王雨權(quán)

(中國鐵路設(shè)計集團(tuán)有限公司,天津 300308)

鐵路列車活載是鐵路列車對結(jié)構(gòu)工程靜態(tài)作用的概化表達(dá)形式，對于鐵路橋涵結(jié)構(gòu)的設(shè)計影響巨大[1-5]。隨著鐵路事業(yè)的快速發(fā)展，我國制定了多種活載類型，如ZK、ZC、ZH、ZKH，分別使用于高速鐵路、城際鐵路、客貨共線鐵路、重載鐵路等[6-10]，同時，隨著海外鐵路項(xiàng)目的推進(jìn)，還需要研究制定適合海外需求的各種活載[11-13]。

目前ZK、ZC、ZH、ZKH等活載的標(biāo)準(zhǔn)圖式，可以歸類為圖1的形式，不同的距離和載荷數(shù)據(jù)代表不同活載。

如圖1中S1=S5=0.8 m，S2=S3=S4=1.6 m。集中荷載大小F1=F2=F3=F4=200 kN，線荷載大小F01=F02=64 kN/m，則該圖即可表示為ZK標(biāo)準(zhǔn)活載圖式。如F1=F2=F3=F4=150 kN，F(xiàn)01=F02=48 kN/m，則該圖示即可表示ZC標(biāo)準(zhǔn)活載圖式。如取其他值，則表示其他活載類型。

圖1 新活載通用圖示

列車活載的大小直接影響梁、墩臺及樁基的設(shè)計。為此，我國在大規(guī)模鐵路橋梁建設(shè)過程中，進(jìn)行了活載對橋梁建設(shè)影響的各種研究[14-18]。

對于一個特定的列車活載，在墩臺和基礎(chǔ)設(shè)計中，前輩們根據(jù)檢算內(nèi)容的不同，提煉出幾種控制性工況，如單孔輕載、單孔重載、雙孔輕載、雙孔重載等控制性工況[19-20]。

單孔輕載、單孔重載物理意義比較簡單，求解時只需根據(jù)單孔梁的影響線，把集中荷載部分放在影響線的最大、最小處即可求得。但對于雙孔重載和雙孔輕載則稍微復(fù)雜，因雙孔重載和雙孔輕載對于一個簡支梁組合來說，是一個共軛關(guān)系，因此這兩個工況的求解過程的本質(zhì)是一樣的。

下文推導(dǎo)公式即按照圖1中的符號表示。單孔重載和單孔輕載的表達(dá)式比較簡單，限于篇幅，僅重點(diǎn)介紹雙孔重載計算。

1 現(xiàn)有方法合理性探討

1.1 現(xiàn)有方法合理性初探

現(xiàn)有設(shè)計手冊均以“中-活載”為研究對象。以圖2為例，雙孔重載的布置應(yīng)該使得R2+R3最大，這就需要解決一個加載點(diǎn)計算問題。

圖2 “中-活載”加載示意

由鐵一院主編的設(shè)計手冊《橋梁墩臺》[21]在求解雙孔重載加載點(diǎn)時給出了一個計算原則，即當(dāng)G1/(L1-a1-a2)=G2/(L2-a3-a4)時，R2+R3最大。經(jīng)了解，某設(shè)計院原有相關(guān)計算程序在計算“中-活載”的雙孔加載時，也是采用這一原則來尋找最佳加載位置。

式中，G1、G2為左右兩側(cè)梁跨上承擔(dān)的荷載值；L1、L2為左右梁跨的梁跨總長；a1、a2、a3、a4為各支座到梁跨中心線的距離。

經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，利用該原則計算出來的并不是R2+R3的最大值位置。下面用一個在研究“中-活載”時找到的反例進(jìn)行驗(yàn)證。

圖2中，假設(shè)梁長L1=L2=12.28 m，因?yàn)長1=L2，上述判據(jù)可以簡化為G1=G2。

設(shè)“中-活載”的第1個集中力距左側(cè)梁邊緣距離為x，此時左側(cè)梁跨的總荷載可表示為G1=1 100+(12.28-x-7.5)×92，對應(yīng)右側(cè)梁跨總荷載為：G2=1 129.76kN。由G1=G2可得：x=4.46 m。

在求得加載點(diǎn)x=4.46 m后，根據(jù)彎矩平衡即可求得此時橋墩所受總壓力R2+R3=1 235.88 kN，該值即為現(xiàn)有方法的計算結(jié)果。

