封志鵬，李白雅，張宇祥

(湖南科技大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

0 引 言

永磁同步電機(PMSM)以轉(zhuǎn)矩脈動小，結(jié)構(gòu)簡單、調(diào)速范圍寬、電機體積小等特性而在電動汽車、智能機器人、航天航空等領(lǐng)域被廣泛的應(yīng)用。PMSM是一個非線性、高階且強耦合的控制對象，隨著現(xiàn)代工業(yè)對裝置性能要求不斷提高，傳統(tǒng)PI控制的性能已無法滿足現(xiàn)代工業(yè)的要求，所以研究人員們正在尋找一種能滿足現(xiàn)代工業(yè)高要求的控制算法來取代傳統(tǒng)算法對永磁同步電機的控制[1]。

20世紀初，中國的韓京清教授正式提出ADRC技術(shù)，其核心思想是規(guī)定一個標準型，將系統(tǒng)動態(tài)中不同于所規(guī)定的標準型部分化為總擾動，對于系統(tǒng)的擾動利用ESO來進行實時觀測，并補償?shù)娇刂葡到y(tǒng)中實現(xiàn)擾動抵消，以此提高系統(tǒng)的控制性能[2]。目前，國內(nèi)外研究人員對ADRC開展了大量的研究。文獻[3]為使電機無超調(diào)起動，且能對負載突變快速響應(yīng)，其將線性化ADRC應(yīng)用到電機調(diào)速中。文獻[4]將非線性ADRC應(yīng)用至電機調(diào)速系統(tǒng)的電流環(huán)中，極大的提高了電流的跟隨性能。文獻[5]在自抗擾的基礎(chǔ)上添加了負載轉(zhuǎn)矩補償器，提高了永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)的控制性能。文獻[6]在文獻[5]的基礎(chǔ)上，添加了相應(yīng)的負載轉(zhuǎn)矩觀測器進一步優(yōu)化了控制器的性能。文獻[7]為電機調(diào)速系統(tǒng)設(shè)計了一種二階非線性ADRC，以實現(xiàn)速度和位置的綜合控制。但是以上大部分文獻都沒有對ADRC本身進行改進。

本文針對永磁同步電機突加負載產(chǎn)生擾動時對控制效果的影響，將轉(zhuǎn)速環(huán)控制器設(shè)計為一階自抗擾控制器；對其中的二階ESO進行了誤差理論分析，然后將ESO中的fal函數(shù)用faln函數(shù)替代，設(shè)計出改進ESO，并論證了它的收斂性。最后，通過實驗仿真驗證了改進ESO的觀測精度明顯高于傳統(tǒng)ESO，且運用到ADRC中也能提高永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)的抗擾能力。

1 PMSM動態(tài)數(shù)學(xué)模型

本文采用表貼式永磁同步電機，假設(shè)PMSM為理想電機，且無鐵心飽和現(xiàn)象，不計渦流、磁滯損耗等。因此PMSM動態(tài)數(shù)學(xué)模型在同步dq坐標系下為

(1)

其中，isd、isq、usd、usq分別是定子電流、dq軸分量的電壓；L是電感；Rs是電阻；wr是轉(zhuǎn)子電角度；J是轉(zhuǎn)動慣量；pn是極對數(shù)；ψf是轉(zhuǎn)子磁鏈；TL是負載轉(zhuǎn)矩。

將q軸電流isq作為電機系統(tǒng)的輸入量，電機轉(zhuǎn)子的電角速度wr看作輸出量，其中isd=0，則永磁同步電機矢量控制系統(tǒng)可近似看作一個一階非線性系統(tǒng)。因此可以設(shè)計一階自抗擾控制器作為轉(zhuǎn)速外環(huán)的控制器。

2 轉(zhuǎn)速環(huán)ADRC設(shè)計

ADRC是一種不需要系統(tǒng)精準模型的控制算法，由三部分組成：非線性微分跟蹤器(TD)用以安排過渡過程；ESO用以估計出系統(tǒng)的狀態(tài)量和擾動量；非線性狀態(tài)誤差反饋控制率(NLSEF)實現(xiàn)擾動補償。

一階ADRC結(jié)構(gòu)圖，如圖1所示。

圖1 一階ADRC控制器

由式(1)可得機械運動方程為

(2)

(3)

因此，通過對ADRC的技術(shù)分析可知，一階自抗擾表達式如下：

TD：

(4)

ESO：

(5)

其中，z1為轉(zhuǎn)速wr的跟蹤信號；z2為綜合擾動a(t)的觀測值；β1、β2為輸出誤差校正因子。

NLSEF：

(6)

fal(ε,α,δ)函數(shù)為

(7)

其中，ε為輸入的誤差變量；α為非線性因子且0<α<1，為濾波因子。

3 擴張狀態(tài)觀測器分析

ESO是現(xiàn)階段所有可以主動抗擾技術(shù)中的核心部分，同樣也是ADRC的核心部分；擴張狀態(tài)觀測器并不需要擾動模型，也不需直接測量就能得出估計值。

3.1 二階擴張狀態(tài)觀測器誤差理論分析

對于一階非線性系統(tǒng):

(8)

由上可知式(8)的擴張系統(tǒng)是：

(9)

以此構(gòu)建該系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器如下：

(10)

(11)

由文獻[8]得知，可將(e1,e2)平面分成5個區(qū)域 Gi(i=1,…,5)，以此分別構(gòu)造非連續(xù)分段光滑的Lyapunov正定函數(shù)Vi，根據(jù)多Lyapunov函數(shù)定理可證得系統(tǒng)(11)是穩(wěn)定的，且系統(tǒng)誤差最終由區(qū)域G0所限定，其中β0>w0，得到二階ESO狀態(tài)的最小收斂誤差為

