文/林 杰

引 言

數(shù)學史與數(shù)學教育（History and Pedagogy of Mathe-matics，簡稱HPM），即將數(shù)學教育與數(shù)學史相結(jié)合，是當前數(shù)學教育領(lǐng)域的重要研究課題。眾所周知，興趣是激發(fā)學生參與教學活動最有效的驅(qū)動力，尤其對于高中生而言，在學習數(shù)學時更需要興趣的激發(fā)。高中數(shù)學教師可在適當條件下為學生展示生動有趣的數(shù)學史，引領(lǐng)學生收集、整理與數(shù)學課程有關(guān)的資料，調(diào)動學生參與探究數(shù)學知識的積極性和主動性，在提高數(shù)學教學效率的同時培養(yǎng)學生自主探究和自主學習能力。

一、合理設(shè)置問題

問題式教學是課堂教學常見模式之一，即引領(lǐng)學生圍繞問題開展各項學習活動，優(yōu)化學生學習方式，促使學生成為探究數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)者和分析問題、解決問題的主體，逐漸消除對教師的依賴性，真正實現(xiàn)獨立探究學習。在問題式教學中融入HPM教學模式能使傳統(tǒng)教學散發(fā)活力，調(diào)動學生數(shù)學學習的積極性和主動性，提高教學效率。教師巧借數(shù)學史能幫助學生體驗和感悟數(shù)學學習過程，二者結(jié)合有助于強化學生的學習探究能力。高中數(shù)學教師在教學中可借助HPM理念，提出與數(shù)學史有關(guān)的問題，使學生從知識接受者的角色轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學家的角色，在豐富教學內(nèi)容的同時，引導學生串聯(lián)和深入探究知識，使其學習更具有連續(xù)性。例如，在學習函數(shù)知識時，數(shù)學教師可結(jié)合HPM模式指導學生從函數(shù)知識萌芽與發(fā)展歷程等方面提出以下問題：“函數(shù)思想的起源有哪些？”“函數(shù)表現(xiàn)形式如何發(fā)展？”“函數(shù)不同表現(xiàn)形式的優(yōu)缺點？”“如何在函數(shù)中應(yīng)用函數(shù)思想？”學生通過一系列問題，詳細了解函數(shù)發(fā)展與變遷史，深入理解和掌握函數(shù)的內(nèi)涵與外延，為靈活應(yīng)用函數(shù)思想和知識奠定堅實基礎(chǔ)。

二、講解數(shù)學進程

了解數(shù)學概念演變歷程能幫助學生較好地理解所學概念，并學會運用已有知識分析和解決實際問題，而非單純學習已形成結(jié)論的知識。教師在教學過程中不能簡單為學生呈現(xiàn)已有結(jié)果，而是需要使學生了解與數(shù)學知識概念有關(guān)的歷史過程，降低學生理解知識的難度，提高學生的學習效率。以導數(shù)教學為例，教師在設(shè)計教學案例時可從數(shù)學發(fā)展史、貼近學生實際生活的現(xiàn)象及學生已有的學習經(jīng)驗三個方面著手，突出切線的幾何意義這一重點和難點知識，在此過程中淡化極限的定義。設(shè)計該章節(jié)教學內(nèi)容時，教師可圍繞以直代曲知識內(nèi)容展開講解，充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)優(yōu)勢，促使學生充分理解切線知識概念。上述教學方式有以下特征：其一，教師基于學生經(jīng)常遇到的現(xiàn)實生活情況和已掌握的冪函數(shù)知識兩方面引入新知，吸引學生注意力；其二，教師通過發(fā)揮數(shù)學信息軟件局部放大功能，引領(lǐng)學生高效理解和掌握重難點知識；其三，教師在整個教學過程中穿插數(shù)學史，并融入切線概念發(fā)展歷程，有利于提升學生的數(shù)學文化素養(yǎng)。一般學生在學習該章節(jié)知識之前已學習圓與圓錐曲線知識，也初步感悟曲線切線并學會運用代數(shù)方式對曲線和曲直線是否相切進行判斷。學生在現(xiàn)實生活中，觀察透鏡反射現(xiàn)象，能發(fā)現(xiàn)曲線法線與切線間的聯(lián)系，更好地理解切線的概念。與此同時，學生在學習導數(shù)知識時普遍存在難以理解以直代曲過程的問題。因此，教師可借助信息技術(shù)軟件附帶的局部放大功能，為學生呈現(xiàn)曲線變化趨勢，然后再借助實際動手操作，讓學生體會割線靠近切線的過程。

