李 凱，俞孟薩

（中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082）

0 引 言

耐壓殼體是水下載人平臺的核心結(jié)構(gòu)，常見形式主要有圓柱殼、球殼、橢球殼以及它們的組合結(jié)構(gòu)，對于工作深度超過1000 m 的大深度載人潛水器，則絕大多數(shù)采用球殼結(jié)構(gòu)[1]。大潛深球殼結(jié)構(gòu)具有殼體壁厚大的幾何特征和靜水外壓高的載荷特點，如果仍然采用經(jīng)典薄殼理論模型來計算評估球殼的振動聲輻射性能，則可能產(chǎn)生較大的偏差，同時，在高靜壓環(huán)境下，殼體內(nèi)部形成的初始應(yīng)力場也會顯著改變殼體的結(jié)構(gòu)剛度與動力學特性，進而影響球殼的耦合振動與水下聲輻射。因此，有必要針對上述問題開展深入研究，考查分析厚壁幾何特征及靜水壓力載荷等因素對大潛深耐壓球殼聲振耦合特性的影響規(guī)律和影響范圍。

球殼在流體介質(zhì)中的聲振耦合問題很早就受到了學者們的關(guān)注[2-3]：Peng[4]討論了軸對稱環(huán)形激勵力的相關(guān)性對球殼聲輻射的影響；陳軍明[5]建立了水中加肋彈性薄球殼的聲振耦合系統(tǒng)運動方程；Huang[6]和Zou[7]基于波疊加法提出了一種解析-數(shù)值混合方法，分別研究了單層球殼和充水雙層球殼在有限水深海洋環(huán)境中的耦合振動和聲輻射特性以及相應(yīng)的聲傳播問題；Gaunaurd[8]研究了球殼內(nèi)部雙層質(zhì)量塊-彈簧系統(tǒng)對球殼聲散射的影響；Scandrett[9]探討了聲學隱身層對球殼流固耦合特性和反向聲散射特征的影響。上述文獻大多采用了基于經(jīng)典薄殼理論的球殼動力學模型。針對水下航行體中常見的圓柱殼結(jié)構(gòu)，已有不少文獻[10-13]報道了靜水壓力載荷對殼體耦合振動和水下聲輻射性能的影響研究，但對于球殼結(jié)構(gòu)，還少有文獻涉及這個問題，研究的重點主要集中在內(nèi)壓作用對球殼振動特性的影響[14-16]。

本文針對大潛深耐壓球殼結(jié)構(gòu)，計入剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響，推導考慮初始應(yīng)力效應(yīng)的厚殼結(jié)構(gòu)動力學模型，再結(jié)合球面聲波輻射理論，建立計及靜水壓力作用的厚球殼聲振耦合模型，針對機械點力激勵，采用模態(tài)展開法，計算分析厚壁幾何特征和靜水壓力載荷對不同厚徑比球殼耦合振動與水下聲輻射特征的影響，并深入探討上述兩種因素不同影響的形成機理。

1 考慮初始應(yīng)力效應(yīng)的厚殼動力學模型

在殼體振動問題中，除了動態(tài)激勵載荷引起的結(jié)構(gòu)動應(yīng)力外，殼體結(jié)構(gòu)還可能預(yù)先或同時受到靜載荷的作用，形成所謂的初始應(yīng)力場或預(yù)應(yīng)力場。從能量角度看，初始應(yīng)力場對殼體振動的影響主要是給殼體總應(yīng)變能帶來了一個附加項。該附加項是初始應(yīng)力在抵抗振動變形過程中累積的能量，由于初始應(yīng)力與靜載荷的靜力平衡關(guān)系，附加應(yīng)變能中的一部分將與靜載荷做功引起的外力勢能相抵消，余下部分便是初始應(yīng)力場對振動位移的耦合項，代表初始應(yīng)力對殼體振動的影響。

