嚴佳萌, 陳 軒, 魏俊潮

(揚州大學數(shù)學科學學院, 江蘇 揚州 225002)

令R為有單位元的結(jié)合環(huán).設(shè)a∈R, 若存在b∈R,且滿足a=aba,b=bab,ab=ba, 則稱a是R的群可逆元,b為a的群逆元.由文獻[1]知,b是唯一的, 記為a#,有a=aa#a,a#=a#aa#,aa#=a#a.用R#表示R的全體群可逆元的集合.

設(shè)*:R→R是一個雙射.若滿足(a*)*=a,(a+b)*=a*+b*,(ab)*=b*a*,?a,b∈R, 則稱R為一個對合環(huán)或*-環(huán)[2].設(shè)R為*-環(huán),a∈R.若存在b∈R, 使得a=aba,b=bab,(ab)*=ab,(ba)*=ba,則稱a為R的Moore Penrose可逆元, 簡稱為MP可逆元, 稱b為a的MP逆元.由文獻[3]知,b是唯一的,記為a+,有a=aa+a,a+=a+aa+,(aa+)*=aa+,(a+a)*=a+a.用R+表示R的全體MP可逆元的集合.設(shè)R為*-環(huán),a∈R#∩R+.若a#=a+, 則稱a為EP元[4].用REP表示R的全體EP元的集合.關(guān)于EP元的研究還可參見文獻[5～9].

設(shè)R是一個*-環(huán),a∈R,若存在b∈R, 滿足a=aba,(ab)*=ba, 則稱a為扭可逆元,b為a的扭逆元.易見,若b為a的扭逆元, 則a(bab)a=(aba)ba=aba=a,(a(bab))*=((aba)b)*=(ab)*=ba=b(aba)=(bab)a, 故bab也為a的扭逆元,可見扭可逆元的扭逆元是不唯一的.用atw表示扭可逆元a的全體扭逆元的集合.若a為R的可逆元,則a為R的扭可逆元,且a-1為a的扭逆元.本文擬借助扭可逆元繼續(xù)刻畫EP元.

1 主要成果

定理1設(shè)a為*-環(huán)R的扭可逆元,a0為a一個取定的扭逆元, 則atw={a0+x-a0axaa0|其中x∈R, 滿足(ax)*=xa}.

證明 設(shè)W={a0+x-a0axaa0|其中x∈R, 滿足(ax)*=xa}.任取y∈atw, 則a=aya,(ay)*=ya, 易見a(y-a0)a=0, 有y=a0+(y-a0)-a0a(y-a0)aa0, 且[a(y-y0)]*=(ay-aa0)*=(ay)*-(aa0)*=ya-a0a=(y-a0)a.從而y∈W, 即atw?W.反之, 對任意x∈R, 滿足(ax)*=xa,有a(a0+x-a0axaa0)a=aa0a+axa-aa0axaa0a=a+axa-axa=a,[a(a0+x-a0axaa0)]*=(aa0+ax-axaa0)*=(aa0)*+(ax)*-(axaa0)*=a0a+xa-(aa0)*(ax)*=a0a+xa-a0axa=(a0+x-a0axaa0)a.從而a0+x-a0axaa0∈atw, 即W?atw, 故atw=W.

記Itw(a)={x∈R|axa=0且(ax)*=xa},則由定理1可得下面的推論.

推論2設(shè)a為*-環(huán)R的扭可逆元,a0為a的一個扭逆元, 則atw=a0+Itw(a).

定理3設(shè)R為*-環(huán),a∈R,則a∈REP當且僅當a∈R+且a為扭可逆元.

證明 必要性.假設(shè)a∈REP, 則有a∈R+且a+=a#, 故a=aa+a,(aa+)*=aa+=aa#=a#a=a+a.因此,a為扭可逆元.

充分性.由于a為扭可逆元, 則有b∈R,使a=aba;(ab)*=ba.因a∈R+, 故a+存在且aa+=abaa+, 從而aa+=(aa+)*=(abaa+)*=(aa+)*(ab)*=aa+ba, 于是a+=a+aa+=a+(aa+ba)=a+ba, 進而a+(1-a+a)=a+ba(1-a+a)=0, 從而aa+(1-a+a)=0.兩邊取*得(1-a+a)aa+=0, 故(1-a+a)a=(1-a+a)aa+a=0, 即有a=a+a2.又因a+a=a+(aba)=(a+a)(ba), 故a+a=(a+a)*=(ba)*(a+a)*=aba+a.左乘1-aa+, 得(1-aa+)a+a=(1-aa+)aba+a=0.兩邊取*得a+a(1-aa+)=0, 故a=a2a+, 于是aa+=(a+a2)a+=a+(a2a+)=a+a, 從而a為EP元.

