山東省淄博市周村區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王立功

幾何證明問題，是學(xué)生感到困惑的問題類型之一。尤其是對(duì)于圖形比較復(fù)雜的問題，學(xué)生常常出現(xiàn)思維障礙，找不到解決問題的方法。作為教師可以實(shí)現(xiàn)一題多解，學(xué)生一法難求。而當(dāng)教師將方法講給學(xué)生后，學(xué)生的收益往往甚微，再次遇到類似題目仍無(wú)法獨(dú)立解決。教師沒有達(dá)到“授之以漁”的目的。因此作為教師更應(yīng)該站在學(xué)生的角度去思考和分析學(xué)生的思維障礙，引導(dǎo)和幫助學(xué)生從突破自身思維障礙出發(fā)，正確找出解決問題的方法。

下文筆者通過(guò)一個(gè)有代表性的一道幾何問題，詳細(xì)闡述如何從學(xué)生角度分析問題，解決思維障礙，最后得出多種解決問題的策略的思考過(guò)程，希望對(duì)讀者有所幫助。

一、例題呈現(xiàn)

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，點(diǎn)O為BP的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BD，垂足為E。 連接EO，AE，猜想線段BP與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

二、學(xué)生的思維障礙

1.題目的結(jié)論未知，僅通過(guò)直觀觀察看不出它們之間的數(shù)量關(guān)系；點(diǎn)P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，線段BP和AE都在變化，長(zhǎng)度不是定值，學(xué)生感覺無(wú)從下手。

2. 題目中沒有數(shù)據(jù)可以運(yùn)用，BP和AE的長(zhǎng)度無(wú)法求出。

3.BP和AE沒有在同一個(gè)直角三角形中，所以通常三角函數(shù)等知識(shí)無(wú)法解決。

4.感覺BP和AE長(zhǎng)度不相等，無(wú)法運(yùn)用全等三角形解決。

三、站在學(xué)生角度，解決思維障礙，探索解決問題的方法

1.學(xué)生思維障礙一：結(jié)論未知，看不出兩條線段是什么數(shù)量關(guān)系。

作為教師如果直接給出學(xué)生答案，或者直接利用證明的方式給學(xué)生講解，最后得出結(jié)論對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是收獲甚微的。不利于學(xué)生思維的培養(yǎng)。因此教師可以站在學(xué)生的角度思考問題，如果看不出兩者的數(shù)量關(guān)系可以從什么地方入手來(lái)思考。課堂上可以提問學(xué)生：“自己的困難在哪？”部分學(xué)生會(huì)回答：“看不出它們之間的數(shù)量關(guān)系。”教師順勢(shì)再問“為什么看不出來(lái)？”“因?yàn)辄c(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，長(zhǎng)度不確定?！薄澳敲茨隳芨杏X它們的關(guān)系是確定的嗎？”“一定是確定的?！薄澳敲磁c點(diǎn)P的位置有關(guān)嗎？”“無(wú)關(guān)?！边@時(shí)便有學(xué)生可以聯(lián)想到未知問題的探索可以從猜測(cè)開始，而且對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問題可以通過(guò)特殊位置作出猜測(cè)，而特殊位置往往取運(yùn)動(dòng)的起始端和末端。當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)處。點(diǎn)E恰好是正方形對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，則容易算出；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，則點(diǎn)E恰好與D重合，此時(shí)容易算出故有不完全歸納法可以猜測(cè)出BP與AE的關(guān)系為BP=

2.學(xué)生思維障礙二：BP和AE長(zhǎng)度不相等，無(wú)法運(yùn)用全等三角形解決。

這種思維障礙是學(xué)生的思維狹窄，僅僅把線段關(guān)系理解為是否相等。因此教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考：兩條線段除了在全等三角形中的相等關(guān)系，還會(huì)出現(xiàn)不等關(guān)系。即一條線段是另一條線段的倍數(shù)（或幾分之幾）。這樣就可以引導(dǎo)學(xué)生思考如何解決不在一起的兩條線段倍數(shù)問題。因此從學(xué)生思維的角度很容易得到可以證明兩條線段所在的三角形相似，然后把目標(biāo)線段之比轉(zhuǎn)化成兩條已知的線段之比。于是可以有下面的證明方法：

解后反思：構(gòu)造三角形相似解決兩條線段之比的問題是比較直接的方法。當(dāng)然也可以通過(guò)過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD,垂足為點(diǎn)F，利用△AFE∽△BCP來(lái)解決。

3.學(xué)生思維障礙三：題目中沒有數(shù)據(jù)可以運(yùn)用，BP和AE的長(zhǎng)度無(wú)法求出。

學(xué)生這種思維障礙限制在了僅僅運(yùn)用數(shù)字來(lái)計(jì)算線段長(zhǎng)度。為了突破思維障礙教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于線段的計(jì)算除了有數(shù)字的代數(shù)計(jì)算外，還有代數(shù)式的運(yùn)算。因此自然容易得到用設(shè)參數(shù)的方式表示出所求線段的長(zhǎng)度。而對(duì)于兩條線段的關(guān)系最一般的思路就是通過(guò)計(jì)算它們的長(zhǎng)度進(jìn)行比較，這樣的解法更為自然。于是可以有下面的解法：