但如果將圖2中第5個集中荷載作用于兩孔梁的交點(diǎn)位置，x值為6.28 m。此時橋墩所受總壓力R2+R3=1 393.13 kN。

由此可見，將第5個集中荷載作用于兩孔梁的交點(diǎn)位置時，所得到的總支反力大于按照現(xiàn)有方法G1/(L1-a1-a2)=G2/(L2-a3-a4)判據(jù)得到的總壓力。

因此，判據(jù)得到的活載布置位置只是其中一個臨界點(diǎn)，但并不是極值點(diǎn)。

1.2 理論論證

下面通過理論推導(dǎo)來論證現(xiàn)有方法求得的起算點(diǎn)x值并不一定是極值點(diǎn)。

根據(jù)定義可知，當(dāng)列車“中-活載”移動到極值點(diǎn)位置時，橋墩所受的壓力之和最大，也即R2+R3值最大。因而荷載由極值點(diǎn)位置不論向左或向右移動到臨近位置時，R2+R3值均應(yīng)減小，這一過程可用數(shù)學(xué)極值表示

(1)

如圖2所示，設(shè)左、右兩側(cè)梁跨的影響線傾角分別為α1、α2，當(dāng)整個“中-活載”向左或向右移動一微小距離Δx時，相應(yīng)的R2+R3值為

R2+R3=P1(y1+Δy1)+P2(y2+Δy2)+…+

(2)

式中，R2、R3為計算橋墩上作用的兩側(cè)梁的支反力；P1、P2，…，Pn為影響線上“中-活載”的集中荷載；y1、y2，…，yn為P1、P2，…，Pn荷載對應(yīng)的高度；Δy1、Δy2，…，Δyn為因向右移動一微小距離Δx時影響線上P1、P2，…，Pn荷載對應(yīng)的高度變化量；p92、p80為均布荷載；y92、y80為均布荷載對應(yīng)影響線高度。

下面可以論證原計算原則只是式(1)的一個特例，即當(dāng)兩孔梁上只作用集中荷載，且梁長及支座到梁跨中心線的距離均對稱相等時，式(1)代表的通用判據(jù)與G1/(L1-a1-a2)=G2/(L2-a3-a4)是等價的。

當(dāng)梁上只作用集中荷載時，荷載向左或向右移動一微小距離Δx時，可得對應(yīng)的支反力的增量為

Δ(R2+R3)=P1Δy1+P2Δy2+…+PnΔyn=

(3)

式中，α1、α2為圖2中左右兩側(cè)影響線的傾角，符號相反，因α1、α2為小角度，近似有αi=tanαi(i=1，2)，PL、PR分別為作用于左右兩側(cè)梁上的荷載值。當(dāng)梁長及支座到梁跨中心線的距離均對稱相等時，α1與α2大小相等，方向相反。

由式(1)、式(3)及Δx不為零可知，在極值條件下，Δ(R2+R3)為零，可進(jìn)一步得到α1∑PL+α2∑PR為零。而由于α1=-α2，可得∑PL=∑PR。

而對于判據(jù)G1/(L1-a1-a2)=G2/(L2-a3-a4)，當(dāng)梁長及支座到梁跨中心線的距離均對稱相等時可得G1=G2。此時與∑PL=∑PR結(jié)論一致。

但對于“中-活載”來說，存在均布荷載。也即式(2)中的積分項(xiàng)不能略去。且對于任意梁跨組合，其左右兩側(cè)的梁長也并不一定相等，支座到梁跨中心線的距離也不一定對稱，在此情況下，是無法得到與判據(jù)G1/(L1-a1-a2)=G2/(L2-a3-a4)一樣的結(jié)論的。

因此，傳統(tǒng)尋找加載點(diǎn)的計算方法所求得的位置，并不一定能滿足極值點(diǎn)要求，據(jù)此計算得到的起算點(diǎn)的科學(xué)性有待商榷。

2 利用極值求導(dǎo)法求算雙孔重載

雙孔重載，可用于檢算橋墩的墩身強(qiáng)度、基底最大應(yīng)力和穩(wěn)定性，對于ZK、ZC、ZH、ZKH等新活載圖式，目前還缺乏相關(guān)的資料用于求解支反力。

由于雙孔重載應(yīng)該使得橋墩兩側(cè)兩孔梁的支反力之和R2+R3最大，從數(shù)學(xué)角度來講，此時應(yīng)該就是R2+R3對加載位置x的導(dǎo)數(shù)為0的駐值點(diǎn)位置，因此，求解加載點(diǎn)位置可采用極限求導(dǎo)的方法進(jìn)行。