殼體內(nèi)任意一點的應(yīng)變-位移關(guān)系如下：

式中：α1、α2和α3分別表示正交曲線坐標系三個方向的坐標值，其中α3表示殼體厚度方向；R1和R2表示殼體中面曲率半徑；A1和A2表示曲面拉梅參數(shù)；u1、u2和u3表示中面一點的平動位移；β1和β2表示中面一點的轉(zhuǎn)動位移；ε、ε和ε代表中面薄膜應(yīng)變；κ11、κ12和κ22代表中面彎曲/扭轉(zhuǎn)應(yīng)變。

與薄殼理論相比，在計入剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量后，不再滿足橫向剪應(yīng)變ε13和ε23為0 的假設(shè)，同時，還引入了兩個獨立的中面角變形分量β1和β2。此外，初始應(yīng)力的量值通常遠大于動應(yīng)力，因此需在初始應(yīng)力部分的應(yīng)變能計算中引入高階形式的殼體應(yīng)變-位移關(guān)系[17]，在ε、ε和ε表達式中各增加一個高階項

應(yīng)用Hamilton 變分原理，容易得到殼體的運動控制方程，方程可分解為獨立的兩個部分：一是與初始靜載荷相關(guān)，表征殼體初始平衡狀態(tài)的靜力部分；二是與動載荷相關(guān)，反映殼體振動狀態(tài)的動力部分，其中的動力部分即為考慮初始應(yīng)力效應(yīng)的厚殼振動方程，具體形式為

式中：N11、N22、N12、N21、M11、M22、M12、M21、Q13和Q23表示由動載荷引起的殼體中面單位長度的內(nèi)力和內(nèi)力矩；N、N、N和N表示由初始靜載荷引起的殼體中面單位長度的內(nèi)力；q1、q2和q3表示三個方向的動態(tài)作用力。

在考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量后，式（2d）和式（2e）右端各增加了一個慣性項，方程由殼體轉(zhuǎn)動方向的靜力平衡方程轉(zhuǎn)變?yōu)閯恿ζ胶夥匠?。在引入初始?yīng)力場后，式（2c）)左端第4～7 項增加了4 個與靜載荷相關(guān)的耦合項。如果忽略上述幾項，即可退化為經(jīng)典薄殼理論的殼體振動方程。

2 計及靜水壓力作用的厚球殼聲振耦合模型

2.1 球殼振動模型

針對半徑為a，壁厚為h的完整球殼結(jié)構(gòu)，采用如圖1 所示的球坐標系，θ、?和r分別對應(yīng)第1 章中一般殼體正交曲線坐標系的1、2 和3 方向，同時，將球殼徑向位移和徑向表面力分別改用w和p表示，殼體曲面坐標及相應(yīng)的拉梅參數(shù)如下：

圖1 球殼模型及球坐標系Fig.1 Spherical shell and spherical coordinate system

假設(shè)球殼承受均勻的靜水外壓為pi，由球殼的對稱性易知，殼體剪應(yīng)力均為0，只存在均勻的壓縮膜應(yīng)力，由靜力平衡關(guān)系可以求出N=N= -pia/2，記作Ni，代入式（2），經(jīng)整理得到中面合成力表示的球殼振動微分方程為

式中，

式（4c）中包含Ni的部分是計及靜壓作用后產(chǎn)生的附加項，式（2d）和式（2e）右端是考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量后增加的慣性項，式（4）中的剪切內(nèi)力不再由彎矩平衡方程間接取得，而是通過對橫向剪應(yīng)力積分獲得，Qθ=Ehεθr/2ks( 1 +ν)和Q?=Ehε?r/2ks( 1 +ν)，其中，ks是表征殼體截面平均剪應(yīng)力的一個參數(shù)，本文取6/5。

考慮軸對稱情況，舍去所有與?相關(guān)的量，運用殼體應(yīng)變-位移關(guān)系，將內(nèi)力表示成位移的函數(shù)并代入方程組（4），化簡、整理可得到一個僅包含徑向位移變量w的高階振動方程：

