唐林旺，李雪蓉，麻欣宇，王俊峰，2*

(1. 江西理工大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院，江西 贛州 341000；2.江西省礦冶環(huán)境污染控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 贛州 341000)

1 引言

水資源作為人類(lèi)以及自然界中所有生物的生存根本，其用途廣泛，無(wú)法代替，同時(shí)也最容易受到外界污染。水體污染會(huì)導(dǎo)致圍繞水體生存的生態(tài)群體受到影響。且會(huì)導(dǎo)致污染所處區(qū)域的水文條件和污染物的種類(lèi)、強(qiáng)度、時(shí)間、地點(diǎn)等各方面出現(xiàn)較強(qiáng)的不穩(wěn)定性，且污染物隨時(shí)處于變化的狀態(tài)，隨著水體的流動(dòng)發(fā)生遷移難以掌控，會(huì)對(duì)環(huán)境、經(jīng)濟(jì)以及社會(huì)造成嚴(yán)重的破壞性，甚至甚至?xí)ㄟ^(guò)生態(tài)鏈危害人類(lèi)的身體健康[1-2]。

為此本文提出一種基于CS(Cuckoo Search)算法的水質(zhì)污染垂向擴(kuò)散跟蹤建模方法，是基于布谷鳥(niǎo)的繁衍方式以及萊維飛行演變所得到的算法，因布谷鳥(niǎo)會(huì)把鳥(niǎo)蛋生在宿主鳥(niǎo)的巢內(nèi)，若被宿主鳥(niǎo)發(fā)現(xiàn)，就會(huì)發(fā)生沖突，而宿主鳥(niǎo)事后發(fā)現(xiàn)布谷鳥(niǎo)蛋，那么會(huì)在其它地方建立一個(gè)鳥(niǎo)巢或者將其鳥(niǎo)蛋推出巢穴之外；而布谷鳥(niǎo)的蛋一旦被宿主鳥(niǎo)孵化，會(huì)將宿主鳥(niǎo)的蛋推出巢穴外，本文根據(jù)該特性，隨機(jī)地輸入數(shù)據(jù)，尋找最優(yōu)二維水質(zhì)水流模型，隨后憑借計(jì)算橫向系數(shù)，利用垂向系數(shù)觀察污染物對(duì)于水體垂向污染的影響，完成最終的跟蹤建模。

2 CS算法的應(yīng)用計(jì)算原理

將CS算法做出三種理想假設(shè)，具體如下所示：

1)布谷鳥(niǎo)隨機(jī)生產(chǎn)在某宿主鳥(niǎo)巢內(nèi)；

2)布谷鳥(niǎo)蛋會(huì)被孵化。

3)布谷鳥(niǎo)能夠使用到的宿主鳥(niǎo)巢穴個(gè)數(shù)n為固定的，而布谷鳥(niǎo)鳥(niǎo)蛋在宿主鳥(niǎo)巢穴內(nèi)被發(fā)現(xiàn)概率為pa∈[0，1]。

以上述三種假設(shè)作為前提，可以得到布谷鳥(niǎo)尋找鳥(niǎo)巢的位置以及路徑，具體公式為：

(1)

萊維飛行連續(xù)的跳躍路徑和時(shí)間關(guān)系是服從萊維分布情況[3]，通過(guò)對(duì)分布函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化以及傅里葉變換之后，獲得冪次的行為概率密度函數(shù)，具體可得公式為：

Le′vy～u=t-λ；1<λ<3

(2)

上式中：λ代表冪次系數(shù)。

由于通過(guò)模擬萊維飛行的跳躍路徑，可以獲得具體公式為：

(3)

上式中：s代表萊維飛行跳躍的路徑Le′vy；參數(shù)Le′vy(λ)與式(2)內(nèi)λ關(guān)系是λ=1+β，β的取值范圍是0<β<2，能夠在CS算法內(nèi)取β=1.5，參數(shù)o、j代表正態(tài)的分布隨機(jī)數(shù)，可以服從式(4)正態(tài)的分布情況，在式(4)相應(yīng)正態(tài)的分布標(biāo)準(zhǔn)差為σo、σj取值，具體如式(5)所示：

(4)

式中，

(5)

布谷鳥(niǎo)按照萊維飛行方式，其搜索路徑是隨意改變的，此時(shí)會(huì)從一個(gè)區(qū)域轉(zhuǎn)換至另外一個(gè)區(qū)域，使其整體尋優(yōu)的能力增強(qiáng)，此外，CS方法憑借布谷鳥(niǎo)的生存方式，能夠?qū)ζ溥M(jìn)行定義，在布谷鳥(niǎo)被宿主鳥(niǎo)所發(fā)現(xiàn)的概率為pa=0.25，以此可以適應(yīng)環(huán)境的布谷鳥(niǎo)則被孵化，反之，則會(huì)被淘汰掉，以此剩下最佳的布谷鳥(niǎo)。本文憑借CS方法的強(qiáng)收斂性對(duì)整體水域水流流動(dòng)方式進(jìn)行搜索，尋找最優(yōu)的流動(dòng)路徑以后，通過(guò)構(gòu)建污染跟蹤模型，尋找出污染物的擴(kuò)散情況[4]。