為使推導(dǎo)的計算公式盡量適應(yīng)更多類型的活載，以圖1所示的活載通用形式為推導(dǎo)依據(jù)。雙孔重載的計算圖式見圖3。

圖3 新活載之雙孔重載圖式

圖3中，假設(shè)6 m≤L1≤L2，x為左側(cè)梁端到第一個集中荷載的距離，由于左右兩側(cè)梁長L1、L2可以有不同的組合，加載計算點(diǎn)也可布置在不同的位置，這兩個因素都會影響R2+R3的具體表達(dá)式。因此，可根據(jù)左側(cè)梁跨上出現(xiàn)的集中力個數(shù)來區(qū)分計算工況及其對應(yīng)的邊界條件。由于集中荷載有4個，因此可出現(xiàn)5種工況。對這5種工況，分別建立R2和R3的表達(dá)式，然后對R2+R3求導(dǎo)數(shù)，并令其導(dǎo)數(shù)為零，求出加載點(diǎn)x值。然后判斷計算得到的x值是否滿足與梁長的關(guān)系，如滿足，則將得到的x值分別代入R2和R3的表達(dá)式，即可求得每種工況的雙孔重載值，下面對這5種工況分別進(jìn)行公式推導(dǎo)。

2.1 左側(cè)梁中有1個集中荷載F1

如圖4所示，左側(cè)梁中布置1個集中荷載F1，根據(jù)圖示，寫出R2和R3的力矩平衡方程如下

(4)

圖4 工況1活載加載示意

經(jīng)整理，可分別寫出支反力R2和R3的表達(dá)式

(5)

由R2+R3值對x求導(dǎo)，即

(6)

可得加載位置的表達(dá)式為

(7)

通過式(7)計算得出x值后，尚需檢算該工況的梁長與x值的關(guān)系式是否滿足下列條件

L1-S2

(8)

如滿足式(8)的判別條件，可將x值代入式(5)的表達(dá)式，求出R2和R3的值，此時的R2+R3即為本工況的雙孔重載值。

特別指出的是，式(8)是保證左側(cè)梁中分布一個集中力F1的必要條件。

2.2 左側(cè)梁中有2個集中荷載F1、F2

如圖5所示，左側(cè)梁中布置2個集中荷載F1、F2，根據(jù)圖示，寫出R2和R3的力矩平衡方程如下

(9)

圖5 工況2活載加載示意

經(jīng)整理，可分別寫出支反力R2和R3的表達(dá)式

(10)

由R2+R3值對x求導(dǎo)，可得加載位置為

(11)

通過式(11)計算得出x值后，尚需檢算該工況的梁長與x值的關(guān)系式是否滿足條件

L1-S2-S3

(12)

如滿足式(12)的判別條件，可將x值代入式(10)的表達(dá)式，求出R2和R3的值，此時的R2+R3即為本工況的雙孔重載值。

2.3 左側(cè)梁中有3個集中荷載F1、F2、F3

如圖6所示，左側(cè)梁中布置3個集中荷載F1、F2、F3，根據(jù)圖示，同樣可寫出R2和R3的力矩平衡方程式，然后求出各自表達(dá)式如下

(13)

圖6 工況3活載加載示意

由R2+R3值對x求導(dǎo)，可得加載位置為

(14)

通過式(14)計算得出x值后，尚需檢算該工況的梁長與x值的關(guān)系式是否滿足條件

L1-S2-S3-S4

(15)

如滿足式(15)的判別條件，可將x值代入式(13)的表達(dá)式，求出R2和R3的值，此時的R2+R3即為本工況的雙孔重載值。

2.4 左側(cè)梁中有4個集中荷載F1、F2、F3、F4

如圖7所示，左側(cè)梁中布置4個集中荷載F1、F2、F3、F4，根據(jù)圖示，同樣可寫出R2和R3的力矩平衡方程式，然后求出各自表達(dá)式如下

(16)

圖7 工況4活載加載示意

由R2+R3值對x求導(dǎo)，可得加載位置為

(17)

通過式(17)計算得出x值后，需檢算本工況梁長與x值的關(guān)系式是否滿足條件

0≤x≤L1-S2-S3-S4

(18)

如滿足式(18)的判別條件，可將x值代入式(16)，求出R2和R3的值，此時的R2+R3即為本工況的雙孔重載值。

2.5 左側(cè)梁中無集中荷載

對于左側(cè)梁中沒有分配集中荷載的情況可參見圖3。根據(jù)圖示寫出R2和R3的力矩平衡方程式，然后求出各自表達(dá)式如下

(19)