式中，Pn(η)表示Legendre 多項式，η= cosθ，Wn為模態(tài)展開系數(shù)。將外載荷同樣用Legendre 多項式展開：

將式（7）～（8）代入式（6），對于每一個n，滿足下式：

式中，Ω2=(ωa/cp)2，其余系數(shù)如下：

式（10）～（12）中，與kr和ks相關(guān)的項是考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量后引入的附加項，與Ni相關(guān)的項是計及靜壓作用后引入的附加項，若取k1= 1，kr= 0，ks= 0，Ni= 0，再代入式（6）或式（9），即可退化為薄殼理論模型。

假設(shè)球殼僅在徑向受到機械力激勵，定義球殼模態(tài)機械阻抗為

則球殼在真空中的強迫振動方程（式（9））可以改寫為

對比式（13）和文獻[3]中的式（7.121）可以看到：在考慮了剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量后，球殼模態(tài)機械阻抗表達式中的頻率次數(shù)由4次增加到6次，意味著球殼自由振動中多出了一組與剪切相關(guān)的固有頻率；同時，在計及靜壓作用后，模態(tài)機械阻抗中還將增加3個與靜壓載荷相關(guān)的附加項，這些都會對球殼的阻抗特性產(chǎn)生影響。

2.2 厚球殼聲振耦合模型

為了計及外部聲介質(zhì)的耦合作用，在式（14）右端引入外聲場對球殼的模態(tài)作用力iωWnZan，移項整理可得

式中，Zan為球聲源模態(tài)聲輻射阻抗，其表達式為[3]

式中，ρ0和c0分別為流體密度和聲速，波數(shù)k0=ω/c0，h(2)n( )是第二類球Hankel函數(shù)。

式（15）即為基于厚殼理論并計及靜水壓力作用的球殼耦合振動方程，求出模態(tài)位移Wn后，可采用下式計算球殼的外場輻射聲壓：

按照定義，球殼的輻射聲功率可以由時均徑向聲強的球面積分得到：

球殼表面法向均方振速可由時均法向振速的球面積分得到

輻射聲功率級和均方振速級分別定義為

式中的基準值選取為

對于作用在球殼北極點，幅值為F的點激勵力，其模態(tài)力可寫成如下形式：

3 數(shù)值計算分析

3.1 計算模型

3.2 水中球殼的聲振耦合特性

基于薄殼理論模型，計算了不同厚徑比球殼在水中的耦合振動和聲輻射。小壁厚球殼（h/a=0.01）在水中的振動響應(yīng)遠強于大壁厚球殼（h/a=0.05,0.09），且隨著壁厚增加，峰值頻率的間距增大，同時，中高頻共振峰值逐漸消失（參見圖3）。一方面，厚壁球殼的結(jié)構(gòu)剛度大，模態(tài)機械阻抗也相對更大（參見圖4），另一方面，由球面輻射體的模態(tài)聲輻射阻曲線[3]可知，在一定頻率范圍內(nèi)，模態(tài)聲輻射阻是隨頻率的升高而增大的，由于厚壁球殼的固有頻率更高，因而其模態(tài)聲輻射阻也更大，兩方面因素疊加，提升了厚壁球殼模態(tài)總阻抗幅值，從而大幅降低了厚壁球殼的耦合振動響應(yīng)。另外，隨著壁厚的增加和模態(tài)聲輻射阻的增大，聲介質(zhì)對球殼振動的阻尼作用顯著增強，從而抑制了中高頻共振峰值的產(chǎn)生。

圖2 耐壓球殼極限強度與壁厚的關(guān)系Fig.2 Relationship between ultimate strength and thickness of a spherical shell

圖3 不同厚徑比球殼在水中的殼體耦合振動Fig.3 Coupled vibrations of submerged spherical shells with different thickness-to-radius ratios

