李俊梅，梁意文

(1. 荊楚理工學(xué)院計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，湖北 荊門 448000；2. 武漢大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，湖北，武漢， 430000)

1 引言

光學(xué)信息處理方法主要通過對(duì)數(shù)據(jù)和圖像信息進(jìn)行變換來達(dá)到用戶想要的效果，其核心部分是利用透鏡來實(shí)現(xiàn)傅里葉變換過程[1-2]。和其它的信息處理方法比較可知，光學(xué)信息處理表現(xiàn)出了更為突出的性能，能夠呈現(xiàn)更大的容量、更高的并行度、更快的實(shí)現(xiàn)速度等，因此，被廣泛應(yīng)用到了圖像處理和信息安全等領(lǐng)域[3]。光學(xué)圖像加密技術(shù)[4]是一種將光學(xué)方法運(yùn)用到加密算法中的新型技術(shù)，它在圖像加密領(lǐng)域表現(xiàn)出了更高的安全性和更優(yōu)越的信息處理能力，使加密圖像不容易受到攻擊。因此，越來越多的相關(guān)研究被投入到了光學(xué)圖像加密領(lǐng)域[5-6]。陳曉東等人[7]提出利用多混沌結(jié)合分?jǐn)?shù)傅里葉變換的加密方法，首先借助分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)像素值的擾亂，然后利用細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)來進(jìn)一步調(diào)制相位模板，從而完成了圖像的加密。結(jié)果顯示了該算法具有較好的抗攻擊性能。但超混沌的復(fù)雜性能會(huì)影響加密效率，導(dǎo)致加密耗時(shí)較多；并且分?jǐn)?shù)傅里葉具有線性特性，限制了算法的安全性。Faragallah等人[8]提出了基于菲涅耳域來實(shí)現(xiàn)雙圖像的加密方法，通過二維的混沌Arnold變換對(duì)初始圖像做相應(yīng)的預(yù)處理，并利用二維Logistic對(duì)正弦相位掩模進(jìn)行調(diào)整。結(jié)果表明了該算法安全性能較好，但其密鑰空間較小，使其抗攻擊能力不足。Chen等人[9]借助小波變換和菲涅耳變換，設(shè)計(jì)了基于壓縮感知和特征融合的多圖像加密方法，先采用小波變換對(duì)多個(gè)圖像加以處理，將高頻和低頻信息進(jìn)行融合，構(gòu)造高、低頻融合圖像，然后在菲涅耳域中對(duì)相位信息分別進(jìn)行了截?cái)嗪捅Ａ籼幚怼＝Y(jié)果驗(yàn)證了該算法能夠有效降低存儲(chǔ)容量，但該方法存在抗剪切攻擊性能較差的問題，降低了密文的安全性。

針對(duì)當(dāng)前光學(xué)圖像加密算法存在的不足，本文設(shè)計(jì)了基于Tent映射和孔徑分?jǐn)?shù)梅林變換(Fractional Mellin Transform，F(xiàn)rMT)的光學(xué)圖像加密方法。利用在透鏡前面放置一個(gè)硬邊光闌，構(gòu)建了一個(gè)孔徑分?jǐn)?shù)梅林變換光學(xué)模型，該變換能夠有效地避免傅里葉變換的線性屬性。為增強(qiáng)了密鑰的隨機(jī)性，借助Tent映射產(chǎn)生一個(gè)輔助相位，并將其融入到迭代加密的相位信息中來提高算法的穩(wěn)健性。再采用Tent映射對(duì)迭代加密后的幅度信息進(jìn)行異或操作，輸出密文。最后，通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試了本算法的安全性和有效性。

2 基于孔徑分?jǐn)?shù)傅里葉變換的光學(xué)實(shí)現(xiàn)

2.1 分?jǐn)?shù)傅里葉變換

分?jǐn)?shù)傅里葉變換能夠很好的描述圖像在空間域和頻域中的局部特性，在光學(xué)信號(hào)處理和加密領(lǐng)域應(yīng)用非常地廣泛。函數(shù)f(t)的分?jǐn)?shù)傅里葉變換[10](Fractional Fourier Transform，F(xiàn)rFT)表達(dá)式為

(1)

其中，Kα(t，u)為積分內(nèi)核函數(shù)，其可表示為

(2)

式中，F(xiàn)α是函數(shù)f(t)的α階FrFT表示，α為FrFT的階數(shù)，且0<|α|<2，旋轉(zhuǎn)角度φ=απ/2。

2.2 孔徑分?jǐn)?shù)傅里葉的光學(xué)系統(tǒng)

(3)

式中，E(x，y，z)為出射面的復(fù)振幅，E(x0，y0，0)為入射面的復(fù)振幅，k表示波數(shù)，且k=2π/λ，λ表示波長，s表示為積分曲面，A、B、C、D為入射面和出射面的變換矩陣的矩陣單元，z為傳輸距離。

圖1 孔徑FrMT變換光學(xué)實(shí)現(xiàn)

根據(jù)提出的孔徑FrFT光學(xué)系統(tǒng)，可利用柯林斯衍射積分將其分解成兩個(gè)ABCD光學(xué)系統(tǒng)。即從入射面P1到硬邊光闌P2的衍射積分方程為

