張偉業(yè), 劉怡文, 付求耐, 王正新,c*, 韓欣利

(南京郵電大學(xué)a.理學(xué)院; b.通信與信息工程學(xué)院; c.江蘇省物聯(lián)網(wǎng)智能機器人工程實驗室, 南京 210023)

近年來, 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)因在科學(xué)和工程中得到廣泛的應(yīng)用而受到越來越多的關(guān)注[1-3].復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中有許多有趣而重要的群集現(xiàn)象,如自組織、同步和時空混沌等,在這些現(xiàn)象中,同步現(xiàn)象已在不同領(lǐng)域得到了深入研究.眾所周知,信息傳輸過程中不可避免地存在時間延遲現(xiàn)象,這會對系統(tǒng)的行為產(chǎn)生巨大影響[4].因而, 時滯系統(tǒng)的動力學(xué)研究吸引了廣大研究者的關(guān)注,特別是關(guān)于穩(wěn)定性和同步方面的研究[5-6].早期, 對于調(diào)和振子網(wǎng)絡(luò)的同步研究大多基于同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)[7],而實際情況中調(diào)和振子網(wǎng)絡(luò)中各振子的運動參數(shù)難以保證完全相同,因此異質(zhì)調(diào)和振子網(wǎng)絡(luò)更為常見.然而,異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)通常難以自己實現(xiàn)同步,因而通常研究異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)的擬同步[8].為了實現(xiàn)擬同步,需要設(shè)計和應(yīng)用外部控制.近年來,已經(jīng)有很多學(xué)者針對網(wǎng)絡(luò)同步問題考慮了多種控制策略.馬垚等[9]研究了一類具有未知參數(shù)的時滯混沌系統(tǒng)的廣義復(fù)雜修正混合函數(shù)投影同步控制問題,建立了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)指數(shù)同步準則,獲得了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)間歇同步的控制策略; Zhang等[10]研究了非線性耦合時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的聚類同步問題,基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和牽制控制策略,給出了聚類同步的準則; Zhao等[11]通過自適應(yīng)周期性間歇牽制控制,在兩個具有時延的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)之間實現(xiàn)同步.對于具有大量節(jié)點的網(wǎng)絡(luò),不可能對所有節(jié)點施加控制,此時可通過引入領(lǐng)導(dǎo)者來牽制部分節(jié)點.金彥亮等[12]研究了當振子受到外界領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點驅(qū)動時系統(tǒng)的同步行為; Liu等[13]運用牽制控制策略和M矩陣理論研究了耦合時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二分同步問題; Ding等[14]設(shè)計一種基于脈沖控制的分布式控制器,實現(xiàn)了一類具有時變時滯和隨機干擾的非線性耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步;蒲浩等研究了變時滯隨機競爭型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在固定時間的控制同步問題,運用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論, 在p-范數(shù)下得到了新的固定時間同步的充分條件[15], 進一步通過構(gòu)造一個恰當?shù)姆答伩刂破鞯玫揭活惥哂蟹磻?yīng)擴散項憶阻Cohen-Grossberg型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在固定時間內(nèi)同步的充分條件[16].受上述研究的啟發(fā),本文旨在通過構(gòu)造一種牽制控制策略,探討一類含時滯的異質(zhì)調(diào)和振子網(wǎng)絡(luò)的擬同步問題,其中復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)由一個領(lǐng)導(dǎo)者調(diào)和振子與許多跟隨者調(diào)和振子組成,擬通過使用Lyapunov穩(wěn)定性方法,給出含時滯時異質(zhì)調(diào)和振子網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)擬同步的充分性判據(jù).

1 基本假設(shè)

假設(shè)1從領(lǐng)導(dǎo)者調(diào)和振子到每個跟隨者調(diào)和振子至少存在一條有向路徑.

假設(shè)2領(lǐng)導(dǎo)者調(diào)和振子的狀態(tài)是有界的.

2 模型建立

2.1 異質(zhì)調(diào)和振子系統(tǒng)

由n+1個不同調(diào)和振子構(gòu)成的時滯異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為

(1)

其中i=0,1,2,…,n,i=0為領(lǐng)導(dǎo)者調(diào)和振子;xi(t),vi(t)∈R分別表示第i個調(diào)和振子的位移狀態(tài)和速度狀態(tài);ωi為第i個調(diào)和振子的角頻率;ui∈R表示第i個調(diào)和振子的控制協(xié)議, 且u0=0;τ為系統(tǒng)的輸入時滯.

