徐懷德
(甘肅省臨夏縣韓集初級中學 甘肅 臨夏 731801)
從初中數(shù)學內容來看,學生首先會學習到反比例函數(shù)和一次函數(shù),然后再增加學習難度,學習二次函數(shù),對于二次函數(shù)來說,其比較復雜,既包括二次函數(shù)的概念學習,也包括二次函數(shù)圖象、二次函數(shù)性質以及二次函數(shù)應用題學習等等。由于其內容比較復雜、抽象,多數(shù)學生都會認為二次函數(shù)學習十分困難,對其充滿恐懼心理,但是,由于二次函數(shù)部分的學習在中考中占有較大比重,因此,教師要對教學方法進行創(chuàng)新,調動起學生的學習興趣[1]。數(shù)形結合思想在二次函數(shù)教學中具有一定優(yōu)勢,在教學過程中將數(shù)與行進行巧妙結合,從而能引導學生換個角度思考問題,化繁為簡,最終完成解題任務,學生利用數(shù)形結合思想進行解題時,也能不斷提升自己的抽象思維能力,對數(shù)學學習具有重要幫助。
1.1 學生無法準確理解二次函數(shù)概念從而導致解題錯誤。從二次函數(shù)的圖象來看,其是一條拋物線,有頂點以及對稱軸,學生在畫圖以及做題時,都要準確找到二次函數(shù)圖象的頂點坐標以及對稱軸,但是,多數(shù)學生在學習二次函數(shù)時,并沒有了解其得來的整個過程,只是靠死記硬背,機械性的記憶對稱軸以及頂點坐標的求法,但是,二次函數(shù)解析式既包括正號也包括負號,有些學生在解題時,經(jīng)常出現(xiàn)混淆,從而就會因為正負號導致整道題出現(xiàn)錯誤。
1.2 二次函數(shù)知識較難,學生學習比較困難。眾所周知,由于二次函數(shù)比較困難,因此,學生在學習時,會先學習一次函數(shù)、一元二次方程、反比例函數(shù)等等,有了一定知識基礎之后再學習二次函數(shù),從而會降低學習難度。但是,由于二次函數(shù)的知識系統(tǒng)比較復雜,學生在學習時不僅需要熟練運用掌握的知識解決問題,還要利用自己的理解能力進行全面分析,從而才能找出解題思路。有些教師在教學時,按照自己的主觀理解為學生解題,沒有站在學生的角度進行分析,從而會增加學生的理解難度,有些教師講課過快,學生還在思考的過程中教師就已經(jīng)將整個題解決完了,從而就會導致學生的解題思路出現(xiàn)空缺,無法全面理解解題過程。除此之外,二次函數(shù)問題解題時用到的知識較多,如果學生某一單元的學習時出現(xiàn)知識漏洞,就無法順利解決問題,從而增加學生的難度。除此之外,學生在解決二次函數(shù)問題時,通常需要畫圖進行輔助理解,但是,有些學生的想象能力以及畫圖能力較差,從而無法為自己解題提供良好幫助。
1.3 教師在教學時運用的教學方法缺少靈活性。在學習二次函數(shù)知識時,學生最常見的便是二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)圖象,多數(shù)學生的逆向思維能力較差,在解決根據(jù)解析式解決問題時能輕而易舉的將問題解決出來,但是,在遇到利用頂點式方法解決問題時,就會浪費大量時間。由此可見,學生掌握的解題方法過于單一,學習思維不夠發(fā)散,從而無法提高解題思路。造成這一現(xiàn)象的原因通常與教師的教學方法有一定關系,教師在講題時,經(jīng)常使用一種方法進行解題,從而就會讓學生學到一種方法,教師教學方法缺少一定靈活性,學生的解題方法也會缺少一定靈活性[2]。