三、展現(xiàn)數(shù)學趣味

高中數(shù)學和小學、初中階段相比，符號、定理、公式等知識更加抽象，如果教師適當滲透與所學知識有關(guān)的背景知識或發(fā)展歷程，學生了解知識形成過程后，就能深入理解和高效掌握所學知識，甚至還會改變以往對數(shù)學學科的錯誤認知。集合屬于原始概念，但何為原始概念？教師可為學生列舉幾何圖形中的點、線、面，將其稱作“原始概念”。若將“點”定義為無大小對象，該如何定義大??？在定義大小概念時又會回到點的定義，再運用點定義點則會出現(xiàn)思維邏輯錯誤，所以在幾何知識中不能對點再進行定義，線、面也是如此。與此同時，語言是溝通交流的工具，集合語言也是數(shù)學交流中不可缺少的工具。其中，集合論由德國數(shù)學家創(chuàng)立，當前集合概念與方法出現(xiàn)在數(shù)學學科各個章節(jié)，稱為學習數(shù)學知識的基礎(chǔ)。高中數(shù)學教師在課堂教學中花費數(shù)分鐘為學生講解知識背景，能在一定程度上達到活躍氣氛的目的，并加深學生對集合概念的理解。此外，集合是高中數(shù)學教材的首要章節(jié)，通過該章節(jié)的學習，學生能迅速掌握高中與初中數(shù)學的差異，明確高中數(shù)學知識更加深刻、嚴謹與抽象，為后續(xù)學習做好鋪墊。

在高中數(shù)學教學中融入數(shù)學史，能有效提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，在潛移默化中培養(yǎng)學生實事求是的態(tài)度、理性精神及求真信心，幫助其養(yǎng)成良好的思維習慣?，F(xiàn)代教育認為，教師在教學中應(yīng)為學生營造生動、愉悅的學習氣氛，使學生在此氛圍中快樂學習，實現(xiàn)真正意義上的寓教于樂，滲透數(shù)學史時同樣如此。以補集知識為例，教師在教學時可以為學生講述一則有趣的笑話，讓學生在有趣的小故事中充分理解集合知識，激發(fā)潛在的知識探究興趣。數(shù)學學科涵蓋較多抽象的定理、概念等知識，學生在理解和學習時難免會遇到一定的困難，教師如果在課堂教學中融入數(shù)學定理和概念形成歷史，會促使學生加深對數(shù)學知識的理解，降低數(shù)學知識難度，提高學習效率。概率論從誕生之際就受到很多數(shù)學家的關(guān)注，然而在較長一段時間中，針對概率論的研究都集中于古典概型，直至法國博物學家的出現(xiàn)，才將有限的概率論研究范圍擴大至無限，從古典概型延伸至幾何概型。對此，數(shù)學教師在講解幾何知識時可基于布豐投針問題展開，運用多媒體為學生展現(xiàn)布豐實驗操作過程，再讓學生利用課余時間收集和布豐實驗有關(guān)的資料并進行相互討論分析，使學生體驗和感悟數(shù)學家們在分析和解決此類問題時運用的思維方式，然后比較不同年代數(shù)學家應(yīng)用布豐的方式開展的投擲試驗，由此發(fā)現(xiàn)意大利數(shù)學家拉茲瑞尼于1901年得出的實驗結(jié)果和圓周率π最接近。當學生了解布豐投針試驗后，教師再播放小視頻，促使學生了解幾何概型發(fā)展史。堅持不懈的數(shù)學家們在深入研究中不斷推廣經(jīng)典的投針實驗，并運用圓形代替線段開展多次實驗，最后得出幾何概型。最后，教師再歸納總結(jié)該章節(jié)知識，引領(lǐng)學生掌握幾何概型特征與概率計算公式，積極鼓勵學生在課下嘗試并動手實驗，深入體會幾何概型的意義[1]。如此一來，整堂課氛圍活躍，學生探究知識興趣濃烈，深入地理解和掌握了知識點，同時提高了學生自主探究學習能力。

四、精講相關(guān)例題

傳統(tǒng)高中數(shù)學教學中，直接講解相關(guān)例題很容易使學生產(chǎn)生枯燥感。將HPM理念融入例題講解中，可在一定程度上增強數(shù)學學習趣味性，提升學生的聽課興趣，驅(qū)使其更加主動積極地思考。講解相關(guān)例題時教師應(yīng)做好充分準備，積極查閱相關(guān)資料，將例題內(nèi)容與數(shù)學史有機地整合在一起，使學生在了解數(shù)學史的同時，鞏固所學知識，掌握分析數(shù)學問題的思路。同時，教師在例題講解時應(yīng)注重展示相關(guān)數(shù)學家的圖片及與之相關(guān)的教學視頻等，而后自然過渡到例題講解中，如此可給學生帶來耳目一新的感覺，使其更加自覺地集中注意力聽講。

