韓智明

[摘? 要] 落實學(xué)科核心素養(yǎng)，其中課堂是必不可少的陣地，教師是課堂教學(xué)活動的主導(dǎo)者，需要利用各種教學(xué)手段和方法營造鮮活、靈動的課堂氛圍，讓學(xué)生主動參與活動，感受數(shù)學(xué)活動中知識的發(fā)生過程，提升自己的學(xué)科素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);探究;課堂

如何在課堂教學(xué)中落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的一個熱門話題. 而今幾乎每篇數(shù)學(xué)文章、每個數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計或數(shù)學(xué)公開課等都要冠以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的字樣，它顯然是表示數(shù)學(xué)活動是否“高大上”的一個重要衡量指標(biāo). 其實落實核心素養(yǎng)并不是“霧里看花”或“水中望月”，更不是不接地氣的“空中樓閣”. 教學(xué)實踐表明核心素養(yǎng)是實實在在的，是看得見摸得著的，它需要我們在了解學(xué)生已有知識、經(jīng)驗和技能的基礎(chǔ)上，堅持以落實“四基”和提升“四能”為終極目標(biāo)，在教學(xué)活動中努力實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的本原性問題（促使一個概念、一個原理、一門理論產(chǎn)生的那些原始問題）和派生性問題（在該知識理論發(fā)展過程中派生出來的與自然科學(xué)沒有直接關(guān)系的問題）的完美呈現(xiàn)，達(dá)成學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考問題、用數(shù)學(xué)的語言詮釋世界的一種境界.

筆者在一道求圓錐曲線離心率習(xí)題的課堂教學(xué)活動中，基于學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，展開教學(xué)聯(lián)想和啟發(fā)探究，逐步通過順應(yīng)同化的方式建立學(xué)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，建構(gòu)學(xué)生數(shù)學(xué)思維體系收到了流暢、良好的效果.

[?] 課堂呈現(xiàn)

筆者在2021年的高三復(fù)習(xí)備考中，發(fā)現(xiàn)一道有關(guān)求圓錐曲線離心率的選擇題，也許廣大師生覺得求圓錐曲線離心率應(yīng)該是一個老生常談的問題，無外乎通過圓錐曲線定義、幾何法或代點法進(jìn)行處理，最終找到a，b，c的齊次方程即可求解. 筆者和學(xué)生一起解答下面這道題時，在學(xué)生已有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上通過思維聯(lián)想和微探究活動，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到了很好的訓(xùn)練.

試題 如圖1所示，設(shè)F，F(xiàn)分別是雙曲線C：-=1的左、右焦點，P是雙曲線C右支上的點，射線PT平分∠FPF，過原點O作PT的平行線交PF于點M. 若

FF

=5

MP

，則雙曲線C的離心率為（  ? ）

A.? ? B. 2

C. D.

解法1：設(shè)雙曲線C的右頂點為A，考察特殊情形：當(dāng)點P→A時，射線PT→直線x=a，此時PM→AO，即PM→a，特別地，當(dāng)P和A重合時，PM=a. 由MP=

F

F=，即a=，因此離心率e==，故答案為A.

解法2：如圖1所示，設(shè)∠FPF的平分線交x軸于點T，設(shè)

PF=m，

PF=n，則m-n=2a，又MP=

F

F=，由OM∥PT得=，即=，則

FT=，所以

FT=2c-.又PT是∠FPF的平分線，由角平分線的性質(zhì)得=，即=，化簡整理得m-2a=m-c，即=. 所以雙曲線C的離心率為，故答案為A.

以上兩種解法是參考答案給出的方法，解法1利用了特殊情況，通過極限思想刻畫其極端情況，不失是一種巧妙的解法，對于選擇題當(dāng)然適用，但在做解答題時終究難登大雅之堂;解法2通過平行線或相似三角形和角平分線的性質(zhì)構(gòu)造線段成比例，結(jié)合雙曲線的定義消去兩個未知數(shù)得到a，c的齊次關(guān)系式，從而求解. 此解法看似思路清晰，過程也不難懂，但其實里面包含了學(xué)生很多知識盲點和思維不達(dá)的高度. 筆者覺得至少有兩個地方學(xué)生的思維是難以突破的，第一是相似三角形中平行線分線段成比例屬于平面幾何知識，學(xué)生運用不熟練;第二是三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，學(xué)生幾乎不知道，更不能運用，加上很多變量難以消除. 從測試后的結(jié)果表明，整個年級的學(xué)生幾乎都不會通過適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q此道習(xí)題，答錯率很高.