圖4 不同厚徑比球殼的模態(tài)機械阻抗與模態(tài)聲輻射阻抗（n=9）Fig.4 Modal mechanical impedance and modal acoustic impedance of spherical shells(n=9)

由圖5 可見，不同厚徑比球殼水下聲輻射的峰值分布特征有所不同。壁厚較?。╤/a=0.01）時，峰值主要集中在低頻段（Ω＜1），隨著壁厚增加（h/a=0.05），中高頻段也開始出現(xiàn)峰值，但中頻段（1＜Ω＜3）的峰值要低于高頻段（Ω＞3），在壁厚進一步增大后（h/a=0.09），高頻段峰值逐漸消失，峰值分布范圍縮小至中低頻段。由式（18）可知，球殼的模態(tài)聲輻射取決于模態(tài)振動響應(yīng)和模態(tài)聲輻射阻的乘積，只有當球殼在某階固有頻率處產(chǎn)生了殼體耦合共振，并且該頻率點的模態(tài)聲輻射阻也足夠大時，才能在聲輻射曲線上激發(fā)出相應(yīng)的局部峰值。對比圖3 和圖5可見，薄壁球殼（h/a=0.01）雖然在中高頻段出現(xiàn)了模態(tài)共振，但這些模態(tài)的聲輻射阻都很小，因而未能在該頻段上激發(fā)出水下聲輻射峰值，而厚壁球殼（h/a=0.09）在高頻段未產(chǎn)生殼體耦合共振，因而也沒有在相應(yīng)頻段形成水下聲輻射峰值。此外，中等壁厚球殼（h/a=0.05）在中頻段的模態(tài)聲輻射阻偏小，因而該頻段內(nèi)的峰值幅度明顯小于低頻段和高頻段。另外，盡管厚壁球殼耦合振動的平均水平要比薄壁球殼低30 dB 以上，但是由于厚壁球殼的模態(tài)聲輻射阻較高，兩者在水下聲輻射上的整體差距減小至10 dB 以內(nèi)，表明厚壁球殼具有更高的聲輻射效率。

圖5 不同厚徑比球殼的水下聲輻射Fig.5 Acoustic radiation of submerged spherical shells with different thickness-to-radius ratios

3.3 厚壁幾何特征的影響

采用厚殼理論計算模型，進一步研究厚壁幾何特征對水中球殼聲振耦合特性的影響，并與薄殼理論模型作比較。引入剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量后，球殼的耦合共振頻率將向低頻方向產(chǎn)生一定偏移，且偏移量隨頻率的升高和壁厚的增加而逐步加大。在低頻段（Ω＜1），不同厚徑比球殼的頻率偏移量均可忽略。壁厚較?。╤/a=0.01）時，兩種模型計算的均方振速譜級沒有明顯差異。當厚徑比增大到0.05和0.09 時，厚殼模型計算的耦合共振峰值分別在Ω＞3 和Ω＞1 的中高頻段，明顯高于薄殼模型結(jié)果，最大可達18 dB左右，如圖6所示。

圖6 剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量對水中球殼耦合振動的影響Fig.6 Influence of shear deformation and rotary inertia on coupled vibration of submerged spherical shells

圖7 給出了不同厚徑比球殼在薄殼理論和厚殼理論兩種模型下的水下聲輻射。由圖可見，壁厚較小（h/a=0.01）時，兩種模型的計算結(jié)果基本吻合，這是因為薄壁球殼僅在低頻段存在局部聲輻射峰值，而剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量對殼體低頻耦合振動的影響又很小。當球殼壁厚為h/a=0.05 和h/a=0.09時，在低頻段，無論是聲輻射峰值頻率位置還是峰值大小都沒有明顯變化，厚壁幾何特征的影響也較?。辉谥懈哳l段，球殼聲輻射峰值向低頻方向偏移，其中，在中等壁厚球殼（h/a=0.05）中頻段，聲輻射峰值出現(xiàn)了降低，最大降幅為4.5 dB左右，但在中等壁厚球殼高頻段和厚壁球殼（h/a=0.09）中高頻段，聲輻射峰值則呈現(xiàn)出增大的趨勢，最大增幅約為4.8 dB。

