武福敏,郝江浩

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030006)

0 引言

本文研究如下波方程的初邊值問題:

(1)

其中:Ω是Rn(n≥1)中的一個帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，m≥2，p≥2，且

ω≥0，μ>-ωλ1，這里的λ1代表的是算子-Δ在齊次Dirichlet邊界條件下的第一個特征值。

近年來，非線性阻尼和對數(shù)源項受到廣泛的關(guān)注[1-2]，尤其是對數(shù)源項，其在宇宙學(xué)、超對稱場論、量子力學(xué)和核物理等領(lǐng)域起到很大的作用[3-4]。

文獻[5-9]研究了一類帶有非線性阻尼的波方程解的存在性、穩(wěn)定性以及解在有限時間內(nèi)爆破。

文獻[10]研究了如下方程：

utt-Δu+u+ut=uln|u|2, (x,t)∈Ω×(0,∞)，

(2)

用勢阱方法證明了解的存在性。并通過構(gòu)造Lyapunov泛函，證明了能量的指數(shù)衰減。文獻[11-12]證明了帶有對數(shù)源項的板方程解的全局存在和能量指數(shù)衰減。文獻[13]考慮了如下方程：

utt-Δu-ωΔut+μut=uln|u|, (x,t)∈Ω×(0,∞)，

(3)

證明了弱解的局部存在性、全局存在性、能量衰減以及解的爆破。文獻[14-17]利用伽遼金法和勢阱法證明了解的局部存在和穩(wěn)定性。文獻[18-20]證明了帶有非線性對數(shù)源項的波方程解的穩(wěn)定性以及在有限時間內(nèi)解的爆破。

受文獻[18-20]的啟發(fā)，在文獻[13]的基礎(chǔ)上，本文研究帶有非線性對數(shù)源項的波方程，利用伽遼金方法和勢阱方法給出方程解的局部存在性以及能量衰減結(jié)果。

1 準(zhǔn)備工作和主要結(jié)論

Lp(Ω)表示通常的Sobolev空間， 并且對于p∈[1,∞)，賦予范數(shù)：

為方便記‖.‖2=‖.‖。存在嵌入常數(shù)C*使得：

關(guān)于p給出如下假設(shè)條件：

定義1 稱u是問題(1)的弱解，如果

利用伽遼金方法以及壓縮映射原理可得問題(1)弱解的存在性。這里省去證明過程。

定義問題(1)的能量泛函如下：

(4)

令

(5)

(6)

定義穩(wěn)定集W、不穩(wěn)定集V和阱深d如下：

定理2 假設(shè)u0∈W，u1∈L2(Ω)，假設(shè)(A)和E(0)

0

2 主要結(jié)論的證明

引理1 能量泛函E(t)是非增的，且滿足：

(7)

證明給問題(1)的第1個方程左右兩邊同時乘ut，并對x在Ω上積分，運用分部積分即可得到結(jié)果。引理1證畢。

引理2 假設(shè)有u0∈W，u1∈L2(Ω)和E(0)

證明設(shè)T是u(t)的最大存在時間，由引理1得：

E(t)≤E(0)

即

下面用反證法證明，假設(shè)存在第一個時間點t0∈(0,T)，使得I(u(t0))=0和I(u(t))>0對于0≤t

這與E(t)

引理3 假設(shè)有u0∈W，u1∈L2(Ω)和E(0)

(8)

其中：

證明由引理2得，u(t)∈W，即I(u)>0。

由E(t)的定義知：

又根據(jù)E(t)與J(u)的關(guān)系以及E(t)≤E(0)

(9)

根據(jù)對數(shù)Sobolev不等式：

得：

(10)

情形2 當(dāng)p>2時，由式(5)和式(6)知：

因此有：

同理得：

綜上，得出結(jié)論，引理3證明完畢。

定理2的證明構(gòu)造Lyapunov泛函，

(11)

其中：ε>0是足夠小的待定常數(shù)。通過計算知，存在兩個依賴于ε的正常數(shù)β1和β2，使得：

β1E(t)≤L(t)≤β2E(t)，

(12)

即E(t)和L(t)等價。將L(t)對t求導(dǎo)，得：

(13)

利用Young不等式知，存在δ>0，有：

(14)

將式(8)和式(14)代入式(13)得：

(15)

因此，由E(t)的定義得：

(16)

由Poincaré不等式得：

(17)

將式(8)和式(17)代入式(16)得：

(18)

由于

(19)

(20)

令

L′(t)≤-MεE(t),t≥0。

由式(12)，則存在常數(shù)C4>0，使得L′(t)≤-C4L(t)。進而積分可得，存在正常數(shù)k和C5，使得L(t)≤C5e-kt,t≥0。由引理2得，I(u)>0。則有：

(21)

因此存在正常數(shù)C，使得0

引理4 假設(shè)有u0∈W，u1∈L2(Ω)和E(0)=d，則存在t0∈(0,T)，使得：

(22)

證明用反證法。假設(shè)：

則有‖ut‖=0,t∈[0,T)。因此，E(t)=J(t)≤E(0)=d。這與d的定義矛盾。引理4證畢。

引理5 假設(shè)有u0∈W，u1∈L2(Ω)和E(0)=d，則u(t)∈W。

證明運用引理4和反證法即可得到結(jié)論。證明過程與引理2類似，這里省略。引理5證畢。

引理6 假設(shè)有u0∈W，u1∈L2(Ω)和E(0)=d，則有：

其中：

證明證明過程與引理3類似，這里省去。引理6證畢。

定理3的證明由式(7)和式(22)得：

(23)

根據(jù)引理5得，u(t0)∈W，即I(u(t0))>0或‖u(t0)‖=0成立。結(jié)合定理2，有：

0