這道習(xí)題真是難題嗎？筆者通過對此題構(gòu)題的分析，從題源和命題人的初衷思考，不得不感慨命題人獨具匠心和變式思想，于是就有了筆者和學(xué)生的解題聯(lián)想和微探究課堂.

當(dāng)學(xué)生看到這兩種解法后，課堂上一陣唏噓聲……

教師：同學(xué)們！從上面的兩種解法來看，第一種解法通過特殊性處理求解是可以接受的，但是第二種解法很難有同學(xué)想得到，此解法要求我們對平面幾何知識很熟悉，要求很高. 此題還有其他我們?nèi)菀渍莆蘸屠斫獾慕夥▎?？在給出其他解法之前，讓我們先看看下面這道習(xí)題：

題1：設(shè)F，F(xiàn)分別是雙曲線C：-=1的左、右焦點，如圖2所示，點P是雙曲線C右支上的點，射線PT平分∠FPF，過點F作PT的垂線交PT于T，求點T的軌跡方程.

教師：這是一道求點的軌跡方程的習(xí)題，大家首先要想到求點的軌跡方程的方法——直接法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法及交軌法，但對照此題發(fā)現(xiàn)解題思路不是很明朗.

生1：通過分析，求解此題可以排除直接法、相關(guān)點法、參數(shù)法及交軌法，最后只能用定義法解決，因為它是在雙曲線上，應(yīng)該和雙曲線的定義和性質(zhì)有關(guān)，題中既有角平分線又有垂直線，應(yīng)該可以構(gòu)造某種圖形進(jìn)行處理.

教師：分析得很有道理，我們在初中學(xué)習(xí)時遇到過當(dāng)角平分線和高同時存在時，運用的解題策略和方法是什么？你會聯(lián)想到什么呢？

生2：“三線合一”，如圖3所示，可以延長FT交PF的延長線于點E，連接OT，就得到一個等腰三角形PFE，點T是FE的中點，就可以把PF的長轉(zhuǎn)化為PE的長. 利用雙曲線的定義得

PF-

PF=PE-

PF=

FE=2a，又OT是△FEF的中位線，所以TO=

FE=a. 由圓的定義即可得到點T的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓，即x2+y2=a2.

通過學(xué)2的分析，可以看出學(xué)生已經(jīng)掌握了相關(guān)的解題方法和思路，已經(jīng)具備了相應(yīng)的知識結(jié)構(gòu)，這時就要對學(xué)生已經(jīng)具備的知識進(jìn)行遷移，去獲得更高級別的知識和解決更高層次的問題了.

教師：非常好！學(xué)2的思路清晰，充分利用題設(shè)條件構(gòu)造了等腰三角形，最后通過定義法求出了點的軌跡. 此題是以雙曲線為背景的，我們不妨合理猜想和探究一下，當(dāng)題設(shè)背景是橢圓時，我們能得到同樣的問題嗎？

（3分鐘后）

生3：我通過嘗試直接把題1中的雙曲線改成橢圓，發(fā)現(xiàn)結(jié)論不能成立.

生4：如果僅僅把條件中的雙曲線改成橢圓是不夠的，橢圓的定義和雙曲線的定義不同，構(gòu)造的三角形得到的兩邊之差不能代替橢圓中的兩邊之和，所以要根據(jù)橢圓的特征進(jìn)行條件改動，也就是題設(shè)中的內(nèi)角平分線要改成外角平分線.