(12)

(13)

所以系統(tǒng)穩(wěn)定時所得到的實際轉(zhuǎn)速觀測誤差為|e1|<1。

3.2 改進二階擴張狀態(tài)觀測器及其收斂性

當誤差較大時，為了使觀測器狀態(tài)z1、z2與被跟蹤狀態(tài)wr、a(t)不會產(chǎn)生太大偏離，增強系統(tǒng)抗擾性，同時由上節(jié)得出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時的觀測誤差|e1|小于1，所以本文可利用faln函數(shù)來構(gòu)造二階擴張狀態(tài)觀測器。

faln函數(shù)的表達形式為[9]

(14)

以下為faln函數(shù)對傳統(tǒng)非線性自抗擾控制的優(yōu)化原理：

對式(7)和式(14)進行變換，知：

(15)

(16)

其中

(17)

(18)

改進ESO：

(19)

當系統(tǒng)總擾動為零時，由式(9)和式(19)可得誤差方程，可寫為如下形式：

(20)

其中,

(21)

引理1[11]若存在矩陣

(22)

且矩陣D的對角元素為正數(shù)，使矩陣DA(e)正定對稱，由此，式(19)的零解可看作是Lyapunov漸近穩(wěn)定的。

由引理1可知，是否能構(gòu)造出令DA(e)矩陣正定對稱的D矩陣，便是證明式(19)的零解Lyapunov漸近穩(wěn)定，系統(tǒng)變量x1、x2能否被觀測器狀態(tài)z1、z2跟蹤的關(guān)鍵。下面將證明滿足條件的D矩陣是否存在。

計算矩陣DA(e)可得

(23)

其中,

D11=d11β1F+d12β2F

(24)

D21=-d12β1F+d22β2F

(25)

(26)

D21=-d11

(27)

D11>0

(28)

(29)

在此可令d11=1，d22=ε1令ε1為一個無限小的正數(shù)，則可滿足引理1的要求。結(jié)合式(25)和式(27)可得：

(30)

結(jié)合式(24)和式(30)可知：

(31)

因為F有界，且大于零，ε1為無限趨近于零，則上式可化簡為

(32)

且F>0,β1,β2為正數(shù)，則滿足式(28)。

將式(30)和式(31)代入式(29)得：

(33)

因此滿足式(29)。

綜上所述，可以構(gòu)造出令矩陣DA(e)正定對稱的D矩陣，所以系統(tǒng)式(19)的零解是Lyapunov漸近穩(wěn)定的。

4 仿真及結(jié)果分析

為驗證本文所設(shè)計的改進ADRC控制方法在永磁同步電機矢量調(diào)速系統(tǒng)中的控制性能，在Matlab/Simulink環(huán)境中進行仿真研究，同時與其它控制器在相同條件下進行比較研究。采用的PMSM的運行參數(shù)，如表1所示。

表1 永磁同步電機仿真參數(shù)數(shù)值表

永磁同步電機自抗擾控制系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 PMSM調(diào)速系統(tǒng)整體結(jié)構(gòu)圖

仿真中的電流環(huán)PI參數(shù)為kp=46.75、ki=15812.5；由文獻[12]的進行自抗擾器參數(shù)整定，所得到的自抗擾控制器參數(shù)如表2所示。

表2 ADRC仿真參數(shù)數(shù)值表

電機以給定速度1000 r/min，空載起動，在0.05 s突加7 Nm的負載，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)速觀測值與實際轉(zhuǎn)速值誤差局部對比圖

如圖4所示，改進ADRC和傳統(tǒng)ADRC對于電機轉(zhuǎn)速的控制都能實現(xiàn)轉(zhuǎn)速無超調(diào)，起動時間一致；在0.05 s突加7 Nm的負載時，傳統(tǒng)ADRC的轉(zhuǎn)速降為986.24 r/min，改進ADRC的轉(zhuǎn)速降為976.1464 r/min，且在轉(zhuǎn)速恢復(fù)時，改進ADRC的轉(zhuǎn)速震蕩次數(shù)少，幅度小，由此可知改進ADRC具有比傳統(tǒng)ADRC更好的抗擾效果。

圖4 輸出轉(zhuǎn)速曲線圖和局部放大圖

如圖5所示，在0.05 s突加負載時，傳統(tǒng)ADRC的給定轉(zhuǎn)速與實際轉(zhuǎn)速之間的誤差明顯大于改進ADRC的轉(zhuǎn)速誤差；傳統(tǒng)ADRC的誤差經(jīng)過7次大的震蕩才趨于常值，而改進ADRC的轉(zhuǎn)速誤差經(jīng)過3次比較大的震蕩后便趨于常數(shù)；改進ADRC的轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)誤差為0.016325 r/min小于傳統(tǒng)ADRC的0.99804 r/min；由此可以看出改進ADRC較傳統(tǒng)ADRC有更優(yōu)的穩(wěn)態(tài)性能。

圖5 給定轉(zhuǎn)速與實際轉(zhuǎn)速誤差對比圖和局部放大圖

5 結(jié) 論

本文提出了一種改進ADRC作為永磁同步電機矢量控制速度環(huán)控制器的控制方法，先對二階ESO進行了誤差理論分析，為提高系統(tǒng)抗擾性能，將faln函數(shù)取代ESO中的fal函數(shù)，通過Lyapunov驗證了改進ESO收斂性。仿真結(jié)果表明了改進ESO對實際轉(zhuǎn)速的觀測精度有了明顯提高，將其運用到ADRC中也能提高永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)的抗擾能力和穩(wěn)態(tài)精度。