廣東省佛山市順德區(qū)沙滘初級(jí)中學(xué)(528315)李逸城

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》實(shí)施建議中明確提出:“信息技術(shù)可以豐富為學(xué)生展示各種資料的方法,比如聲音、文字以及圖像等,而且在選擇和具體呈現(xiàn)方面更加靈活;而且可以通過各種情境來組織教學(xué)活動(dòng),使學(xué)生能夠更好的感受沉浸式教學(xué);也保證是學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的過程中有了更多可用工具;即使雙方的距離再遠(yuǎn),也可以面對(duì)面的交流.該技術(shù)使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式得以從根本上改變,所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中一定要充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用.

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,將數(shù)學(xué)與信息技術(shù)相結(jié)合已經(jīng)作為一種常用的整合方式,使學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué),掌握數(shù)學(xué).因此信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)的充分融合,也充分體現(xiàn)出了其價(jià)值.比如初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的幾何畫板,就是經(jīng)濟(jì)技術(shù)運(yùn)用的成功案例.幾何畫板具有動(dòng)態(tài)效果呈現(xiàn)的功能,極大的方便了教師做數(shù)學(xué)中設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)的研究.

在近年的廣東省中考中,無論是幾何還是代數(shù),都可能會(huì)以函數(shù)作為知識(shí)背景,在解決問題時(shí)得到充分展現(xiàn).而二次函數(shù)作為中考的必考知識(shí)點(diǎn),也是難點(diǎn),通常以動(dòng)點(diǎn)類壓軸題類型出現(xiàn),可見它占據(jù)著非常重要的地位.因此,在教學(xué)中,若能將信息技術(shù)與二次函數(shù)相關(guān)內(nèi)容融合,能使抽象的函數(shù)知識(shí)變得更生動(dòng)形象易懂,學(xué)生不再畏難排斥,同時(shí)也充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性,求知欲.以下,筆者將以二次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題與信息技術(shù)的深度融合應(yīng)用展開分析.

1 二次函數(shù)綜合題中由動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段問題

例1如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A,B(1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線y=x-2 經(jīng)過A,C兩點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為D.

(1)求拋物線的解析式;

(2)設(shè)點(diǎn)P為位于直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)且與點(diǎn)A、C不重合,過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線AC于點(diǎn)H,當(dāng)PH值最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)在y軸上是否存在一點(diǎn)G,使得GD+GB的值最小? 若存在,求出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

分析若學(xué)生在初次接觸此類題目時(shí),會(huì)被第2、3 小問難倒,可能會(huì)無從下手.很多同學(xué)在第一次做類似第2 問時(shí),會(huì)連蒙帶猜,用自己的感覺認(rèn)為點(diǎn)P在頂點(diǎn)時(shí),PH的值最大來求解.

對(duì)于第(2)問,用幾何畫板來驗(yàn)證部分學(xué)生感觀意識(shí)給自己的錯(cuò)覺.將PH由左到右依次拉動(dòng),讓學(xué)生感受它的變化(如圖1,2,3,4).

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

接下來就是求點(diǎn)G的坐標(biāo)了,只要把直線B′D的解析式求出,把x=0 代入則可得出結(jié)果.

通過動(dòng)態(tài)展示,學(xué)生更透徹地理解“將軍飲馬”問題,舉一反三,有時(shí)問題為求某個(gè)三角形周長最小,多數(shù)情況也是轉(zhuǎn)化為以上問題,在講解時(shí),讓學(xué)生總結(jié)規(guī)律,則可以在二次函數(shù)中輕松解決類似問題.

針對(duì)以上二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題,教師適當(dāng)運(yùn)用信息技術(shù)來輔助教學(xué),特別是剛開始接觸此類題型時(shí),注意“化靜為動(dòng)”的方法,教師可以把一些抽象的問題轉(zhuǎn)化為形象生動(dòng)具體的動(dòng)態(tài)過程,在這個(gè)過程中,學(xué)生能夠深入的感知知識(shí),同時(shí)總結(jié)學(xué)習(xí)方法,給后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

2 二次函數(shù)綜合題中由動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題

例2如圖,拋物線y=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有沒有P點(diǎn)存在,從而保證ΔPAC周長最小,假如存在,計(jì)算出點(diǎn)P的的實(shí)際坐標(biāo)和ΔPAC最小周長值;假如不存在,說明原因;

(3)在(2)的條件下,在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M(不與C點(diǎn)重合),使得SΔPAM=SΔPAC? 若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

分析第(2)小問與前面例1 中的“將軍飲馬”問題是同一類型,通過做對(duì)稱點(diǎn),結(jié)合兩點(diǎn)間線段最短即可解決(如圖8),在此不作展開.

圖8

第(3)小問涉及動(dòng)點(diǎn)中的面積,由(2)得出點(diǎn)P的位置,ΔPAC是定點(diǎn)三角形,點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn),通過幾何畫板演示點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng),找出SΔPAM=SΔPAC,再結(jié)合所學(xué)知識(shí)總結(jié)方法.

借助信息技術(shù),以及學(xué)生觀察交流,總結(jié)方法.由于兩三角形等面積,當(dāng)兩三角形以PA為底時(shí),高相等,即點(diǎn)C和點(diǎn)M到直線PA距離相等.