例如，在講解導數(shù)知識時，教師可為學生介紹19世紀丹麥數(shù)學家琴生在數(shù)學上取得的成就，尤其在函數(shù)凹凸性與不等式的研究上，他提出很多寶貴意見。而后，教師結(jié)合導數(shù)知識，講解如下例題：已知f′（x）是函數(shù)f（x）在（a，b）上的導函數(shù)，f′′（x）是f′（x）在（a，b）上的導函數(shù)。若在（a，b）上f′′（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）是（a，b）上的“嚴格凸函數(shù)”，稱區(qū)間（a，b）為函數(shù)f（x）的“嚴格凸區(qū)間”。給出以下命題，其中正確的有______；

（1）函數(shù)f（x）=-x3+3x2+2，在（1，+∞）上為“嚴格凸函數(shù)”；（2）函數(shù)f（x）=的“嚴格凸區(qū)間”為（0，；（3）若函數(shù)f（x）=ex-xlnx-x2在（1，4）為“嚴格凸函數(shù)”，則m的取值范圍為（e-1，+∞）。

在該章節(jié)教學中，教師從琴生在數(shù)學上取得的成就切入，自然過渡到導數(shù)知識的學習中，而后講解對應(yīng)例題更容易吸引學生的注意力，使其更加專心地聽講。學生從給出的“嚴格凸函數(shù)”“嚴格凸區(qū)間”兩個概念入手，不難判斷相關(guān)結(jié)論的正確性。

五、開展專題訓練

訓練是高中數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)，在幫助學生更好地理解與掌握所學知識方面具有重要意義。教學實踐中，教師應(yīng)注重在訓練環(huán)節(jié)中融入HPM理念，使學生了解更多的數(shù)學史，擴充其知識面，逐漸培養(yǎng)其學習數(shù)學的興趣。在訓練時，教師應(yīng)做好習題的精挑細選，既要確保習題能夠檢驗學生所學知識的掌握情況，又要能夠激發(fā)學生的學習積極性與學習潛力，使其能夠主動克服訓練過程中遇到的困難，同時自覺地總結(jié)與彌補訓練中的不足，尤其是總結(jié)學到的新知識、新技能，有利于日后更有效地解題。

例如，在講解數(shù)列知識時，教師可為學生講述意大利著名數(shù)學家斐波那契研究兔子繁殖時，發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的故事，增強學生學習趣味性的同時，更好地拓寬其視野。同時，教師結(jié)合有關(guān)數(shù)列方面的知識，為學生展示如下問題，要求其思考作答，更好地鍛煉學生靈活遷移所學分析新問題的能力[2]。斐波那契數(shù)列是這樣的數(shù)列，1，1，2，3，5，……從第3項開始，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和。若該數(shù)列記為{an}，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則以下結(jié)論中不正確的是（ ）。

教師講述斐波那契數(shù)列的發(fā)現(xiàn)過程，在拓寬學生知識面的同時，能很好地鍛煉學生的邏輯推理能力。學生根據(jù)斐波那契數(shù)列特點，以及從所學的等差、等比數(shù)列中獲得的啟發(fā)，很容易推理出a6=8，a7=13，易求得S7=33；根據(jù)有關(guān)斐波那契數(shù)列的描述可知其滿足an+2=an+1+an，兩邊均進行累加得到：a3+a4+...+an+2=（a2+a3+...+an+1）+（a1+a2+...+an），即Sn+2-2=（Sn+1-1）+Sn，即Sn+2=Sn+1+Sn+1；由a1=a2，a3=a4-a2，a5=a6-a4，...，a2019=a2020-a2018，可推出，a1+a3+a5+...+a2019=a2020；a12=a2a1，a22=a2（a3-a1）=a2a3-=a3a4-a2a3，...，a20192=a2019a2020-a2018a2019，即，a12+a22+a32+...+a20192=a2019a2020；綜上只有B項是錯誤的。

結(jié) 語

總之，基于HPM視角下的數(shù)學教學能較好地激發(fā)學生潛在的學習興趣，轉(zhuǎn)變學生學習觀念，使學生樹立正確的學習態(tài)度，并體驗和感悟數(shù)學學科特有的樂趣和魅力[3]。教師應(yīng)借助HPM教學模式在激發(fā)學生學習興趣的同時，使學生在參與課堂教學活動中深入理解所學新知，提高學習效率和質(zhì)量。教師在此過程中需不斷提升自身的數(shù)學素養(yǎng)，在教學中發(fā)揮指導和點撥的作用，避免學生在聆聽數(shù)學史時過于關(guān)注故事而忽略其中的數(shù)學知識。數(shù)學史并非停滯不前，教師需引導學生運用發(fā)展的眼光看待數(shù)學史，如此學生才能以敬畏之心聆聽數(shù)學史，提高學習質(zhì)量，這對學生未來發(fā)展有著重要的現(xiàn)實意義。