朱日興，朱兆優(yōu)，李建鋒

(1. 中國民航大學(xué)適航學(xué)院，天津 300300；2. 東華理工大學(xué)機械與電子工程學(xué)院，江西 南昌 330013；3. 中國民航大學(xué)中歐航空工程師學(xué)院，天津 300300)

1 引言

復(fù)雜線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制需要在線的系統(tǒng)辨識技術(shù)[1]。通常所建的系統(tǒng)線性模型在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)工作點小鄰域范圍內(nèi)有比較高的精度，一旦系統(tǒng)環(huán)境發(fā)生變化，會產(chǎn)生系統(tǒng)參數(shù)估計偏差，進而影響整個控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和精度。為了消除環(huán)境變化對系統(tǒng)估計參數(shù)的影響，需要一種能夠跟蹤時變參數(shù)的在線辨識算法。

最小二乘(RLS， Recursive Least Square Algorithm)及其改進算法是目前使用非常廣泛的一種線性系統(tǒng)辨識方法，而隨著系統(tǒng)運行時間的增大，參數(shù)辨識協(xié)方差矩陣會出現(xiàn)數(shù)據(jù)飽和的現(xiàn)象[2]，協(xié)方差矩陣系數(shù)會逐漸趨近于零，算法漸漸失去對參數(shù)的修正和跟蹤能力。為了使RLS算法具有跟蹤時變線性系統(tǒng)的能力，常用的做法是在算法中加入遺忘因子。文獻[3]將推廣遺忘因子RLS算法應(yīng)用到GPS動態(tài)目標(biāo)的軌跡追蹤中，驗證了遺忘因子最小二乘算法優(yōu)于Kalman濾波算法。文獻[4]提出一種基于預(yù)測殘差的動態(tài)調(diào)整遺忘因子的方法，對船舶航向模型進行辨識。然而，基于殘差方法的遺忘因子在線調(diào)整策略只在系統(tǒng)為辨識信號的前提下才具有較好的時變參數(shù)跟蹤效果，一旦系統(tǒng)輸入的辨識信號不具有動態(tài)激勵能力，辨識算法將不能保證參數(shù)估計的收斂性，此時傳統(tǒng)的參數(shù)估計算法將會對系統(tǒng)噪聲非常敏感[5]。另一方面，從信息論的角度分析，由于系統(tǒng)不同時刻輸入輸出數(shù)據(jù)具有不同的信息量，時變參數(shù)辨識算法應(yīng)該考慮系統(tǒng)不同維度數(shù)據(jù)的分布特點，根據(jù)數(shù)據(jù)信息量的特點合理調(diào)整參數(shù)估計矩陣的大小以避免參數(shù)估計矩陣出現(xiàn)飽和現(xiàn)象[6]。文獻[7]通過最小二乘算法通過優(yōu)化定義的損失函數(shù)，來確定系統(tǒng)參數(shù)估計值。通過引入遺忘因子[8]，使得RLS算法具有跟蹤時變參數(shù)的能力。文獻[9]給出了一種指數(shù)遺忘算法，采用時變遺忘因子的方法解決了參數(shù)的估計對系統(tǒng)噪聲非常敏感的影響。文獻[10]提出了一種單獨遺忘部分參數(shù)空間的辨識算法。無論是卡爾曼濾波還是最小二乘算法，對參數(shù)估計器的收斂性進行分析能夠?qū)烙嬈鞯膭討B(tài)特性有更準(zhǔn)確的認識[11]，辨識參數(shù)的收斂性同樣也影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

目前，還沒有相關(guān)理論對辨識算法遺忘因子的選擇問題進行研究。本文基于目前應(yīng)用廣泛的RLS辨識算法，通過對算法的參數(shù)估計矩陣的有界性進行分析，從理論上證明具有時變參數(shù)跟蹤能力的辨識算法需要滿足的數(shù)學(xué)條件，同時針對系統(tǒng)數(shù)據(jù)分布空間的不均勻性，基于選擇遺忘策略，構(gòu)造出一種特殊的參數(shù)估計矩陣特征值映射函數(shù)，在線動態(tài)調(diào)整遺忘因子的大小。仿真結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)辨識算法具有特征值映射的RLS辨識算法具有更強的時變參數(shù)跟蹤能力。

