廣東省珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)(519000) 李 凱

一、發(fā)現(xiàn)問題與提出問題

題目1 (2018 年高考天津卷第20 題)已知函數(shù)f(x)=ax,g(x)=logax,其中a>1.

(I)求函數(shù)h(x)=f(x)?xlna的單調(diào)區(qū)間;

(II) 若曲線y=f(x) 在點(diǎn)(x1,f(x1)) 處的切線與曲線y=g(x) 在點(diǎn)(x2,g(x2)) 處的切線平行,證明

(III) 證明:當(dāng)a≥時(shí),存在直線l,使l是曲線y=f(x)的切線,也是曲線y=g(x)的切線.

評析本題是以同底指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的公切線為背景的高考題,指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是高中階段非常重要的兩類函數(shù),而且同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)還互為反函數(shù),研究這兩個函數(shù)的公切線應(yīng)該是一個非常有意義的問題.在教學(xué)中,在解完這道試題后,師生又共同思考了兩個更一般的問題并對問題進(jìn)行了探究:

問題1 (對高考題更精細(xì)的探究) 當(dāng)a≥時(shí),函數(shù)f(x)=ax與g(x)=logax的公切線有幾條?

問題2 (更一般的探究) 當(dāng)a >0 且a1 時(shí),函數(shù)f(x)=ax與g(x)=logax的公切線有幾條?

二、探究歷程

(一)問題的簡化

下文中,稱l是曲線f(x)和曲線g(x)的公切線是指:直線l既是曲線f(x)的切線也是曲線g(x)的切線.為簡化問題,先證明一個引理.

引理1 若曲線y=ax在點(diǎn)(x1)處的切線與曲線y=logax在(x2,logax2)(x2>0)處的切線重合,則x1,x2必滿足方程組(由①與②組成)

(二)探究路徑

筆者一方面細(xì)研了這道題高考題的解法,嘗試從嚴(yán)格推理的角度去分析,但在對底數(shù)進(jìn)行分類時(shí)遇到一些困難.于是筆者也借助GeoGebra 軟件作出y=ax與y=logax的圖象,通過軟件中的“切線工具”作出一個函數(shù)(比如y=ax)的切線l,讓切線l動態(tài)變化,觀察切線l與另一函數(shù)(比如y=logax)的交點(diǎn)情況,由于y=ax與y=logax都具有很好的凸性,因此一條直線與函數(shù)y=ax(或y=logax)最多有兩個交點(diǎn);而且當(dāng)斜率存在且不為0 的直線與函數(shù)y=ax(或y=logax)只有一個交點(diǎn)時(shí),這條直線必為函數(shù)y=ax(或y=logax)的切線.

參考文[1]中的操作,在GeoGebra 平臺中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程如下:

(1)引入一個滑動條表示參數(shù)a,分別作出圖象y=ax與y=logax的圖象;

(2)利用描點(diǎn)工具在y=ax的圖象中作出點(diǎn)A,利用切線工具作出y=ax在點(diǎn)A處的切線l,拖動點(diǎn)A的位置,切線l也隨著變化.

(3) 通過拖動滑動條,可以改變a的值.先固定a值,再拖動點(diǎn)A的位置,讓切線l改變,觀察l與y=logax的圖象的交點(diǎn),當(dāng)l與y=logax只有一個交點(diǎn)時(shí),l也是y=logax的切線.在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中,由于只有一個交點(diǎn)時(shí)所對應(yīng)的直線位置很難精確控制;故簡化操作如下:當(dāng)l與y=logax的交點(diǎn)由兩個動態(tài)變化到無交點(diǎn)時(shí),可以判斷中間會有一個位置滿足l也是y=logax的切線,這個可以作為在實(shí)驗(yàn)中一個簡化判斷公切線的依據(jù),圖1 是一個實(shí)驗(yàn)界面的截圖.

圖1

通過定性的演示,基本找到了對底數(shù)分類的依據(jù),然后通過嚴(yán)格證明,對同底指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的公切線的條數(shù)根據(jù)底數(shù)的不同進(jìn)行嚴(yán)格的討論,完成了對問題(1)與問題(2)的解決,也算是對這道題要證明結(jié)論的一個深度推廣.

三、結(jié)論與證明

(一)當(dāng)?shù)讛?shù)大于1 時(shí)的公切線條數(shù)的結(jié)論與證明

引理2 當(dāng)a>1 時(shí),ax≥1+xlna.

