關節(jié)角提速、降速僅需要0.01 s，其余時間內(nèi)都保持勻速運動，保證機器人運動的平穩(wěn)性。

圖11 優(yōu)化后機器人末端軌跡Fig.11 The trajectory of the end of the robot after optimization

5 結(jié)語

針對熱電池組的裝配要求，設計了一種裝配機器人。采用改進D-H 參數(shù)法進行運動學求解，通過正運動學分析，建立機器人正解的非線性方程，計算出機器人末端軌跡。運用改進DE 算法對機器人進行求逆解，得到平均位置誤差為1.4×10–4mm，平均姿態(tài)誤差為2.4×10–4度，較DE 算法求解精度提高了2 個數(shù)量級。平均迭代次數(shù)為219.857，較DE 算法求解迭代次數(shù)降低了約600 次，計算效率提高了72.5%。通過動力學仿真分析確定此機器人運動過程中的振動主要與速度有關，通過優(yōu)化關節(jié)角速度，將關節(jié)角速度降低至3.4 rad/s，機器人能夠平穩(wěn)運行，確定各構(gòu)件的運動速度最大值為3.5 rad/s。通過運動學與動力學分析，以及構(gòu)建機器人仿真裝配模型可知，所設計的裝配機器人能滿足異形熱電池組裝配精度要求，具有較好地穩(wěn)定性，為模型實際調(diào)試提供依據(jù)。

文中裝配機器人的運動采用各關節(jié)依次運動的方式，較容易減小機器人本體運動產(chǎn)生的振動，但增加了機器人裝配運動時間，并且在實際生產(chǎn)中機器人末端會與螺釘擰緊工具連接，因此螺釘擰緊工具的振動同樣會影響裝配機器人的精度。后續(xù)研究的重點可放在如何設計機器人整體運動速度以減少裝配的時間，以及減小機器人末端工具的振動對機器人精度的影響。

圖12 優(yōu)化后各關節(jié)角速度曲線Fig.12 Angular velocity curve of each joint after optimization