2 選擇遺忘機制與RLS算法結(jié)合的時變系統(tǒng)參數(shù)辨識

對于目前應(yīng)用非常廣泛的指數(shù)遺忘(EF-RLS， Exponential Forgetting)算法來說， λ常根據(jù)工程經(jīng)驗常取0.95到1之間的常數(shù)。然而，很多情況下，{φ(t)}中不同參數(shù)維度的數(shù)據(jù)在時間上分布是不均勻的，因此需要一種根據(jù)不同維度數(shù)據(jù)特征動態(tài)調(diào)整遺忘因子λ(t)的方法，以適應(yīng)估計參數(shù)數(shù)據(jù)空間分布的不均勻性。具有選擇遺忘機制(SF， Selective Forgetting)的動態(tài)調(diào)整遺忘因子方法，最早由Parkum[12]提出，該算法能夠根據(jù)系統(tǒng)不同維度數(shù)據(jù)分布的差異動態(tài)調(diào)整遺忘因子大小。本文對該方法做進一步拓展，提出一種將選擇遺忘機制與RLS算法結(jié)合的新算法，稱為SF-RLS算法。首先矩陣P(t|t)進行特征值分解如(1)式。

(1)

其中p為矩陣P(t|t)的維數(shù)，α1(t|t)，…，αp(t|t)為其特征值，v1(t)，…，vp(t)為特征向量。對于指數(shù)遺忘算法EF-RLS，矩陣P(t+1|t) 的時間更新為如(2)式。

(2)

對于選擇遺忘算法SF-RLS有式(3)所示。

(3)

式中λi(t)為不同參數(shù)維度下時變的遺忘因子。由于矩陣特征向量vi(t)代表矩陣在不同變換維度的方向，λi(t)的大小與在vi(t)方向上接受的信息量有關(guān)，隨著該維度特征值αi(t|t)的增大而增加。因此P(t+1|t)變?yōu)槭?4)所示。

(4)

接下來研究時間更新函數(shù)F{·}如何選擇。 假如e(t)為高斯白噪聲，對任意滿足遺忘算法，設(shè)αmin，αmax(αmin<αmax)為R+上的兩個實數(shù)，如果存在連續(xù)函數(shù)f滿足f(0)=αmin，f(αmax)=αmax，且有

(5)

則

1) ?t≥0，P(t+1|t)≥P(t|t)

2) ?t≥0，αminI≤P(t+1|t)≤αmaxI

3) 如果φ(t)=0，則P(t+1|t)→αmaxI

此外，如果0<αi(t|t)<αj(t|t)<αmax，則有

4)αj(t+1|t)<αi(t+1|t)

6) 命題1)、2)和3)表明，通過選擇合適的函數(shù)f{·}能夠保證P(t|t)在任意時刻t>0都是有界的，其中f{·}的函數(shù)特性如式(5)所示。命題4)和5)表明，一旦系統(tǒng)輸入信號不能夠激發(fā)系統(tǒng)所有模態(tài)，即φ(t)不滿足輸入信號必須為持續(xù)激勵信號的條件，具有式(5)特性的函數(shù)f{·}，仍然能夠保證矩陣P(t|t)是有界的。

命題5)表明，矩陣P(t|t)的特征值αi可作為數(shù)據(jù)向量φ(t)在方向vi上信息的一種度量，在t時刻，在方向vi上的信息移除量可表示為

(6)