1.4 教師在教學時無法靈活使用多媒體進行制圖。多數(shù)學校為了輔助教師教學,都會在班級中放置多媒體,從而解決教師在教學時遇到的一些困難。但是,對于二次函數(shù)的教學來說,其學習、解題離不開畫圖,由于教師無法靈活運用多媒體進行制圖,從而就需要在黑板上進行制圖,一邊帶領學生畫圖一邊引導學生進行思考,從而就會浪費大量時間。有些學生在教師畫圖的過程中還會走思,由此一來,不僅會浪費大量時間,還無法提升學生的聽課質量。
2.1 有利于學生對概念進行理解性記憶。眾所周知,數(shù)學學習中有大量的概念,學生只有掌握這些概念,才能進行后續(xù)學習。但是,由于數(shù)學概念都是數(shù)學家對相關數(shù)學知識的高度濃縮,具有一定抽象性,學生在學習起來具有一定難度。多數(shù)學生學習數(shù)學概念時,都是進行機械性記憶,從而會使概念學習十分枯燥、乏味,通過使用數(shù)形結合法進行教學,能將抽象的數(shù)學概念形象化,從而幫助學生從本質上理解數(shù)學概念知識,提高學習下效果[3]。首先,通過使用數(shù)形結合法講解數(shù)學概念知識,能將數(shù)學概念的來龍去脈展示在學生面前,幫助學生理解相關概念。其次,由于數(shù)學概念比較抽象,學生在學習時無法了解概念的本質,從而影響學生對概念的掌握與運用,通過數(shù)形結合,能讓學生看清概念的本質,對概念進行深入理解,從而牢固掌握相關知識。最后,通過數(shù)形結合,為抽象的文字概念賦予相應圖形,通過觀看圖形,理解概念,能降低學生的理解難度。除此之外,多數(shù)學生在學習概念時,都是進行陳述性記憶,在后期學習時會出現(xiàn)遺忘較快的現(xiàn)象,通過圖形進行記憶,能降低學生的遺忘頻率。
2.2 有利于提高學生的解題能力。對于數(shù)學學習來說,學生學習知識就是為了運用知識解決問題,因此,教師進行教學時,不僅需要讓學生牢固掌握數(shù)學知識,還要讓學生學會運用知識,提升學生的解題能力。通過運用數(shù)形結合法進行教學,能發(fā)散學生的解題思維,通過圖形結合的方法幫助學生找到多種解題思路,進而提升學生的解題能力。
2.3 有利于培養(yǎng)學生的形象思維能力。形象思維簡而言之,就是根據(jù)將相關文字描述的信息想象出直觀的數(shù)學表象,能讓學生通過直觀形象的方法進行解題,由此一來,就能有效培養(yǎng)學生的形象思維能力,提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。教師經(jīng)常使用數(shù)形結合思想進行教學,能豐富學生的表象儲備能力。從而逐漸提高學生的形象思維能力。對于數(shù)學來說,數(shù)學家在探索知識時,通常都是以圖形結構進行建立的,不同題型有不同的建立方法,因此,學生在進行解題時,不同題型也有不同的想象方法,當學生表象儲備能力越強時,其掌握的想象方法越多,遇到不同問題時,能在短時間內將其變?yōu)橹庇^形象的圖形,從而降低自己的解題難度。
2.4 有利于培養(yǎng)學生的直覺思維。從數(shù)學學習來看,直覺思維具有較高的應用價值,學生在進行解題時,能根據(jù)自己掌握的知識在短時間內判斷出題目的答案,再經(jīng)過后續(xù)研究得出相關結論。對于一些選擇題以及填空題來說,直覺思維能幫助學生在短時間內解決猶豫不定的問題。通過數(shù)形結合法進行教學,能讓學生學會從整體上觀察題目,在短時間內將有價值的信息檢索出來,迅速看清問題的本質,找到解題方法。學生經(jīng)常利用形象思維進行解題,就能提高自己的直覺思維能力,對數(shù)學學習具有重要幫助。