教師：分析得很有道理！按照這個變換思路我們給出題2：

題2：設(shè)F，F(xiàn)分別是橢圓C：+=1的左、右焦點，如圖4所示，點P是橢圓C上一點，射線PT是△FPF的外角平分線，過點F作PT的垂線交PT于T，求點T的軌跡方程.

生5：通過題1的思路，同理得到圖5，即延長FT交FP的延長線于點E，連接OT，得到一個等腰三角形PFE，點T是FE的中點，就可以把PF的長轉(zhuǎn)化為PE的長. 利用橢圓的定義得

PF+

PF=PE+

PF=

FE=2a. 又OT是△FEF的中位線，所以TO=

FE=a. 由圓的定義即可得到點T的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓，即x2+y2=a2.

教師：通過對這兩道習(xí)題的解題分析和變式練習(xí)，我想同學(xué)們應(yīng)該明白和理解我為什么要大家先做這兩道習(xí)題的良苦用心了吧！它們應(yīng)該和我們這次測試的這道題有非常緊密的關(guān)系，我們應(yīng)該可以通過題1、題2的解答思路解決這道試題了. 下面大家一起回到這道試題上來！

在解題活動中，當(dāng)學(xué)生面臨一個陌生的數(shù)學(xué)問題時，甚至當(dāng)學(xué)生對要解決的數(shù)學(xué)問題毫無思路時，作為教師絕對不能填鴨式地灌輸解題方法，而是要先從學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，豐富和發(fā)展學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建新的知識結(jié)構(gòu)，通過展示同學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)相匹配的數(shù)學(xué)問題來積累和豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗和水平，從而啟發(fā)并展開學(xué)生豐富的聯(lián)想，探究更高層次的數(shù)學(xué)問題. 當(dāng)我們正要去解決一個數(shù)學(xué)問題時，要有一個充分的解題準(zhǔn)備. 正如著名數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中說道：“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此相關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？”因此，解題時我們要重現(xiàn)過去在數(shù)學(xué)活動中的某些思維過程，解題活動其實就是解決和探究數(shù)學(xué)問題時思維過程的一個總結(jié). 當(dāng)解題活動結(jié)束時，回過頭來想一想，我們會發(fā)現(xiàn)自己在解決問題時的確或多或少地經(jīng)歷了以往的一個過程.

教師：我們首先看一看題1和這道試題有什么聯(lián)系，仔細(xì)聯(lián)想一下它們的相似之處.

（4分鐘后）

生6：解決完題1和題2后，我感覺此道試題的解決思路就打開了，很明顯此道試題就是題1的變式題，題設(shè)條件一樣，就是設(shè)問有所不同. 如圖6所示，可以得到如下的解析：

過點F作FN⊥PT交PT于點N，交PF于點A，連接ON，于是得到一個等腰三角形PAF，點N為FA的中點，就可以把PF的長轉(zhuǎn)化為PA的長. 利用雙曲線的定義得

PF-

PF=

PF-PA=

AF=2a. 又ON是△FAF的中位線，所以NO=

AF=a. 又ON∥PM，OM∥PN，所以四邊形ONPM是平行四邊形，所以O(shè)N=MP，即a=c，即e=，故答案為A.

教師：非常好！思路清晰，簡潔明了，真正運用聯(lián)想漂亮地解決了此題.

生7：剛才生6是在題1的解答思維的基礎(chǔ)上做的調(diào)整，是過點F作的垂線，其實過點F仿照題1的解答思路同樣可以解決. 如圖7所示，可以得到下面的解析：

過點F作FN⊥PT交PT于點N，交PF的延長線于點A，連接ON，得到一個等腰三角形PAF，點N即為FA的中點，就可以把PF的長轉(zhuǎn)化為PA的長. 利用雙曲線的定義得

PF-

PF=PA-

PF=

AF=2a，又ON是△FAF的中位線，所以O(shè)N=

AF=a.又ON∥PA，OM∥PN，∠FPN=∠APN，∠APN=∠ONP，所以∠FPN=∠ONP，所以四邊形ONPM是等腰梯形，所以O(shè)N=MP，即a=c，即e=，故答案為A.

