215600 江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué)
江蘇省張家港市羅建宇名教師工作室 趙穎穎
向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問(wèn)題的基礎(chǔ).
在中學(xué)教學(xué)實(shí)踐中,向量常作為工具來(lái)解決幾何問(wèn)題,也能解決一些代數(shù)問(wèn)題,向量的運(yùn)用多見(jiàn)于等式、不等式、函數(shù)等問(wèn)題(參見(jiàn)文[2]-文[9]).
筆者構(gòu)造向量求幾類典型數(shù)列的和,作為向量在解決代數(shù)問(wèn)題中的補(bǔ)充,用以倡導(dǎo)在高中數(shù)學(xué)知識(shí)間進(jìn)行相互論證,發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)力.
問(wèn)題1
設(shè)數(shù)列{a
}是公差為d
的等差數(shù)列,求數(shù)列{a
}的前n
項(xiàng)和.
解析:
當(dāng)d
=0時(shí),易得.
下面推導(dǎo)當(dāng)d
≠0時(shí)的求和公式.
記則所以所以所以所以所以即
評(píng)注:
從向量的視角看,等差數(shù)列對(duì)應(yīng)向量的加減法運(yùn)算,問(wèn)題1的解決是在構(gòu)造向量的基礎(chǔ)上,結(jié)合向量的模的計(jì)算得以推導(dǎo)等差數(shù)列前n
項(xiàng)和公式.
類似地,利用上述對(duì)向量的模的計(jì)算方法,可以求數(shù)列{n
}(m
∈N
)的前n
項(xiàng)和,簡(jiǎn)析如下.
記則所以所以所以所以即
同理,所以所以由得即
類似地,依次構(gòu)造并利用二項(xiàng)式定理,可分別求數(shù)列{n
},{n
}…的前n
項(xiàng)和.
問(wèn)題2
設(shè)數(shù)列{a
}是公比為q
的等差數(shù)列,求數(shù)列{a
}的前n
項(xiàng)和.
解析:
當(dāng)q
=1時(shí),易得.
下面推導(dǎo)當(dāng)q
≠1時(shí)的求和公式.
記則所以則有所以故有所以即
評(píng)注:
從向量的視角看,等比數(shù)列對(duì)應(yīng)向量的數(shù)乘運(yùn)算,問(wèn)題2的解決是在構(gòu)造向量的基礎(chǔ)上,結(jié)合向量相等(坐標(biāo)相等)的概念得以推導(dǎo)等比數(shù)列前n
項(xiàng)和公式.
類似地,利用上述對(duì)向量相等概念的理解,可求一類原先用“裂項(xiàng)”求和法求解的數(shù)列的前n
項(xiàng)和,以最簡(jiǎn)單的數(shù)列為例簡(jiǎn)析如下.
記則所以故有則所以即
問(wèn)題3
設(shè)數(shù)列{a
}是公差為d
的等差數(shù)列,數(shù)列{b
}是公比為q
的等比數(shù)列,求數(shù)列{a
·b
}的前n
項(xiàng)和.
解析:
同上,這里只需解析當(dāng)q
≠1時(shí)的求和.
記且則則有故所以即
評(píng)注:
問(wèn)題3的解決常用經(jīng)典的“錯(cuò)位相減法”求和,這里是在構(gòu)造向量的基礎(chǔ)上綜合運(yùn)用有關(guān)向量的線性表示,結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得“等差×等比”數(shù)列的前n
項(xiàng)和公式.