圖7 剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量對球殼水下聲輻射的影響Fig.7 Influence of shear deformation and rotary inertia on acoustic radiation of submerged spherical shells

3.4 靜水壓力載荷的影響

基于考慮初始應(yīng)力效應(yīng)的薄殼理論模型，計算分析靜水壓力載荷對水中球殼聲振耦合特性的影響。圖8 給出了不同極限強度球殼在計及靜壓作用后的殼體耦合振動，靜壓取值為球殼最大下潛深度時的壓力值。由圖可見，不同極限強度球殼耦合振動的變化趨勢相近，在考慮靜壓作用后，殼體耦合共振頻率向低頻方向發(fā)生偏移，且靜壓載荷對小壁厚球殼固有頻率的影響相對更大一些?？紤]靜壓影響后，前3～4 階耦合共振峰值有較明顯的升高，但從其后的峰值開始直至整個中頻段，共振峰值都僅有微幅降低，不過，在高頻段，共振峰值又會再次出現(xiàn)小幅上升的現(xiàn)象。

圖8 不同極限強度球殼在最大靜壓下的殼體耦合振動Fig.8 Influence of hydrostatic pressure on coupled vibration of submerged spherical shells

圖9給出了不同極限強度球殼在最大靜壓下的水下聲輻射，考慮靜壓作用后，球殼水下聲輻射曲線的峰值也會向低頻方向產(chǎn)生一定的偏移，除了兩個最低階峰值處的水下聲輻射會有微幅增強外，球殼在低頻和中頻段的多數(shù)聲輻射峰值都出現(xiàn)了較大幅度的下降，最大超過5 dB。

圖9 不同極限強度球殼在最大靜壓下的水下聲輻射Fig.9 Influence of hydrostatic pressures on acoustic radiations of submerged spherical shells

3.5 討論

考慮殼體的厚壁幾何特征后，附加剪切變形會降低球殼剛度，附加轉(zhuǎn)動慣量會增加球殼廣義質(zhì)量，而計及靜壓載荷作用后形成的殼體壓縮膜應(yīng)力也會降低球殼的剛度，這些都會引起球殼固有振動頻率的降低。圖10給出了在厚壁幾何特征和靜水壓力載荷等因素影響下球殼（h/a=0.05）的模態(tài)機械阻抗曲線，可以看到，上述兩種因素對球殼頻率特征的影響存在一定差異。在低頻段，厚殼模型下球殼模態(tài)機械阻抗谷值頻率的偏移很小，靜壓載荷的影響更大一些；隨著頻率升高，靜壓載荷對頻率偏移量的影響變化不大，而厚殼模型下的頻率偏移量則持續(xù)增加。不過，厚壁幾何特征和靜水壓力載荷這兩種因素對球殼模態(tài)機械阻抗幅值的影響都較小。因此，在不考慮聲介質(zhì)的耦合作用時，對殼體振動響應(yīng)的影響也較小。

圖10 厚壁幾何特征和靜水壓力載荷對模態(tài)機械阻抗的影響Fig.10 Influence of thick wall effect and hydrostatic pressure on modal mechanical impedance of spherical shells

