趙 飛, 周衛(wèi)光, 鄭永愛

(揚州大學信息工程學院, 江蘇 揚州 225127)

混沌是復雜非線性動力系統(tǒng)的一種不規(guī)則或不確定現(xiàn)象, Shimizu-Morioka系統(tǒng)因包含了混沌動力學的許多特征而成為混沌領(lǐng)域研究的典型范例之一[1-2].近年來, Shimizu-Morioka系統(tǒng)的控制和同步實現(xiàn)方法主要有延遲反饋控制[3]、滑?？刂芠4]、主動控制[5]及自適應控制[6]等.但這些方法設計的控制器或過于復雜,或只適用于具有參數(shù)嚴格反饋形式的一類混沌系統(tǒng), 在實際應用中備受限制.反步控制[7]作為自適應理論的重要分支之一, 其基本原理是將Lyapunov函數(shù)的選取與反饋控制器的設計相結(jié)合.該方法是為每個子系統(tǒng)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)并設計相應的虛擬控制律, 最終設計出系統(tǒng)的實際控制律, 從而保證整個閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.Ha等[8]提出一種自適應反步模糊控制方法,實現(xiàn)了輸入飽和與外界干擾下的分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步; Shukla等[9]基于自適應反步法實現(xiàn)了一類不確定分數(shù)階混沌系統(tǒng)的控制與同步.無源控制[10]則利用無源理論對同步誤差系統(tǒng)設計漸近穩(wěn)定控制器,從而實現(xiàn)混沌系統(tǒng)的同步.無源控制具有明確的物理意義, 其控制結(jié)構(gòu)簡單且易于實現(xiàn).Kuntanapreeda[11]、Sangpet[12]等提出一種具有時變增益的無源反饋控制方案,將同步誤差動態(tài)轉(zhuǎn)化為等效的無源系統(tǒng), 實現(xiàn)了具有未知參數(shù)的混沌系統(tǒng)的自適應無源同步.本文擬結(jié)合反步控制、自適應控制和無源控制技術(shù),針對參數(shù)不確定性的兩分數(shù)階Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng),提出一種自適應無源反步控制方法.

1 預備知識

定義Caputo分數(shù)階微分

(1)

考慮分數(shù)階系統(tǒng)

(2)

其中0<α<1,x∈Rn為狀態(tài)變量,u∈Rm為輸入向量,y∈Rm為輸出向量,f(x)和g(x)為光滑向量場,h(x)為光滑映射, 且f(0)=h(0)=0.

假設系統(tǒng)(2)表示為如下形式:

(3)

其中(zT,yT)T∈Rn為系統(tǒng)的新坐標,z∈Rn-m;f(z)∈Rn-m;p(z,y)∈R(n-m)×m;b(z,y)∈Rm.對任意(z,y),a(z,y)是非奇異的.

定義1[13]如果存在一個正定Lyapunov函數(shù)V(z,y), 稱之為存儲函數(shù)或能量函數(shù),滿足對任意的t≥0且0<α<1有

(4)

則系統(tǒng)(3)是無源的.

定義2[13]如果存在一個正定Lyapunov函數(shù)V(z,y)和一個K類函數(shù)γ, 滿足對任意的t≥0且0<α<1有

(5)

則系統(tǒng)(3)是嚴格無源的.

引理1[14]設

(6)

其中y1(t)∈Rn和y2(t)∈Rn具有連續(xù)的一階導數(shù),Q1∈Rn×n和Q2∈Rn×n為2個正定矩陣.若存在正定矩陣Q3∈Rn×n和常數(shù)h0>0, 使得對任意的0<α<1有

(7)

則‖y1(t)‖和‖y2(t)‖有界且y1(t)漸近趨于0, 即limt→+∞‖y1(t)‖=0.

引理2[15]設x(t)∈Rn是一個可微函數(shù)向量, 那么對于任意t≥0且0<α<1, 不等式

(8)

恒成立, 其中P∈Rn×n為一個n×n維常值正定矩陣.

2 主要結(jié)果

考慮如下不確定分數(shù)階Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng):

(9)

其中x,y,z為狀態(tài)變量, 分數(shù)階0<α<1,a,b為不確定參數(shù)且a∈R,b∈R+.設z1=z,x1=x,x2=y, 則系統(tǒng)(9)可表示為

(10)

假設系統(tǒng)(10)為驅(qū)動系統(tǒng), 則可控響應系統(tǒng)為

(11)

其中u∈R為控制輸入.

定義3設X=(z1,x1,x2)T∈R3,Y=(z2,y1,y2)T∈R3分別是驅(qū)動系統(tǒng)(10)和響應系統(tǒng)(11)的狀態(tài)向量, 若limt→+∞‖X(t)-Y(t)‖=0, 則稱系統(tǒng)(10)與系統(tǒng)(11)漸近同步.

定義同步誤差z0=z2-z1,e1=y1-x1,e2=y2-x2, 系統(tǒng)(10)(11)的同步誤差系統(tǒng)為

(12)

顯然,系統(tǒng)(10)與系統(tǒng)(11)的同步問題即轉(zhuǎn)化為當t→+∞時同步誤差系統(tǒng)(12)的零解穩(wěn)定性問題.

定理1若設計虛擬控制律:

α1=-2x1z0-z0w1-w1,

(13)

以及自適應控制律:

(14)

(15)

證明 1)設e2為實際控制器,α1為虛擬控制器, 則子系統(tǒng)

(16)

2)系統(tǒng)(12)可轉(zhuǎn)化為

(17)

3 數(shù)值模擬

當α=0.98,a=0.75,b=0.45,初始條件z1(0)=0,x1(0)=0.25,x2(0)=1時, 分數(shù)階Shimizu-Morioka系統(tǒng)(10)呈現(xiàn)混沌現(xiàn)象.該系統(tǒng)的混沌吸引子如圖1所示.

圖1 分數(shù)階Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng)的吸引子

圖2 系統(tǒng)同步誤差曲線

圖3 系統(tǒng)參數(shù)a和b的估計曲線

4 結(jié)論

本文基于反步控制理論提出了一種不確定分數(shù)階Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng)的自適應無源同步控制方法.利用反步控制的遞推過程, 獨立設計了子系統(tǒng)的能量函數(shù)和自適應虛擬控制律, 然后設計出整個系統(tǒng)實際的自適應控制律, 有效實現(xiàn)了對分數(shù)階Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng)同步的自適應無源反步控制.