2.5 能有效培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。對于數(shù)學學習來說,發(fā)散思維具有重要應用價值。學生擁有良好的發(fā)散思維,在思考統(tǒng)一問題時,就能學會從不同角度、不同方面思考問題,尋找不同的解題思路,從而提高學生的解題思路。當學生遇到困難時,其也能從已知的條件以及未知的條件中尋找聯(lián)系,從而解決數(shù)學問題。教師利用數(shù)形結合思想教學時,教師會引導學生從多個角度分析同一問題,尋找多種解題方法,從而能讓學生將各種知識靈活運用,達到融會貫通的效果[4]。
2.6 能有效提高學生學習數(shù)學知識的興趣。多數(shù)學生都認為數(shù)學學習是不斷學習新知識、不斷解決數(shù)學問題的過程,久而久之,學生就會對數(shù)學學習產(chǎn)生厭惡之情,認為數(shù)學學習十枯燥、乏味,從而降低對數(shù)學學習的興趣。為了全面提升初中數(shù)學學習的質量,教師應想方設法提高學生學習數(shù)學知識的興趣。為了增加學生學習的趣味性,教師可以用數(shù)形結合思想進行教學。教師帶領學生將文字知識和有趣、直觀、形象的圖形進行充分結合,運用圖形激發(fā)學生的探究興趣,從而使學生看到數(shù)學知識的樂趣,逐漸喜歡上數(shù)學知識的學習。當學生認為數(shù)學知識并不困難,在解題過程中充滿樂趣時,就會喜歡上學習數(shù)學。
3.1 引導學生從“數(shù)”轉化為“形”。從初中數(shù)學教材來看,在二次函數(shù)這一章節(jié)內,既為學生講述了二次函數(shù)的性質、圖象等知識,還為學生講解了二次函數(shù)與一元二次方程的關系、二次函數(shù)在實際問題中的應用,學生為了解決數(shù)學問題,應有靈活的應變能力以及對知識的綜合運用能力,由此一來,二次函數(shù)的學習就成為了學生學習的難點。教師為了降低學生的學習難度,可以運用數(shù)形結合思想,引導學生將“數(shù)”轉化為“形”,在坐標軸中將不同函數(shù)圖象表示出來,從而清楚的看到二者之間的關系,準確解答問題。教師可以用以下題目幫助學生進行練習,從而提升學生的運用能力[5]。
比如:在一坐標軸中,已知函數(shù)圖象y=4x+k與二次函數(shù)圖象y=x2+4x+3在第一象限有焦點,求函數(shù)y=4x+k中k的取值范圍。
學生在解決此類問題時,首先會想到二者在第一象限內有交點,從而進行求值,但是,此方法比較困難,多數(shù)學生都無法在短時間內將答案準確求出來,不僅浪費大量時間,還無法保證解題的正確率。因此,教師應引導學生使用數(shù)形結合方法進行解題。首先,找到題中給出的已知條件,兩個函數(shù)的圖象在第一象限內有交點,從而能將函數(shù)轉化為方程x2+4x+3-4x-k=0,即x2+3-k=0,并且次方程有實數(shù)根,從而能根據(jù)△=b2-4ac=-4(3-k)≥0,由此可以計算得出k≥3。學生再繼續(xù)分析題目中的已知條件,從而可以判斷出x=±k-3>0,進而可以求出k>3。學生在運用此方法解決問題時,首先需要學生有較強的知識綜合運用能力,還要求學生擁有良好的邏輯思維能力,因此,一些能力較差、基礎較差的學生在解題時就會運到眾多問題。為了讓所有學生都能快速掌握此類題型的解題方法,教師可以讓學生將函數(shù)圖象表現(xiàn)在坐標系中,從而根據(jù)相關圖象進行分析,能降低學生的解題難度。