推論4n階復方陣A是EP矩陣當且僅當A是扭可逆矩陣.

設(shè)a∈R+, 則由文獻[10]中定理1.1知aa*∈REP, 因此由定理3得下面的推論.

推論5設(shè)R為*-環(huán),a∈R+, 則aa*,a*a都是扭可逆元.

定理6設(shè)R為*-環(huán),a∈R#, 若a為扭可逆元, 則a∈REP.

證明 由于a為扭可逆元,則有b∈R,使a=aba;(ab)*=ba, 故ba=(ab)*=(a#aab)*=(ab)*(a#a)*=ba(aa#)*, 從而a=aba=aba(aa#)*=a(aa#)*.因此aa#=aa#(aa#)*, 即aa#為對稱元, 故由文獻[10]中定理1.2知a∈REP.

推論7設(shè)A是n階復方陣,有: i)若AHA是扭可逆矩陣, 則AHA是EP矩陣; ii)若AAH是扭可逆矩陣, 則AAH是EP矩陣.

定理8設(shè)R為*-環(huán),a∈R為扭可逆元,b∈atw,有: i)ab*∈R#且(ab*)#=a*b; ii)(bab)*a∈R#,且[(bab)*a]#=ba*; iii)ab*a為扭可逆元,且ba*b為ab*a的一個扭逆元.

證明 i)由b∈atw, 得a=aba,(ab)*=ba, 故(ab*)(a*b)(ab*)=a(b*a*)(ba)b*=a(ab)*·bab*=ababab*=ab*,(ab*)(a*b)=a(ab)*b=abab=ab;(a*b)(ab*)=a*(ba)b*=a*(ab)*b*=(baba)*=(ba)*=ab, 有(ab)*(a*b)=(a*b)(ab*), 知ab*∈R#, 且(ab*)#=a*b.

ii)因[(bab)*a](ba*)=(bab)*(ba)*a*=(ababab)*=(ab)*=ba,(ba*)[(bab)*a]=b[a*(bab)*]a=b(baba)*a=b(ba)*a=baba=ba,[(bab)*a](ba*)[(bab)*a]=ba(bab)*a=(ab)*(bab)*a=(babab)*a=(bab)*a, 故(bab)*a∈R#, 且[(bab)*a]#=ba*.

iii)因(ab*a)(ba*b)=ab*(ba)*a*b=a(abab)*b=a(ab)*b=abab=ab,(ba*b)(ab*a)=ba*(ab)*b*a=b(baba)*a=b(ba)*a=baba=ba,(ab*a)(ba*b)(ab*a)=ab(ab*a)=ab*a, 故ab*a為扭可逆元, 且ba*b為ab*a的一個扭逆元.

定理9設(shè)R為*-環(huán), 則a為扭可逆元當且僅當a*為扭可逆元.

證明 由于a為扭可逆元, 則有b∈R, 使a=aba;(ab)*=ba, 故a*=(aba)*=a*b*a*;(a*b*)*=ba=(ab)*=b*a*, 得a*是扭可逆元.同理可知(a*)*為扭可逆元, 從而a是扭可逆元.

定理10設(shè)A為n階復方陣, 若有方陣B, 使A=ABA且(AB)H-BA為冪等矩陣, 則A為EP矩陣.

證明 由已知條件知(AB)H-BA=[(AB)H-BA][(AB)H-BA]=(AB)H-(AB)HBA-BA(AB)H+BA, 從而 2BA=(AB)HBA+BA(AB)H.左乘A得2A=A(AB)HBA+A(AB)H, 右乘BA得2A=2A(AB)HBA, 故A=A(AB)HBA=A(AB)H.再右乘AA+得A2A+=A(AB)HAA+=A(AA+AB)H=A(AB)H=A, 故r(A)=r(A2), 從而A#存在且A#A=A#A2A+=AA+, 于是A為EP矩陣.