證明直接構(gòu)造函數(shù)f(x)=ax ?xlna ?1,(a >1),則f′(x)=(ax ?1)lna.令f′(x)=0 得x=0,而a >1,故當(dāng)x >0,f′(x)>0;當(dāng)x <0,f′(x)<0.故0 為f(x)的極小點(diǎn),故f(x)≥f(0)=0,即ax≥1+xlna成立,引理得證.

結(jié)論1 當(dāng)a>1 時(shí)曲線y=ax與曲線y=logax的公切線的條數(shù)有如下結(jié)論:

注前面高考題的第三問,只需證明至少存在一個零點(diǎn),把情形(Ⅰ)(Ⅱ)適當(dāng)簡化一下,可當(dāng)高考題的證明答案.

(二)當(dāng)?shù)讛?shù)小于1 時(shí)的公切線的條數(shù)的結(jié)論與證明

引理3 若可導(dǎo)函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)互為反函數(shù),若在函數(shù)f(x)中存在x0使得f′(x0)=?1,則函數(shù)f(x)在x0處的切線也同時(shí)與函數(shù)g(x)相切.

證明設(shè)A(x0,y0)為函數(shù)f(x)上的點(diǎn),記A關(guān)于y=x對稱的點(diǎn)為B(y0,x0),若f′(x0)=?1,根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可得f′(x0)g′(y0)=1,這樣g′(y0)=?1,故函數(shù)f(x)在點(diǎn)A處的切線方程為:y ?y0=?(x ?x0),函數(shù)g(x)在B處的切線方程為:y ?x0=?(x ?y0);顯然兩條切線重合,即函數(shù)f(x) 在x0處的切線也同時(shí)與函數(shù)g(x)相切.

由引理3 可知,當(dāng)0

在結(jié)論1 的證明中有關(guān)零點(diǎn)存在的嚴(yán)格證明在找界時(shí),花了大量的篇幅,為突出證明思想,在結(jié)論2 的證明中直接通過極限來說明零點(diǎn)的存在.

結(jié)論2 當(dāng)0

(Ⅰ)當(dāng)e?e≤a<1 時(shí),函數(shù)y=ax與函數(shù)y=logax有且僅有一條公切線;特別地當(dāng)a=e?e時(shí),函數(shù)y=ax與函數(shù)y=logax唯一的公切線的方程為y=

(Ⅱ)當(dāng)0

證明同結(jié)論1,只需討論滿足方程組①及②解的個數(shù)

把方程①代入方程②可得

當(dāng)x → ?∞時(shí),1?xlna → ?∞,ax →+∞,故(1?xlna)· ax →?∞,u(x)→?∞;當(dāng)x →+∞,由洛必達(dá)法則知u(x)→+∞.這樣u(x)在區(qū)間(?∞,m)與(m,n)以及(n,+∞)各有一個零點(diǎn).并且其中一個零點(diǎn)是示意圖如圖(2)能方便理解.

圖2

四、總結(jié)與圖形直觀說明

綜上我們能得到關(guān)于同底指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax的公切線的條數(shù)有如下結(jié)論:(1)當(dāng)a >時(shí),有兩條不同的公切線;(2)當(dāng)a=時(shí),且僅有唯一的公切線且公切線的方程為y=x;(3)當(dāng)1

文[2]對同底指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax的交點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行了討論,結(jié)論如下:

(1)當(dāng)a>時(shí),無交點(diǎn);當(dāng)a=時(shí),有唯一一個交點(diǎn);(2)當(dāng)1

圖3

圖4

圖5

圖6

五、教學(xué)思考

2017 年版的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出,通過提升信息技術(shù)的使用能提升教學(xué)實(shí)踐能力,“教師要適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展,按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,發(fā)揮信息技術(shù)直觀便捷,資源豐富的優(yōu)勢,幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”[3].利用GeoGebra 軟件的實(shí)驗(yàn)與探究能夠提高學(xué)生直觀想象素養(yǎng),進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

圖7

張景中院士曾提出了“教育數(shù)學(xué)”[4]的理念,致力于在教學(xué)中要“深入淺出”,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,讓更多的學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué).通過使用信息技術(shù)就是一個好的突破口.發(fā)現(xiàn)一個好的問題,提出這個問題的數(shù)學(xué)原型,通過數(shù)學(xué)軟件借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)去探究猜想,最后借助數(shù)學(xué)理論用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砣プC明猜想,經(jīng)歷了“發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,分析問題,解決問題”四個階段,落實(shí)了“四能”,這是一個實(shí)現(xiàn)“深度學(xué)習(xí)”的重要途徑.