由于αi(t|t)代表參數(shù)估計方差，命題5)說明了，如果某維數(shù)據(jù)出現(xiàn)較大誤差時，會增大該維度遺忘因子數(shù)值，矩陣P(t|t)中舊信息的移除量比較大，因此SE-RLS算法能夠根據(jù)不同維度信息量動態(tài)調(diào)整遺忘因子大小。

圖1顯示的是RLS算法、EF-RLS算法和SF-RLS算法在矩陣特征值區(qū)間[αmin，αmax]上，矩陣P(t|t)時間更新上的差異。由于f(·)的特殊性質(zhì)，SF-RLS算法能夠保證下一時刻矩陣P(t+1|t+1)的特征值αi(t+1|t+1)仍在區(qū)間[αmin，αmax]內(nèi)。而EF-RLS算法不能夠保證P(t+1|t+1)有界，由于函數(shù)斜率為常數(shù)λ∈[0.95，1]，一旦αi(t+1|t+1)?[αmin，αmax]，估計矩陣P(t+2|t+2)將不再有界，此時算法對噪聲非常敏感，造成較大的參數(shù)估計誤差。

圖1 不同遺忘算法矩陣P的時間更新對比

3 仿真分析

具有時變參數(shù)跟蹤能力的遺忘算法需要滿足的條件，一是辨識算法能夠保證參數(shù)估計矩陣P(t|t)在時間上有界[13]；二是輸入信號必須為持續(xù)激勵信號[14]。而所設(shè)命題則說明了，即使算法不滿足條件，通過選擇合適的特征值更新函數(shù)f(·)，依然能夠保持矩陣P(t|t)有界，從而保證算法具有時變參數(shù)的跟蹤能力，下面將通過3個實例分析帶有遺忘機制RLS辨識算法的優(yōu)勢。

選擇如下遺忘因子更新函數(shù)

(7)

其中αmin=0.01，αmax=1。上式對應(yīng)的遺忘因子動態(tài)調(diào)整公式為

λi(t)=

(8)

可以證明上式定義的線性函數(shù)f(·)滿足命題，即當(dāng)輸入x>αmax時，此時SF-RLS算法與RLS算法相同；當(dāng)x≤αmax時，f(·)能夠保證P(t|t)的特征值始終在[αmin，αmax]區(qū)間內(nèi)。對于EF-RLS算法取遺忘因子λ=0.98。

考慮如下一階離散差分方程

y(k)+ay(k-1)=bu(k-1)+e(t)

(9)

其中e(t)～N(0，0.12)。

3.1 系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生突變

假設(shè)某一時刻待辨識系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生突變，取

(10)

b=1.00t≥0

(11)

系統(tǒng)輸入采用4階M序列辨識信號，圖2顯示的是系統(tǒng)輸入和輸出信號波形。

圖2 參數(shù)突變下系統(tǒng)輸入與輸出信號波形

參數(shù)辨識過程如圖3所示，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a在t=300s時刻由-0.80突變到-0.40過程中，EF-RLS算法和SF-RLS算法都能夠跟蹤參數(shù)的變化，但選擇遺忘算法的參數(shù)估計在很短的時間內(nèi)收斂，SF-RLS算法對突變過程的響應(yīng)很快，時變參數(shù)跟蹤能力更強。

圖3 參數(shù)突變下系統(tǒng)參數(shù)辨識過程

辨識過程中，參數(shù)估計矩陣P(t|t)的秩變化過程如圖4所示，說明了具有遺忘機制的辨識算法在辨識過程中能夠保證矩陣P(t|t)始終是有界的，SF-RLS算法參數(shù)估計誤差明顯低于EF-RLS算法。

圖4 參數(shù)突變下協(xié)方差矩陣P的秩變化過程

3.2 系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生漂移

假設(shè)某一時刻待辨識系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生漂移，取

(12)

b=1.00t≥0

(13)