3 水質(zhì)污染問(wèn)題的垂向擴(kuò)散跟蹤建模方法。

3.1 水質(zhì)污染垂向擴(kuò)散系數(shù)

水質(zhì)污染的垂向擴(kuò)散系數(shù)是衡量污染物在河渠內(nèi)運(yùn)輸能力的重要參數(shù)[5]，采用對(duì)流速分布的函數(shù)形式，以此能夠在各向同性的紊動(dòng)條件之下，得出污染物垂向擴(kuò)散的系數(shù)。

以混合區(qū)域外邊界的標(biāo)準(zhǔn)曲線特征尺度基礎(chǔ)，獲取順直寬闊的水體垂向擴(kuò)散系數(shù)，具體公式為：

(6)

上式中：Ez代表垂向的擴(kuò)散系數(shù)，單位為：m2/s，Ls代表河渠最大的寬度，單位為m，Sz代表河渠的垂直方向面積，單位為m2，e代表岸邊污染混合區(qū)域的最大長(zhǎng)度以及對(duì)應(yīng)縱坐標(biāo)比值。

在式(6)內(nèi)表明，河渠的垂直方向平均流速u(mài)恒定條件下，垂直方向上面積Sz越大，說(shuō)明垂向擴(kuò)散的系數(shù)Ez就越大，而最大的長(zhǎng)度Ls越大，那么垂向擴(kuò)散的系數(shù)Ez就越小[6]。

3.2 二維污染物垂向跟蹤模型

河渠的一維水流水質(zhì)模型，一般情況下要對(duì)其進(jìn)行理想化以及大量簡(jiǎn)化的操作，而實(shí)際過(guò)程內(nèi)，要模擬水體種類(lèi)有很大幾率不滿足一維模型的理想狀態(tài)，例如：水平寬度較大或者水平尺度較短、橫向濃度的梯度較大等問(wèn)題，這時(shí)不用對(duì)水力水質(zhì)參數(shù)沿著垂向變化進(jìn)行考慮，可采用沿著水深均勻流動(dòng)量來(lái)代表垂直方向流場(chǎng)，因此根據(jù)CS算法的應(yīng)用原理，本文采用CS算法獲取二維水流水質(zhì)的模型，該模型能夠跟蹤水體內(nèi)水流垂向與污染物濃度變化，從而完成跟蹤建模[7]。

3.2.1 水動(dòng)力模型

在河渠內(nèi)獲得從水底至水面微小的水體。h0、z0分別代表某一個(gè)基準(zhǔn)面下河渠水位以及底部的高程，Ux、Uy、Uz分別代表x、y、z方向上沿著水深的平均流速，u、v、w分別代表x、y、z方向沿著水深時(shí)的平均流速，具體公式為：

(7)

自由表面和底部的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件公式為：

(8)

(9)

1)沿著水深均勻連續(xù)性的方程

水流的連續(xù)方程公式為：

(10)

上式中：q代表單位面積上污染物進(jìn)出河渠流量，其中，流入即為正，而流出為負(fù)[8]。

2)沿著水深的平均運(yùn)動(dòng)方程

(11)

設(shè)定u、v分別代表河渠內(nèi)x、y方向流速分量，那么河渠x方向動(dòng)量的輸運(yùn)方程公式為：

(12)

與河渠x方向動(dòng)量的輸運(yùn)方程相似，河渠y方向上動(dòng)量的輸運(yùn)方程公式為：

(13)

河渠湍流動(dòng)能以及湍流耗散輸運(yùn)的方程公式為：

(14)

湍流動(dòng)能的產(chǎn)生項(xiàng)公式為：

(15)

上式中：g代表重力的加速度，n代表河渠的底部糙率，k代表河渠的深度湍流動(dòng)能，ε代表耗散率，μ、代表分子動(dòng)力粘性的系數(shù)，μt代表漩渦運(yùn)動(dòng)粘性的系數(shù)，γeff代表有效的粘性系數(shù)，C代表河渠輸送水質(zhì)變量的濃度，單位是g/m3，SC代表污染物強(qiáng)度，Sk代表河渠內(nèi)污染物的衰弱減項(xiàng)[9]。

3.2.2 污染物跟蹤模型

污染物在進(jìn)入水體內(nèi)，會(huì)發(fā)生擴(kuò)散，在任意的dt時(shí)間段中，所有因素一起作用，會(huì)引發(fā)微分單元體內(nèi)的污染物質(zhì)量增量，包括水平面(x，y)方向的變化量。因此要構(gòu)建水體內(nèi)污染物的輸運(yùn)微分方程，就需要許多因素一起作用下，所引發(fā)單元體積中，污染物的變化量與該水體中污染物處于dt時(shí)間段中的變化量[10]。

1)在水流的作用下，處于x、y方向所引發(fā)污染物的增量通量，具體公式為：

(16)

2)在分子的分散作用下，處于x、y方向所引發(fā)污染物的增量通量，具體公式為：

(17)