教師：生6和生7的解答思路基本相同，都是在題1和題2的解答思路啟發(fā)的基礎(chǔ)上展開的類比和聯(lián)想，所以在今后的解題活動中，我們要積累解題經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)隱藏在習(xí)題中的本原性知識，通過循序漸進(jìn)的方式融入我們的知識結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生新的派生性知識.

豐富的聯(lián)想讓學(xué)生思維活躍，學(xué)生嘗試運用類比、聯(lián)想的思維方法解決他們的問題，嘗到了解題成功的喜悅，于是筆者決定將課堂探究活動進(jìn)行到底.

教師：同學(xué)們！很高興在我們共同努力下解決了一道選擇難題，仿照題1和題2，我們在聯(lián)想的基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)行探究活動，也就是把雙曲線改換成橢圓，情況會怎么樣呢？

（5分鐘后）

生8：類比前面，我們同樣可以生成另一個習(xí)題.

教師：生8說得很好！我們可以聯(lián)想前面的題2生成一道以橢圓為背景的試題. 仔細(xì)觀察一下，首先要改動選項中離心率的取值，我們不妨先按照題設(shè)條件做一做，然后再根據(jù)結(jié)果進(jìn)行變式.

題3：如圖8所示，設(shè)F，F(xiàn)分別是橢圓+=1的左、右焦點，P是橢圓上的點，延長F1P到D，射線PT平分∠DPF，過原點O作PT的平行線交PF于點M. 若

FF

=5

MP

，則橢圓的離心率為（? ? ）

A. B. 2

C. D.

解析：和題2的解答思路相同，過點F作FN⊥PT交PT于點N，交FP的延長線于點A，連接ON，得到一個等腰三角形PAF，點N即為FA的中點，就可以把PF的長轉(zhuǎn)化為PA的長. 利用橢圓的定義得

PF+

PF=

PF+PA=

AF=2a. 又ON是△FAF的中位線，可得NO=

AF=a. 又四邊形ONPM是平行四邊形，所以O(shè)N=MP，即a=c，即e=.

（看完解析后，學(xué)生在下面議論紛紛，討論氛圍很熱烈）

生9：從計算的結(jié)果來看，這種改編有幾處地方不妥，首先是選項的值不對，都應(yīng)該在0到1之間;線段FF和MP的數(shù)量關(guān)系應(yīng)該也要進(jìn)行改動.

教師：分析得很有道理，我們就按照生9的想法把此題改編成下面的題4.

題4：如圖8所示，設(shè)F，F(xiàn)分別是橢圓+=1的左、右焦點，P是橢圓上的點，延長F1P到D，射線PT平分∠DPF，過原點O作PT的平行線交PF于點M. 若

FF

=

MP

，則橢圓的離心率為（? ? ）

A. B.

C. D.

教師：這樣的話，我想解析的過程就不用再贅述了，只是后面數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化，即ON=MP=

F

F，即a=c，即e=，故答案為A. 當(dāng)然，類比雙曲線時的情形，我們同樣可以用另外的方法求解此題：

如圖9所示，過點F作FN⊥PT交PT于點N，交FP的延長線于點A，連接ON交PF于點B，得到一個等腰三角形PAF，點N即為FA的中點，就可以把PF的長轉(zhuǎn)化為PA的長. 利用橢圓的定義得

PF+

PF=

PF+PA=

AF=2a，又ON是△FAF的中位線，所以NO=

AF=a. 又ON∥PA，OM∥PN，∠FPN=∠APN，∠APN=∠ONP，所以∠FPN=∠ONP，所以△PBN是等腰三角形，同理可得△BOM也是等腰三角形. 所以

BP

=

NB

，

BM

=

BO

，所以

BP

+

BM

=

NB

+

BO

，即ON=MP，即a=c，即e=，故答案為A.