除此之外,從教材中對二次函數(shù)定義的概念來看,其指出二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,并且其對稱軸垂直于x軸。因此,在函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c中,a是二次函數(shù)圖象二次項系數(shù),因此,其不可等于0,除此之外,系數(shù)a與函數(shù)圖象的開口方向以及大小具有密切關系,如果a大于0,則函數(shù)圖象開口向上,如果a小于0,則函數(shù)圖象開口向下。b和c時函數(shù)解析式的一次項系數(shù)以及常數(shù)項,學生在做題時,可以根據(jù)函數(shù)解析式中a和b的大小從而準確判斷出此函數(shù)圖象與對稱軸的關系。通過c的大小來確定函數(shù)圖象與y軸的交點在x軸的上方還是下方。因此,教師在教學時,應讓學生熟練掌握a、b、c與函數(shù)圖象中的關系,從而能獲得準確的圖象信息。比如:教師為學生提供y=x2+4x+3這一解析式,詢問學生根據(jù)解析式能得出哪些知識,有些學生就會說,此函數(shù)解析式的二次項為1,則函數(shù)圖象的開口向上,還有學生會說,此函數(shù)圖象的常數(shù)項為3,所以,此圖象在坐標軸中與y軸的交點為(0,3)除此之外,還有學生說,此函數(shù)圖象的對稱軸在x軸的負半軸處,通過綜合分析,學生能準確的將函數(shù)圖象繪制出來,從而判斷出一次函數(shù)y=4x+k中k的取值范圍應為k>3。
3.2 引導學生從“形”轉化為“數(shù)”。從二次函數(shù)的學習過程來看,學生首先會接觸到最簡單的二次函數(shù)圖象y=ax2,其是一條以頂點坐標為原點的拋物線,學生學習起來比較簡單,為了增加學習難度,開始對此函數(shù)進行變形,上下左右移動其頂點位置,進而就得到了新的函數(shù)解析式,向左右移動,學生可以得到y(tǒng)=a(x-h)2,向上下移動圖象,學生就得到了y=ax2+k,既向上下移動也向左右移動,學生便可以得到y(tǒng)=a(x-h)2+k,此知識點的學習對于學生來說比較困難,多數(shù)學生都無法快速掌握相關知識,因此,教師為了降低學生的學習難度,可以使用數(shù)形結合思想進行教學。通過引導學生分析函數(shù)解析式中的a、k、h三個常數(shù),從而提取到有價值的數(shù)學信息。除此之外,教師還可以結合函數(shù)圖象中的最值、對稱軸、頂點坐標、開口方向等信息進行分析,從而準確求出函數(shù)解析式,并利用此知識點進行解題。
比如:對于二次函數(shù)y=x2-2x+3這個解析式來說,先將其向上平移1個單位位,再將其向右平移4個單位,求最終的函數(shù)解析式。
學生在解決問題時,首先應考慮到上下移動解析式會如何變化,其次應考慮到左右移動解析式的變化,將二者聯(lián)合在一起,進行全面分析,從而才能得出答案。學生根據(jù)題干中給出的已知條件,可以列出移動后的解析式應為y=(x-4)2-2(x-4)+3+1,將其進行整理后,最終的解析式應該為y=x2-10x+28。運用此方法進行解題時,學生要明確掌握上下移動是哪個常數(shù)變化,左右移動是哪個常數(shù)變化,從而才能準確寫出解析式。
為了方便學生解題,教師還可以教授學生使用頂點式進行解決問題。對于拋物線來說,如果拋物線發(fā)生變化,函數(shù)圖象的頂點坐標也會隨之發(fā)生變化,因此,教師應引導學生寫出原解析式的頂點式y(tǒng)=(x-1)2+2,根據(jù)此解析式能判斷出此拋物線的頂點坐標為(1,2),然后拋物線向上平移一個單位后的頂點應為(1,3),拋物線繼續(xù)向右平移四個單位后頂點坐標應為(5,3),因此,學生可以求出移動后函數(shù)圖象的頂點式解析式應為y=(x-5)2+3,最后再將頂點式解析式轉換為以便解析式,便可得出移動后的解析式應為y=x2-10x+28。