系統(tǒng)參數(shù)a在300≤t<400s，以0.005/s的參數(shù)漂移速率改變。系統(tǒng)輸入輸出如圖5所示。

圖5 參數(shù)漂移下系統(tǒng)輸入與輸出信號波形

參數(shù)估計過程如圖6所示，由圖可以看出在參數(shù)發(fā)生緩慢漂移的情況下，相比于EF-RLS算法SF-RLS算法也有更好的參數(shù)跟蹤能力。

圖6 參數(shù)漂移下系統(tǒng)參數(shù)辨識過程

參數(shù)漂移過程中，矩陣P(t|t)的秩變化過程如圖7所示，可以看出兩種遺忘算法的參數(shù)估計誤差都能夠收斂到0，帶有遺忘機制的RLS算法誤差更小。

圖7 參數(shù)漂移下協(xié)方差矩陣P的秩變化過程

3.3 系統(tǒng)激勵向量數(shù)據(jù)失效

前面2種情況驗證了，當(dāng)系統(tǒng)輸入為2N階持續(xù)激勵信號時，系統(tǒng)數(shù)據(jù)向量φ(t)均滿足輸入信號必須為持續(xù)激勵信號的條件，進而能夠保證參數(shù)估計協(xié)方差矩陣P(t|t)有界的?，F(xiàn)在假設(shè)在某一時刻，系統(tǒng)輸入信號沒有完全激勵系統(tǒng)所有模態(tài)，即向量φ(t)不滿足輸入信號為持續(xù)激勵信號。

參數(shù)a滿足

(14)

系統(tǒng)輸入激勵信號在第500s后取為常值

(15)

此時系統(tǒng)的輸入輸出信號波形如圖8所示

圖8 激勵失效下系統(tǒng)輸入與輸出信號波形

圖9 激勵失效下系統(tǒng)參數(shù)辨識過程

參數(shù)辨識過程如圖9所示，SF-RLS算法和EF-RLS算法都能檢測到系統(tǒng)參數(shù)在t=300s時發(fā)生了變化。在t=500s之后，由于系統(tǒng)輸入的信號u(t)=1，不再具有激勵系統(tǒng)模態(tài)的能力，大約在t=700s之后，EF-RLS算法開始受到系統(tǒng)噪聲的干擾，參數(shù)估計誤差被迅速放大，而SF-RLS算法由于能夠始終保證矩陣P(t|t)有界，因此算法仍然具較高的有時變參數(shù)跟蹤能力。

圖10 激勵失效下協(xié)方差矩陣P的秩變化過程

矩陣P(t|t)的秩變化過程如圖10所示，由圖可知，在t=500s之后，使用EF-RLS算法更新的矩陣P(t|t)的秩迅速增大，也意味著參數(shù)估計偏差逐漸增大，EF-RLS算法失去跟蹤時變參數(shù)的能力，而帶有選擇遺忘機制的辨識算法，即SF-RLS算法能夠保證參數(shù)辨識誤差較小。

4 結(jié)論

遞推最小二乘算法具有對線性系統(tǒng)參數(shù)在線辨識的優(yōu)異性能，然而常用的遺忘因子RLS分解算法對時變參數(shù)辨識效果不理想而且對系統(tǒng)輸入信號要求較高。本文提出一種將選擇遺忘機制與遞推最小二乘算法結(jié)合的時變系統(tǒng)辨識算法，以拓展現(xiàn)有RLS算法在時變系統(tǒng)的適用范圍。通過對參數(shù)估計矩陣的特性進行分析，證明了具有時變參數(shù)跟蹤能力的RLS算法需要參數(shù)辨識矩陣有界這一條件，并基于矩陣特征值變換的思想，對RLS算法遺忘因子進行動態(tài)調(diào)整，以保證RLS算法對時變系統(tǒng)參數(shù)跟蹤的能力。仿真實驗表明，在時變參數(shù)跟蹤方面，帶有遺忘機制的遞推最小二乘算法其性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的遺忘算法，且當(dāng)系統(tǒng)輸入不是2N階激勵信號時，也能夠?qū)r變參數(shù)進行良好的跟蹤。