生10：一道小題（選擇題）蘊含了大思想（聯(lián)想、類比和探究），一個知識點（求離心率）彰顯了好方法（構(gòu)造、推理和變式）. 普通的習(xí)題，自然的聯(lián)想，經(jīng)典的變式，解題思想明確，方法更是那么熟悉，這堂課把此題真是剖析得淋漓盡致. （此時學(xué)生都報以熱烈的掌聲?。?/p>

[?] 課堂反思

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)首先要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中掌握數(shù)學(xué)“四基”，即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗;其次是在應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中提高“四能”，即從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，進(jìn)而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)這兩個過程中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，最后才能夠達(dá)到“三會”，即會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)思維思考世界、會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的具體實施策略主要是通過數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)活動來實現(xiàn)的，課堂教學(xué)活動應(yīng)該是培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的主要陣地. 然而課堂教學(xué)的價值取向是什么？是每次不折不扣地完成既定的教學(xué)內(nèi)容，以教學(xué)計劃為框架、以教學(xué)內(nèi)容為載體動態(tài)地調(diào)控課堂的走向. 后現(xiàn)代教學(xué)理念認(rèn)為，“教學(xué)活動的過程主要是學(xué)生主動學(xué)習(xí)和建構(gòu)的過程”. 建構(gòu)主義認(rèn)為，“學(xué)習(xí)是在教師指導(dǎo)下的，以學(xué)生為中心的學(xué)習(xí)，教師是意義建構(gòu)的幫助者、促進(jìn)者，學(xué)生是信息加工的主體，是意義的主動建構(gòu)者”. 新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主體，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對知識的主動探索、主動發(fā)現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對知識意義的主動構(gòu)建，本堂課筆者正是以此為指導(dǎo)思想來展開數(shù)學(xué)解題的聯(lián)想、類比和探究活動的.

教育家烏申斯基說：“沒有絲毫興趣的強(qiáng)制學(xué)習(xí)，會扼殺學(xué)生探求真理的欲望，興趣是學(xué)習(xí)的重要動力，也是最好的老師！”課堂上，教師準(zhǔn)確把握和利用學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本活動經(jīng)驗是進(jìn)行有效教學(xué)活動的前提，先以一道選擇題的解法拉開數(shù)學(xué)活動的序幕，通過啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生在已有認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上不斷納入和構(gòu)建新的更高一級的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，創(chuàng)設(shè)知識情境，環(huán)環(huán)相扣，層次分明地形成”思維鏈“，通過組織、開展師生互動活動讓師生的思維撞擊并產(chǎn)生靈動的火花. 教師在活動中參與指導(dǎo)評價，調(diào)控課堂進(jìn)程，通過知識聯(lián)想、方法類比、變式探究的形式激發(fā)學(xué)生的聯(lián)想和探究興趣、思維，學(xué)生在思考、交流、解決問題的過程中不斷挑戰(zhàn)、質(zhì)疑、更新認(rèn)識，實現(xiàn)自我探究、突破、評價、總結(jié)，促成教與學(xué)交互生成、發(fā)展，學(xué)生在整個課堂中身心愉悅地置身于教學(xué)活動中的主體地位，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功與進(jìn)步的快樂，

整個課堂教學(xué)活動不斷進(jìn)行習(xí)題變式和組織，讓學(xué)生敢于創(chuàng)新和勇于實踐，而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)主要就是圍繞著創(chuàng)新能力和實踐能力來進(jìn)行的，發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新意識的核心，分析和解決問題是實踐能力的表現(xiàn). 聯(lián)想和微探究活動是貫穿整個課堂的內(nèi)容主線，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下自主探究、回答交流，呈現(xiàn)不同觀點交鋒，質(zhì)疑、引導(dǎo)、補(bǔ)充、修正，多角度分析問題，深化理解問題. 在教學(xué)過程中教師不僅要關(guān)注如何幫助學(xué)生學(xué)會知識、技能、思想、方法，更要關(guān)注如何引導(dǎo)學(xué)生會學(xué)習(xí)、會思考、會應(yīng)用.

于無聲中育人，于無形中塑人，活躍靈動的課堂有助于樹立學(xué)生敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神，充滿理性思維的聯(lián)想和微探究活動有助于學(xué)生不斷提升數(shù)學(xué)實踐能力和數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，從而使學(xué)生真正認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值.