(4)

(5)

從透鏡面P2到出射面P3之間的衍射積分方程表示為

2(x1x2+y1y2)}dx1dy1

(6)

(7)

假設(shè)硬邊光闌是個(gè)圓形孔徑，它可以表示為如下函數(shù)形式

(8)

則，式(7)還可以表示為

(9)

因此，根據(jù)式(4)-(9)，可以通過改變距離d和透鏡的焦距fs來實(shí)現(xiàn)孔徑α階FrFT變換。

3 基于孔徑分?jǐn)?shù)梅林變換的光學(xué)圖像加密

3.1 分?jǐn)?shù)梅林變換

分?jǐn)?shù)梅林變換[12](Fractional Mellin Transform，F(xiàn)rMT)可以將初始信息進(jìn)行對(duì)數(shù)坐標(biāo)變換，以此來實(shí)現(xiàn)非線性處理，并且FrMT和FrFT之間還存在著非常密切的聯(lián)系。FrMT的定義可表示為

(10)

式中，f(x，y)為二維函數(shù)，E為恒定常數(shù)，p為FrMT階數(shù)，φ1=p1π/2，且φ2=p2π/2。

由式(10)可知，F(xiàn)rMT其實(shí)就是先對(duì)二維函數(shù)f(x，y)作對(duì)數(shù)-極坐標(biāo)變換，然后再進(jìn)行FrFT變換，即為：M(p1，p2)(u，v)=F(p1，p2)(f(ρ，θ))。對(duì)于對(duì)數(shù)-極坐標(biāo)變換的定義可表示為

(11)

當(dāng)p=0時(shí)，執(zhí)行圖像的對(duì)數(shù)-極坐標(biāo)變換；而當(dāng)p=1時(shí)，執(zhí)行圖像的梅林變換。因此，根據(jù)FrMT和FrFT之間的變換關(guān)系，可以有效地實(shí)現(xiàn)輸入圖像的分?jǐn)?shù)梅林變換。

3.2 基于孔徑分?jǐn)?shù)梅林變換的加密實(shí)現(xiàn)

令f(x，y)為大小256×256的初始圖像，圖像的中心記為圓心，然后將初始圖像進(jìn)行分割，得到數(shù)量為N的環(huán)域子圖像，并將這些子圖像記作為fi(x，y)，其中i=1，2，…，N。因此，f1(x，y)是半徑為r1的圓形子圖像，而fi(x，y)(其中，i>1)是以ri為內(nèi)徑而ri+1為外徑的環(huán)形子圖像。以不同階數(shù)的分?jǐn)?shù)梅林變換對(duì)這N個(gè)環(huán)域子圖像進(jìn)行幅度編碼和相位編碼。調(diào)制過程中，借助計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)迭代加密，其光學(xué)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)過程如圖2所示。

圖2 孔徑FrMT變換的光電混合實(shí)現(xiàn)

首先，對(duì)待加密圖像的環(huán)域子圖像進(jìn)行對(duì)數(shù)-極坐標(biāo)變換，將所得的變換結(jié)果讀入空間光調(diào)制器SLM1，隨后通過透鏡Lens1來實(shí)現(xiàn)環(huán)域子圖像的孔徑分?jǐn)?shù)傅里葉變換，利用圖像傳感器CCD1對(duì)輸出結(jié)果進(jìn)行接收，并將其輸入到計(jì)算機(jī)中。其次，利用光調(diào)制器SLM2對(duì)變換結(jié)果進(jìn)行幅度編碼，利用SLM3來實(shí)現(xiàn)相位編碼。最后，通過透鏡Lens2將頻域轉(zhuǎn)化為空域，利用CCD2進(jìn)行記錄并傳輸?shù)接?jì)算機(jī)中。加密過程中采用了重復(fù)迭代的方法進(jìn)行加密(見圖3)。

圖3 加密過程的迭代方法

圖像的具體迭代加密過程如下：

1)將待加密圖像f(x，y)分解成N個(gè)環(huán)狀子圖像fi(x，y)其中，i=1，2，…，N。接著，對(duì)fi(x，y)進(jìn)行pi階的孔徑FrMT變換，獲得復(fù)值圖像gi(u，v)。

2)對(duì)gi(u，v)進(jìn)行幅度提取，然后將幅度信息轉(zhuǎn)變成分布為[0，2π]相位信息，變換形式如下：

Ai(u，v)=|gi(u，v)|

(12)

(13)

Φi(u，v)=Arg[gi(u，v)]

(14)

式中，|·|為圖像的幅度提取，Arg[·]為圖像的相位提取。

(15)

(16)

式中，Bi(u，v)為得到的幅度，φi(u，v)為得到的相位，F(xiàn)q(·)為q階FrFT。ψi(u，v)是加密系統(tǒng)中的密鑰。

4)對(duì)φi(u，v)進(jìn)行加密處理，引入密鑰θi(u，v)。令θi(u，v)=φi(u，v)-ψi(u，v)，將Φi(u，v)和θi(u，v)共同編碼成相位信息。接著，結(jié)合Bi(u，v)進(jìn)行分?jǐn)?shù)傅里葉變換獲得Ci(u，v)