解法2：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，DP的長(zhǎng)為m，則PC=a-m，

在Rt△PBC中，根據(jù)勾股定理，

在等腰直角△DEP中，斜邊DP=m，

當(dāng)然對(duì)于線段的計(jì)算，教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生將圖形放置在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)解決。比如通過(guò)以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，以AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系。再通過(guò)引入?yún)?shù)結(jié)合坐標(biāo)系有關(guān)知識(shí)來(lái)解決類似問題。用代數(shù)知識(shí)解決幾何問題，這也正是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)。

4.學(xué)生思維障礙四：BP 和AE 不在同一個(gè)直角三角形中。

解決這個(gè)思維障礙就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考是否可以想辦法將兩條線段放在同一個(gè)三角形中（即兩條線段有公共頂點(diǎn)）。首先想到的便是將其中的一條（或兩條）轉(zhuǎn)化為與其相等的線段。最終借助第三方線段放在同一個(gè)三角形中。通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)在正方形中AE=EC，而BP=2OE，故只要探索EC和OE的數(shù)量關(guān)系。因此容易想到連接OC，將上述問題轉(zhuǎn)化到直角△EOC中。

解法3：連接OC，EC，由四邊形ABCD是正方形，易證AE=CE，因?yàn)椤鰾PE和△BCP都是直角三角形，又因?yàn)辄c(diǎn)O是BP的中點(diǎn)，所以BP，設(shè)∠EBP=α，則∠OBC=45°-α，∠EOP=α，則∠POC=90°-2α，故∠EOC=90°，由勾股定 理 得：OC2+OE2=EC2，所 以EC2=2OE2，即由BP=2OE，AE=EC，得

思路2：利用正方形對(duì)稱性將AE轉(zhuǎn)化為CE，問題就變成了BP如何轉(zhuǎn)化到與EC有公共頂點(diǎn)的三角形中。故可以在點(diǎn)E或C處構(gòu)造與BP相等的線段。因此利用E，B，C，P四點(diǎn)共圓，BP轉(zhuǎn)化為EF。則由即可以解決。

解法4：連接CE，由四邊形ABCD是正方形，易證AE=CE.因?yàn)镻E⊥BD，所以∠PEB=90°，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以∠PCB=90°，所以點(diǎn)E，B，C，P四點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑的圓上，作出該圓，延長(zhǎng)EO交⊙O于點(diǎn)F并連接CF，則BP，EF都是圓的直徑，所以BP=EF，因?yàn)椤螰=∠EBC=45°，所以△ECF是等腰直角

5.學(xué)生思維障礙五：部分同學(xué)可以探索出BP= AE，但思維障礙是如何構(gòu)造： AE.

上述思維障礙產(chǎn)生的原因是學(xué)生對(duì)于直角三角形勾股定理以及三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)不夠熟悉。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生思考，在什么情況下一個(gè)三角形中會(huì)出現(xiàn)倍的關(guān)系。因此學(xué)生很容易想到等腰直角三角形的斜邊與直角邊的比即為。因此可以利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造以AE為直角邊的等腰直角三角形，得到然后將BP放在同一個(gè)三角形中。解決了這個(gè)思維障礙便可以得到如下解法：

解法5：將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AFB，連接EF，則△AED≌△AFB，得AE=AF，∠EAF=90°，F(xiàn)B=ED，∠ABF=∠ADE=45°，所以，因?yàn)镻E⊥BD，∠EDP=45°，所以ED=PE，所以FB=PE，由∠ABD=45°，得∠ABF+∠ABD=90°，所以∠FBD=90°，所以FB∥PE，則四邊形FBPE是平行四邊形，所以BP=EF，因?yàn)?/p>

當(dāng)然也可以將AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，構(gòu)造以AE為直角邊的等腰直角三角形，得到

解后反思：直接告訴學(xué)生本題可以運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換來(lái)解決，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是有一定困難的。而通過(guò)解決學(xué)生思維障礙的角度看，構(gòu)造等腰直角△FAE便會(huì)順其自然。其本質(zhì)也就是旋轉(zhuǎn)。當(dāng)然按照上述思路還可以先得到AE=EC，然后構(gòu)造BP=

當(dāng)然部分同學(xué)會(huì)想到AE=EC，仍然是存在思維障礙：如何構(gòu)造因此可以類似上面解法，通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造以EC為直角邊的等腰直角三角形。