定理11設(shè)R為*-環(huán),a∈R,則a為(1,3)-可逆元當且僅當a為左*-可消元, 且存在b∈R, 使得(1-ab)[1-(ab)*]=[1-(ab)*](1-ab),a=aba.

證明 必要性.假設(shè)a為(1,3)可逆元, 則a為左*-可消元且有(1,3)-逆元c, 使a=aca,(ac)*=ac, 故(1-ac)[1-(ac)*]=(1-ac)2=[1-(ac)*](1-ac).

充分性.若存在b∈R, 使a為左*-可消元且a=aba;(1-ab)[1-(ab)*]=[1-(ab)*](1-ab), 則ab(ab)*=(ab)*ab, 從而ab(ab)*a=(ab)*a,a*ab(ab)*a=a*(ab)*a=(aba)*a=a*a.因a為左*-可消元, 故ab(ab)*a=a, 于是a=(ab)*a,ab=(ab)*ab, 故(ab)*=ab, 即有a為(1,3)-可逆元.

定理12設(shè)R為*-環(huán),a∈R, 則a為扭可逆元當且僅當存在x,y∈R, 使得a=axa*=a*ya且ya*=x*a.

證明 必要性.由a為扭可逆元, 有b∈R, 使a=aba,(ab)*=ba, 則a=a(ab)*=ab*a*=(ba)*a=a*b*a.取y=x=b*, 則a=axa*=a*ya,ya*=(ab)*=ba=x*a.

充分性.因a=axa*=a*ya,ya*=x*a, 故a*=ax*a*=a*y*a, 有a=axa*=ax(a*y*a)=(axa*)y*a=ay*a,a=a*ya=(ax*a*)ya=ax*(a*ya)=ax*a.取b=x*ay*,則ab=ax*ay*=ay*;aba=ay*a=a,(ab)*=(ay*)*=ya*=x*a;ba=x*ay*a=x*a.所以(ab)*=ba,故a為扭可逆元.

定理13設(shè)a∈R+∩R#,則a(a#)*(a+)*∈REP當且僅當a(a#)*(a+)*是扭可逆元.

證明 注意到[a(a#)*(a+)*]a*a*a+=a(a2a+a#)*a+=a(aa#)*a+=aa+,(a*a*a+)·[a(a#)*(a+)*]=(a+a#a+a3)*=(a+a)*=a+a,故a(a#)*(a+)*∈R+且[a(a#)*(a+)*]+=a*a*a+.根據(jù)定理3知a(a#)*(a+)*∈REP當且僅當a(a#)*(a+)*是扭可逆元.

推論14設(shè)a∈R+∩R#, 則下列條件等價: i)a∈REP; ii)a(a#)*(a+)*∈REP; iii)a(a#)*·(a+)*是扭可逆元.

定理15設(shè)a∈R+∩R#, 則a(a#)*(a+)*a#∈R+且[a(a#)*(a+)*a#]+=a+a2a*a*a+.

證明 由定理3可知[a(a#)*(a+)*a#](a+a2a*a*a+)=a(a#)*[(a+)*a#a+a2](a*a*a+)=a(a#)*(a+)*(a*a*a+)=aa+,(a+a2a*a*a+)[a(a#)*(a+)*a#]=a+a2{(a*a*a+)[a(a#)*·(a+)*]}a#=a+a2a+aa#=a+a, 故a(a#)*(a+)*a#∈R+且[a(a#)*(a+)*a#]+=a+a2a*a*a+.

推論16設(shè)a∈R#∩R+, 則下列條件等價: i)a∈REP; ii)a(a#)*(a+)*a#∈REP; iii)a(a#)*(a+)*a#為扭可逆元.

定理17設(shè)a∈R#∩R+, 則a∈REP當且僅當[a(a#)*(a+)*a#]+=aa*a*a+.

證明 必要性.假設(shè)a∈REP, 則a+=a#, 故由定理15知[a(a#)*(a+)*a#]+=a#a2a*a*a+=aa*a*a+.充分性.假設(shè)[a(a#)*(a+)*a#]+=aa*a*a+, 則由定理15知a+a2a*a*a+=aa*a*a+.右乘a(a#)*得a+a2a*=aa*,再右乘(a+)*得a+a2=a, 故a∈REP.