在考慮聲介質(zhì)的耦合作用后，球殼的模態(tài)總阻抗特征決定了球殼在水中的耦合振動特性。模態(tài)總阻抗由模態(tài)機械阻抗和模態(tài)聲輻射阻抗兩部分組成，雖然厚壁幾何特征和靜水壓力載荷對球殼模態(tài)機械阻抗幅值的影響都不大，但隨著模態(tài)振動頻率的降低，各階模態(tài)的聲輻射阻抗幅值會有不同程度的減小，相應(yīng)地，模態(tài)總阻抗的幅值也會出現(xiàn)一定的變化（見圖11）。在低階模態(tài)（n=3）處，靜壓影響下的模態(tài)總阻抗谷值有少許下降，這直接導致了相應(yīng)頻率下殼體耦合共振峰值的小幅上升（見圖8（c））。不過，隨著頻率的增加，直到中頻段，模態(tài)總阻抗幅值的變化都較小，因此，相應(yīng)頻段上的殼體耦合振動響應(yīng)也差別不大。在高頻段，模態(tài)總阻抗的谷值大幅降低，特別是厚殼模型下的阻抗計算值會降低一個量級，從而顯著增強了球殼的高頻耦合振動響應(yīng)（見圖6（b））。

圖11 厚壁幾何特征和靜水壓力載荷對模態(tài)總阻抗的影響Fig.11 Influence of thick wall effect and hydrostatic pressure on modal total impedance of submerged spherical shells

球殼水下聲輻射由殼體振動響應(yīng)和模態(tài)聲輻射阻綜合決定。厚壁幾何特征和靜水壓力載荷對球殼水下聲輻射的影響主要取決于殼體振動響應(yīng)幅值的變化及其與模態(tài)聲輻射阻幅值變化的相對大小。比較圖6（b）和圖8（c）、圖7（b）和圖9（c）可見：在低頻段，靜水壓力載荷對殼體耦合振動的影響更大，受其影響的球殼水下聲輻射的變化也更大一些；在中頻段，兩種因素對殼體耦合振動的影響都不大，不過，受到耦合共振頻率降低的影響，球殼模態(tài)聲輻射阻是減小的，因此，兩種情況下的水下聲輻射峰值也都會出現(xiàn)一定程度的下降；在高頻段，兩種情況下的殼體耦合振動都有不同幅度的增強，但厚壁幾何特征的影響顯然更大，因而其對球殼高頻水下聲輻射的影響也更加顯著。

4 結(jié) 論

本文針對機械點力激勵下的大潛深耐壓球殼結(jié)構(gòu)，研究分析了厚壁幾何特征和靜水壓力載荷等因素對不同厚徑比球殼聲振耦合特性的影響。研究結(jié)果表明：

（1）不同厚徑比球殼的水下聲輻射峰值分布特征差異明顯，薄壁球殼峰值主要集中在低頻段，厚壁球殼峰值擴展至中高頻段。盡管厚壁球殼（h/a=0.09）的耦合振動響應(yīng)遠小于薄壁球殼（h/a=0.01）（30 dB以上），但兩者水下聲輻射的差距大幅縮小（10 dB以內(nèi)）。

（2）厚壁幾何特征引入的剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量、靜水壓力載荷產(chǎn)生的殼體壓縮應(yīng)力將形成附加剛度和附加質(zhì)量效應(yīng)，從而改變球殼的固有頻率特征，降低耦合共振頻率，進而影響峰值點阻抗特性以及水下聲輻射幅值特征。在Ω＜1的低頻段，靜壓載荷的影響更大，可使水下聲輻射低階峰值下降最大約5 dB（h/a=0.05）；在Ω＞1的中高頻段，厚壁特征的影響更加突出，厚殼模型下的聲輻射高階峰值增加約4.8 dB（h/a=0.05）。

（3）對于h/a＜0.05 的小壁厚球殼，采用薄殼理論模型即可精確求解水下聲輻射；對于h/a＞0.05 的大壁厚球殼，當Ω＞1時，應(yīng)采用厚殼理論模型計算振動和聲輻射，當Ω＜1時，仍然采用薄殼理論模型即可；在極限壓力條件下，還應(yīng)考慮靜壓載荷對球殼水下聲輻射，尤其是低頻峰值特征的影響。