四、反思

1.教師要放手讓學(xué)生自己尋找解決思維障礙的方法。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)教師常常以自己為中心，不顧學(xué)生的實(shí)際情況，察覺不到學(xué)生的思維困難，而是任由教師按照自己的思路或知識(shí)邏輯灌輸式教學(xué)。這也就導(dǎo)致教師講解完例題之后學(xué)生真正掌握的非常少。學(xué)生沒有把教師所講的知識(shí)內(nèi)化為自己的知識(shí)。所以當(dāng)學(xué)生自己去解決問題時(shí)往往感到無(wú)所適從。學(xué)生遇到一個(gè)或多個(gè)思維障礙無(wú)法克服，長(zhǎng)此以往便形成了學(xué)生思維的膚淺性和數(shù)學(xué)思維的消極性。因此教學(xué)中不能僅僅讓優(yōu)秀生完美地展示他們的過(guò)程，更應(yīng)該鼓勵(lì)解題有困難的同學(xué)暴露他們的思維障礙，通過(guò)解決思維障礙，引領(lǐng)他們思維的深度和廣度，逐步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。前蘇聯(lián)教育家維果茨基曾提出兒童最近發(fā)展區(qū)理論。而學(xué)生思考問題的每一個(gè)思維障礙便是學(xué)生已有水平與將要解決的問題的差距。從學(xué)生思維的現(xiàn)有角度去思考和解決問題符合學(xué)生的發(fā)展規(guī)律。葉瀾教授曾指出：“課堂教學(xué)中，教師應(yīng)積極地看，積極地聽，設(shè)身處地地感受學(xué)生的所作所為、所思所想，積極鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難，允許出錯(cuò)，允許改正”。教學(xué)中多鼓勵(lì)學(xué)生多換一個(gè)角度想問題，勤問一下有困難的學(xué)生思考到了哪一步，你還需要哪些條件，你做了哪些嘗試，等等。因此課堂教學(xué)中教師要站在學(xué)生的角度，教給學(xué)生克服思維障礙的方法才會(huì)讓學(xué)生形成良好的解題習(xí)慣，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2. 解決思維障礙有助于實(shí)現(xiàn)一題多解，能夠提煉通性通法。

幾何證明題重在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和分析問題的能力。一題多解就需要學(xué)生認(rèn)真分析條件和結(jié)論，大致可以從哪幾個(gè)大的方面去思考。每一條思路遇到思維障礙要及時(shí)變通，思考如何解決，遇到瓶頸更要學(xué)會(huì)有沒有其他路線可以運(yùn)用。打通每一個(gè)思路便是一種好的解題方法。當(dāng)然教學(xué)中應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生去總結(jié)遇到類似的問題一般從哪些方面去解決，這就是通性通法。通性通法的總結(jié)和提升應(yīng)當(dāng)是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下來(lái)總結(jié)，更多的是學(xué)生的思考，而不是教師的灌輸。通性通法的總結(jié)有助于幫助學(xué)生解決學(xué)生思維障礙，實(shí)現(xiàn)高效解題。因此日常教學(xué)要教會(huì)學(xué)生通過(guò)解題反思自己的思維障礙，并以此總結(jié)通性通法。

3.以生為本，尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，課堂教學(xué)積極應(yīng)對(duì)學(xué)生的思維障礙。

教學(xué)中教師要想了解到學(xué)生的思維障礙就應(yīng)從學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際出發(fā)，了解到每一名學(xué)生存在的思維障礙。比如小組合作盡量不要讓優(yōu)秀的同學(xué)講解自己獨(dú)到的方法，讓他們成為一言堂。而更應(yīng)該利用學(xué)習(xí)小組鼓勵(lì)思維有困難的同學(xué)先講解自己的思路，暴露自己的思維障礙，然后由同學(xué)或老師幫助解決。這樣的合作才更有效。組長(zhǎng)對(duì)本組內(nèi)每一名學(xué)生的思維障礙反饋給教師，教師根據(jù)學(xué)情有針對(duì)性的講解，打通每一名同學(xué)的思維障礙，這才是真正的以學(xué)定教，這樣的課堂才更有實(shí)效性。

4.鼓勵(lì)學(xué)生有克服困難的信心。

對(duì)于幾何問題的教學(xué)，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生敢于應(yīng)對(duì)困難，提升自己思維的敏捷性。遇到思維障礙導(dǎo)致思路停滯不前時(shí)，善于尋找突破思維障礙的關(guān)鍵因素。對(duì)題目的已知條件和隱含條件重新梳理，對(duì)自己的思考方向?qū)ふ彝黄瓶凇９膭?lì)學(xué)生善于變換角度思考問題，拓寬自己的思維視角。當(dāng)然對(duì)于一個(gè)幾何問題的解決不一定有多種證明方法，但是當(dāng)學(xué)生具備了能夠突破自己思維障礙的思維品質(zhì)時(shí)，自己的解題能力會(huì)有較大提升。對(duì)于教師的教學(xué)來(lái)說(shuō)，應(yīng)該做到以生為本，真正落實(shí)學(xué)生的主體地位。教學(xué)中將自己的思維“放低”，站在學(xué)生的立場(chǎng)思考問題，和學(xué)生一起思考解決問題的方法。善于運(yùn)用“臺(tái)階式”的問題啟發(fā)學(xué)生的思維，逐步克服學(xué)生的思維障礙，實(shí)現(xiàn)高效的數(shù)學(xué)課堂。