2.2 牽制控制協(xié)議

在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)中, 設(shè)計牽制控制協(xié)議為

(2)

其中常數(shù)c>0是系統(tǒng)的耦合強度;aij是邊eji的權(quán)值;di表示第i個調(diào)和振子的牽制控制強度, 當且僅當該調(diào)和振子被牽制控制時,di>0, 否則di=0.不失一般性, 不妨設(shè)該系統(tǒng)的前k個調(diào)和振子被牽制控制.

2.3 誤差系統(tǒng)

(3)

定義1[8]如果存在一個充分大的T, 使得當t>T時,‖xi(t)-x0(t)‖和‖vi(t)-v0(t)‖保持有界, 那么就稱異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了擬同步.

構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t),

(4)

3 擬同步的充分判據(jù)

定理1若假設(shè)1和假設(shè)2成立, 且存在常數(shù)a>0,b>0,τ>0和矩陣P>0,Q>0,R>0,任意矩陣S,T使

(5)

從而, 要使U(t)<0, 即二次型ηT(t)Φ0η(t)負定, 故矩陣Φ0須滿足二次型負定的必要條件: 對角線元素均小于零.易知, 該矩陣的對角線元素除了第二行第二列的元素以外,均有可能小于零, 而第二行第二列的元素一定大于零, 故要通過恒等變形, 構(gòu)造一個新的矩陣Φ, 使其滿足必要條件.

從而U(t)≤ζ(t)+aV1(t)-bΔT(t)Δ(t)=ηT(t)Φη(t).根據(jù)引理1及條件P>0,Q>0,R>0可得U(t)<0, 即系統(tǒng)能實現(xiàn)擬同步.

注1LMI:Φ<0可分三步進行求解: ① 給定常數(shù)a>0,b>0,τ>0; ② 通過MATLAB中LMI工具箱首先給出LMI變元P,Q,R,S,T矩陣, 并表示出矩陣不等式, 求解得到P,Q,R,S,T矩陣; ③ 如果LMI有解, 則增大τ, 并返回第一步繼續(xù)求解, 以取得時滯的上界; 如果LMI無解, 則減小τ, 并返回第一步繼續(xù)求解.

4 數(shù)值算例

考慮由8個異質(zhì)調(diào)和振子和領(lǐng)導(dǎo)者振子組成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng), 其拓撲結(jié)構(gòu)如圖1所示.其中節(jié)點為領(lǐng)導(dǎo)者振子.選取:A=0.5diag(1.10,1.15,1.20,1.25,1.30,1.35,1.40,1.45),c=2,d1=29,D=0.5diag(d1,0,0,0,0,0,0,0),τ=0.01,a=0.01,b=10.通過求解LMI可得, 存在P,Q,R,S,T使λmax(Φ)=-0.002 038, 即Φ矩陣負定, 滿足引理1的條件.

圖1 網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)

設(shè)領(lǐng)導(dǎo)者振子的初始值為[x0(t),v0(t)]T=[5,0.5]T,t∈[-τ,0].當t∈[-τ,0]時, 從[0,5]隨機選取跟隨者振子的初始位移,從[-5,5]隨機選取跟隨者振子的初始速度.系統(tǒng)中的8個跟隨者振子和1個領(lǐng)導(dǎo)者振子運動的位移和速度狀態(tài)軌跡分別如圖2和圖3所示.從圖2～3可以看出,諧振子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)實現(xiàn)了擬同步.

圖2 諧振子的位移狀態(tài)軌跡圖

圖3 諧振子的速度狀態(tài)軌跡圖

本文創(chuàng)新之處在于針對調(diào)和振子網(wǎng)絡(luò)考慮更為常見的異質(zhì)網(wǎng)絡(luò),同時針對信息傳輸過程中不可避免的時滯問題考慮了輸入時滯.相較于部分已有文獻,本文的控制協(xié)議僅需要更少的信息就能實現(xiàn)擬同步,即耦合部分僅需要速度信息,牽制部分僅需要位移信息.