3.3 靈活運用數(shù)形結合思想進行解題。首先,教師可以告知學生使用數(shù)形結合思想解決陌生題型,從而找到不同的解題思路。對于學生來說,在解題時,使用幾何圖形分析文字知識,能將抽象的知識直觀化,既能使復雜的函數(shù)知識簡單化,還能為枯燥的解題過程增添一定趣味,使學生獲得良好的學習體驗。當學生掌握這一方法后,其在解題時,就能通過繪制圖象,根據(jù)圖象分析出其他已知條件,根據(jù)這些條件為學生提供一些解題思路,從而使復雜的函數(shù)知識簡單化。由于數(shù)學知識的題型十分豐富,學生在做題的過程中經(jīng)常會遇到一些陌生題型,再解題時就會無從下手,在這種情況下,學生就可以使用數(shù)形結合思想進行解題,當學生熟練的掌握數(shù)形結合思想解題后,其看到相關函數(shù)解析式時,既能在腦海中浮現(xiàn)一些已知條件。比如:學生看到y(tǒng)=3x2+6x+4這一函數(shù)解析式時,就能將函數(shù)圖象大致浮現(xiàn)在腦海中,既能快速掌握函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標,還能掌握其在坐標軸中的大致位置,對學生解題具有重要幫助。比如:根據(jù)圖中所示函數(shù)圖象,如果其解析式為y=ax2+bx+c,則下列說法正確的是( )
A. b < a+c B . 4a+2b+c>0
C.b2-4ac>0 D . abc>0
圖1
學生運行用數(shù)形結合思想進行解題時,首先能根據(jù)函數(shù)圖象的開口判斷出a<0,其次,能根據(jù)圖象與x軸的交點判斷出b=2a<0,最后,能根據(jù)圖象與y軸的交點判斷出c>0,根據(jù)以上分析學生能判斷出abc>0,由此可見,D選項正確,另外,學生根據(jù)函數(shù)圖象可以判斷出當x=-1時,是函數(shù)的最大值,并且y>0,由此,可以判斷出a-b+c>0,由此可見,A選項也是正確的。根據(jù)圖象與x軸有兩處交點,因此,可以判斷出△=b2-4ac>0,由此可見C選項正確。由圖形可以分析出當x=1時,y<0,因此,當x=2時,y<0,由此可以判斷出,4a+2b+c<0,即選項B是錯誤的。
其次,教師可以引導學生將數(shù)形結合思想與現(xiàn)實生活進行結合,從而能幫助學生理解相關知識,提升知識的運用能力。從教材中給出的例題我們可以看到在日常生活中,人們制定售價、計算利潤、進行建筑工程設計時,為了保證自己的利潤最大化、建筑工程的安全性,都會運用到二次函數(shù)的相關知識,因此,教師就可以利用多媒體為學生搜尋生活中與二次函數(shù)有關的應用題,引導學生運用數(shù)形結合思想進行解題,能讓學生更加理解相關知識,熟練運用此知識進行解題。
綜上所述,函數(shù)學習貫穿了整個中學數(shù)學,學生在學習過程中,不斷豐富自己對函數(shù)的了解,不斷提高自己對函數(shù)知識的運用能力,但是,在九年級時,學生會遇到二次函數(shù)的相關知識,此章節(jié)包含的知識點眾多,即使學生有之前的一些基礎,其在學習時還是會遇到眾多困難。從初中數(shù)學試卷安排來看,二次函數(shù)的應用題通常都作為壓軸題最后出現(xiàn),由此可見其難易程度,多數(shù)學生對其充滿恐懼,在此題上無法獲得高分。為了消除學生對二次函數(shù)的恐懼,提高學生對二次函數(shù)的掌握程度,教師應使用數(shù)形結合思想進行教學,將函數(shù)知識和圖象轉化進行有效結合,從而讓學生直觀的看出函數(shù)圖象的知識點,通過發(fā)散自己的思維,快速掌握二次函數(shù)的相關知識。