3)在紊動(dòng)擴(kuò)散作用下，處于x、y方向所引發(fā)污染物的增量通量[11]，具體公式為：

(18)

4)在彌散作用下，處于x、y方向所引發(fā)污染物的增量通量，具體公式為：

(19)

5)在微元體源項(xiàng)Sv和水體衰減作用下所引發(fā)污染物的增量通量，具體公式為：

Sv|(x，y)dxdydt+Sk|(x，y)dxdydt

(20)

依據(jù)質(zhì)量守恒定律，獲得河渠二維污染垂向跟蹤的轉(zhuǎn)換基本模型，具體公式為：

(21)

上式中：t代表污染物的運(yùn)移時(shí)間，單位是h代表河渠跟蹤高度，Ex、Ey分別代表河渠x，y方向上離散系數(shù)[12]，其單位為m2/s。

4 仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

4.1 實(shí)驗(yàn)一

為驗(yàn)證本文方法的有效性，選擇實(shí)驗(yàn)環(huán)境，如表1所示：

表1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

通過(guò)模擬測(cè)試，設(shè)定水面污染源的強(qiáng)度為：m=50g/m2，橫向以及垂向系數(shù)分別為：0.1m2/s、0.02m2/s。擴(kuò)散時(shí)間為t=1000s，水深20m，在該次實(shí)驗(yàn)分成三次進(jìn)行，不考慮橫向污染的影響，僅觀察垂向污染擴(kuò)散情況，具體結(jié)果如圖1所示：

圖1 模擬污染物垂向擴(kuò)散系數(shù)

通過(guò)觀察圖1能夠看出，分別進(jìn)行三次不同的污染濃度測(cè)試過(guò)程中，第一次污染物濃度較低，當(dāng)擴(kuò)散至大約2米的位置，濃度擴(kuò)散系數(shù)逐漸降低，而達(dá)到5米的位置，基本停止向下擴(kuò)散，開(kāi)始隨著時(shí)間的流失，橫向擴(kuò)散，由于橫向擴(kuò)散跟蹤系數(shù)，不在本文實(shí)驗(yàn)考慮范圍之內(nèi)，因此第一次終止；第二次提升污染物濃度為第一次的一倍，在幾秒鐘內(nèi)，擴(kuò)散得深度就超越了第一次，然后隨著時(shí)間的推移，在約9米處擴(kuò)散系數(shù)降低，由于該次濃度較大，直到擴(kuò)散約12米處才基本停止向下擴(kuò)散；第三次，再次提升一倍的污染物濃度，但污染物并沒(méi)有像第二次以很快的速度超越第一次一樣，超越第二次測(cè)試，而是在達(dá)到10米的時(shí)候，出現(xiàn)勻速下降，直到14米的時(shí)間，擴(kuò)散系數(shù)降低；第四次濃度為12mg·L-1到15米的時(shí)候擴(kuò)散系數(shù)降低，16米就已經(jīng)停止擴(kuò)散。總結(jié)來(lái)說(shuō)，污染物濃度越大，垂直擴(kuò)散越深，隨著深度提升擴(kuò)散系數(shù)會(huì)逐步降低，對(duì)污染物的影響力就越小。

4.2 實(shí)驗(yàn)二

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的建模效果，通過(guò)實(shí)際污染擴(kuò)散情況進(jìn)行對(duì)比，在相同條件，觀察二者之間垂向擴(kuò)散的變化情況，具體如圖2所示：

圖2 本文跟蹤結(jié)果與實(shí)際跟蹤結(jié)果對(duì)比

通過(guò)觀察圖2能夠看出，本文方法跟蹤建模的模擬情況與實(shí)際污染擴(kuò)散情況，它們的曲線波動(dòng)，基本相同、差距較小，都是隨著時(shí)間的增加，擴(kuò)散的越深。這是由于本文通過(guò)CS算法可以找出水體流動(dòng)的方式，再以污染物隨著水體流動(dòng)的方式，找出污染物的擴(kuò)散系數(shù)，完成有效跟蹤。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文采用CS算法獲取二維水流水質(zhì)的模型，跟蹤水體內(nèi)水流垂向與污染物濃度變化，

根據(jù)混合區(qū)域外邊界的標(biāo)準(zhǔn)曲線特征尺度獲取流速分布函數(shù)計(jì)算水體垂向擴(kuò)散系數(shù)。結(jié)合水體污染垂直方向上的流場(chǎng)，從而完成污染擴(kuò)散跟蹤。最后設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)分為兩部分。實(shí)驗(yàn)首先獲取了模擬污染物垂向擴(kuò)散系數(shù)，基于此結(jié)果，將模擬的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果對(duì)比，二者之間的擴(kuò)散系數(shù)基本相同，以此能夠證明本文方法能夠符合現(xiàn)實(shí)的精準(zhǔn)跟蹤需求。

不過(guò)本文并未考慮特殊的環(huán)境場(chǎng)所，例如，水流速度極快的河渠、攜帶沙土的河渠等，因此，未來(lái)本文還需要進(jìn)一步研究，爭(zhēng)取跟蹤的范圍更廣，構(gòu)建更精準(zhǔn)的模型。