由R2+R3值對x求導(dǎo)，可得加載位置。先對R3求導(dǎo)得

(20)

對于R2，可分為兩種情況。

當(dāng)L1≥x-S1時

(21)

此時

(22)

(23)

通過上式計算得出x值后，進(jìn)一步驗(yàn)算本工況的梁長與x值的關(guān)系式是否滿足條件

L1

(24)

如滿足式(24)的判別條件，可將x值代入式(19)的表達(dá)式，求出R2和R3的值，此時的R2+R3即為本工況的雙孔重載值。

當(dāng)L1

(25)

(26)

通過式(26)計算得出x值后，需驗(yàn)算本工況的梁長與x值的關(guān)系式是否滿足條件

L1+S1

如滿足式(27)的判別條件，可將x值代入式(19)的表達(dá)式，求出R2和R3的值，此時的R2+R3即為本工況的雙孔重載值。

3 數(shù)值驗(yàn)證

將上述計算公式編制成表格，然后針對高鐵橋梁設(shè)計中常用的簡支梁梁跨組合進(jìn)行計算測試，計算結(jié)果與Midas結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證。

公式驗(yàn)算的表格形式如表1所示，Midas計算采用“所有點(diǎn)”法加載，并利用Midas的并發(fā)反力功能，查找出當(dāng)R2+R3值最大時的加載位置及此時雙孔重載值。

表1 新活載計算公式驗(yàn)證計算

表1中的a1、a2、a3、a4及L1、L2、x的含義與圖2一致。

下面以ZK活載為例，分別測試如下梁跨組合，并將測試結(jié)果匯總于表2。

工況1的梁跨組合為：L1=32.7 m，L2=32.7 m，a1=0 m，a2=a3=a4=0.35 m。

工況2的梁跨組合為：L1=32.7 m，L2=24.7 m，a1=a2=a3=a4=0.35 m。

工況3的梁跨組合為：L1=24.7 m，L2=32.7 m，a1=a2=a3=a4=0.35 m。

表2 與Midas計算結(jié)果對比

從上面3組測試工況的對比結(jié)果來看，本文所推導(dǎo)的算法與商業(yè)軟件Midas的計算結(jié)果對比，最大誤差為0.513%，不超過1%，計算精度滿足工程設(shè)計要求。

上述誤差產(chǎn)生的原因，經(jīng)分析可能存在兩種情況：其一，Midas加載計算中，采用的空間梁單元是一個彈性體，而本文所推導(dǎo)的公式忽略彈性變形，公式建立在剛體范疇內(nèi)；其二，Midas加載計算中，移動荷載分析所采用的“所有點(diǎn)”法，是一種數(shù)值解，計算過程中，程序內(nèi)部劃分移動步距，導(dǎo)致在計算時得到的極值點(diǎn)并不是精準(zhǔn)的極值點(diǎn)。

4 結(jié)論

本文對簡支梁活載加載計算中現(xiàn)有的雙孔重載極值點(diǎn)求解方法進(jìn)行了評述，從算例及理論兩方面對原有計算方法的科學(xué)性進(jìn)行了論述。并基于新型活載的參數(shù)化表示方法，提出了極值求導(dǎo)法求解雙孔重載加載點(diǎn)位置，分5種工況給出了各梁跨組合的雙孔重載表達(dá)式。主要結(jié)論如下。

(1)橋墩設(shè)計中，現(xiàn)有的雙孔重載加載點(diǎn)計算方法存在缺陷，該方法只有在兩側(cè)梁跨相等且無均布荷載情況下成立。

(2)雙孔重載加載點(diǎn)計算中，原有計算方法是本文所述極值求導(dǎo)法的一個特例。

(3) ZK、ZC、ZH、ZKH等新型活載，可采用統(tǒng)一的參數(shù)化標(biāo)準(zhǔn)圖式，荷載圖式中，只需要各參數(shù)取值不同，即可代表不同類型活載。

(4) 根據(jù)梁跨組合情況給出的5種計算工況，能包絡(luò)所有加載情況，不同工況也體現(xiàn)在需滿足的邊界條件有所不同。

(5) 以高鐵橋梁設(shè)計中常用的簡支梁梁跨組合進(jìn)行計算測試，結(jié)果表明，與Midas的計算結(jié)果誤差不超過0.513%，計算精度滿足工程設(shè)計要求。