情形1: 若點(diǎn)M在點(diǎn)P上方,則有CM//PA.如圖9,求出直線AP解析式:y=x+1; 可得直線CM解析式為:y=x+ 3; 聯(lián)立直線CM和二次函數(shù)的方程組即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

圖9

情形2: 若點(diǎn)M在點(diǎn)P下方,如圖10,則點(diǎn)M所在的直線l//PA,且直線l到PA的距離等于直線y=x+3 到PA的距離.直線AP:y=x+1 向下平移2 個(gè)單位得y=x-1即為直線l的解析式,同理,聯(lián)立直線l和二次函數(shù)的方程組即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo).(注意: 點(diǎn)M在x軸上方,不符合條件的點(diǎn)需要舍去)

圖10

通過信息技術(shù)手段的輔助,觀察動(dòng)態(tài)變化過程,總結(jié)一般的解題方法,這是“化動(dòng)為靜”的技巧.第(3)小題需要進(jìn)行分類討論,而兩種情形所用方法原理也是一樣的.在今年廣東省中考綜合題中“分類討論”是?？嫉臄?shù)學(xué)思想方法,在教學(xué)中,我們應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注,避免遺漏.

3 二次函數(shù)綜合題中由動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似問題

例3如圖,在直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+3 與x軸,y軸分別交于點(diǎn)B,點(diǎn)C,對(duì)稱軸為x=1 的拋物線過B,C兩點(diǎn),且交x軸于另一點(diǎn)A,連接AC.

(1)直接寫出點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的解析式;

(2)已知點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P到直線BC的距離最大時(shí),求點(diǎn)P坐標(biāo);

拋物線上是否存在一點(diǎn)Q(點(diǎn)C除外),使以點(diǎn)Q,A,B為頂點(diǎn)的三角形與ΔABC相似? 若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

分析第(2)題求點(diǎn)P到直線BC的距離最大,教師可借助幾何畫板畫出PH⊥BC,拉動(dòng)PH運(yùn)動(dòng),讓學(xué)生觀察——猜測(cè)——驗(yàn)證.(如圖11 為拉動(dòng)過程)

圖11

通過動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)對(duì)比發(fā)現(xiàn),第(2)小題中先“化斜為直”,結(jié)合相似或三角函數(shù),把所求的斜的PH轉(zhuǎn)化至直的PQ,再用例1 中的線段問題解決方法即可攻破.可見,兩道題目雖有不同,卻又有著千絲萬縷的聯(lián)系,別有一番滋味.

第(3)小題在之前的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上,結(jié)合信息技術(shù),在呈現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中,QA、QB以及相應(yīng)的角都會(huì)發(fā)生變化,要使以點(diǎn)Q,A,B為頂點(diǎn)的三角形與ΔABC相似,學(xué)生可得出此類題目一定不止一種情形,要進(jìn)行分類討論.

情形1: 當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí),此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱,即點(diǎn)Q,A,B為頂點(diǎn)的三角形與ΔABC全等,則點(diǎn)Q(2,3).(如圖12)

圖12

情形2: 當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí),當(dāng)對(duì)應(yīng)角不同時(shí),就會(huì)出現(xiàn)不同的相似情況.

(Ⅰ)當(dāng)∠BAQ=∠CAB時(shí),,ΔQAB∽ΔBAC,如圖13.

圖13

由勾股定理得:AC=5,過點(diǎn)Q作QD⊥x軸于點(diǎn)D,由ΔQDA∽ΔACO得對(duì)應(yīng)邊成比例,OC=3,∴QH=12,則AH=16,OH=16-4=12,∴Q(12,-12);

啟發(fā)學(xué)生,根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性,當(dāng)點(diǎn)Q在第三象限時(shí),點(diǎn)Q(-10,-12); 故此情況下點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:(12,-12)或(-10,-12);(如圖14)

圖14

(Ⅱ)當(dāng)∠BAQ=∠CBA時(shí),則直線AQ//BC,通過拉動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程,以及結(jié)合計(jì)算可以得出此情況不存在,因此舍去.

對(duì)于二次函數(shù)中由動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似問題,通常要應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想,結(jié)合動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)思維,運(yùn)用正確方法來解決相關(guān)問題.教師可以通過信息技術(shù)來對(duì)知識(shí)進(jìn)行動(dòng)態(tài)化講解,“動(dòng)靜結(jié)合”,動(dòng)為軌跡、圖形,靜則為方法.

將信息技術(shù)和數(shù)學(xué)課堂有效融合,為學(xué)生提供數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法及解決問題的工具,探索出更多學(xué)習(xí)與教學(xué)方法.本文中涉及的二次函數(shù)綜合題中的動(dòng)點(diǎn)問題往往是中考中的壓軸題,所占分值高,難度大,比較抽象,學(xué)生對(duì)這類題題意的理解往往很困難,由此形成了教學(xué)的難點(diǎn).信息技術(shù)手段的應(yīng)用為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了更廣大的平臺(tái),幫助學(xué)生將抽象的問題形象化,使學(xué)生在各種數(shù)學(xué)活動(dòng)中投入更多的精力,有助于學(xué)生分析問題,解決問題,逐步學(xué)會(huì)將知識(shí)形成方法,方法形成規(guī)律,從而解決教學(xué)中的難點(diǎn).