Ci(u，v)exp[iξi(u，v)

=Fq(Bi(u，v)exp[i[θi(u，v)+Φi(u，v)]])

(17)

5)執(zhí)行重復(fù)迭代，用Ci(u，v)替代Ci-1(u，v)，ξi(u，v)替代ξi-1(u，v)，進(jìn)行下一次迭代，直到N-1次時(shí)停止，最后得到了密文C(u，v)=CN(u，v)exp[iξN(u，v)]。另外，密文圖像的解密是上述方法的逆向過程。

圖3 加密過程的迭代方法

4 所提光學(xué)圖像加密算法

為了提高孔徑梅林變換的加密安全性，將Tent映射[13]融入到圖像的迭代加密過程中，以增強(qiáng)密文的安全性和密鑰的隨機(jī)性。本文算法的加解密過程如圖4所示。

圖4 本文算法的加密和解密過程

具體過程如下：

1)對(duì)初始圖像f(x，y)進(jìn)行對(duì)數(shù)-極坐標(biāo)變換，接著將變換結(jié)果圖像分解成數(shù)量為N的環(huán)域子圖像fi(x′，y′)，其中i=1，2，…N，1≤x′≤nr，1≤y′≤nw，這些圖像的內(nèi)外半徑分別為ri-1、ri。

2)引入一個(gè)圓形孔徑(半徑大小為a)的硬邊光闌，構(gòu)建孔徑分?jǐn)?shù)梅林變換模型，然后對(duì)這些子圖像采用不同的階數(shù)進(jìn)行變換

Fi(u，v)=Ta{fi(x′，y′)}，i=1，2，…，N

(18)

式中，Ta{·}表示孔徑分?jǐn)?shù)傅里葉變換。變換過程中，孔徑半徑a，分?jǐn)?shù)傅里葉的階數(shù)pi，外環(huán)半徑ri和波長λ均可作為本加密過程中的密鑰。

3)根據(jù)重復(fù)迭代方法，利用光調(diào)制器分別對(duì)變換結(jié)果進(jìn)行幅度編碼和相位編碼。隨后，聯(lián)合編碼結(jié)果進(jìn)行分?jǐn)?shù)傅里葉變換，獲得中間結(jié)果C′(u，v)：

C′(u，v)=CNexp[iξN(u，v)]

(19)

式中，CN(u，v)為N次迭代后得到的幅度，ξN(u，v)為N次迭代后得到的相位。迭代編碼過程中，相位信息θi(u，v)和ψi(u，v)均可作為加密密鑰。

4)引入Tent映射來產(chǎn)生一個(gè)輔助隨機(jī)函數(shù)g(x，y)(其中，1≤x≤255，1≤y≤255)，將g(x，y)重復(fù)執(zhí)行上述1)-3)步驟，得到w(u，v)。提取w(u，v)中的相位信息，并將其融入到θi(u，v)和ψi(u，v)中來增強(qiáng)密鑰的隨機(jī)性。

τ(u，v)=Arg[w(u，v)]

(20)

(21)

(22)

式中，Arg[·]為相位提取操作。

5)提取C′(u，v)中的幅度信息和相位信息，并使用Tent映射對(duì)提取的幅度信息執(zhí)行異或操作，最終獲得密文圖像C。

CA(u，v)=|C′(u，v)|

(23)

P(u，v)=Arg[C′(u，v)]

(24)

C=CA(u，v)⊕CTent

(25)

式中，| |幅度提取操作。⊕為異或操作，CTent為Tent映射產(chǎn)生的大小為nr×nw的隨機(jī)矩陣。本算法的解密過程為其逆流程，并且提取的相位P(u，v)將被用于對(duì)密文圖像的解密。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本光學(xué)圖像加密方法的有效性與安全性，Windows 7操作系統(tǒng)和MATLAB 2017a下進(jìn)行了相關(guān)的性能測(cè)試，計(jì)算機(jī)處理器CPU主頻為3.60 GHz，內(nèi)存RAM 4GB。仿真過程中，選取了加密安全性較好的算法作為實(shí)驗(yàn)的對(duì)照組：文獻(xiàn)[13]與文獻(xiàn)[14]。文獻(xiàn)[13]利用相干疊加和模均等矢量分解的方法，利用混沌序列和Fourier 變換混亂的相干性疊加完成加密。文獻(xiàn)[14]采用了一種在傅里葉域中進(jìn)行向量計(jì)算的高效光學(xué)加密方法，將變換后的合成矢量導(dǎo)入到雙隨機(jī)相位系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)加密。

本文測(cè)試的圖像大小為256×256。經(jīng)反復(fù)測(cè)試，選取的參數(shù)為：環(huán)域子圖像個(gè)數(shù)N=6；子圖像外半徑分別為：r1=35，r2=75，r3=110，r4=135，r5=160，r6=185；nr=500，nw=500；孔徑FrMT參數(shù)：波長λ=632.8mm，焦距fs=4mm，孔徑半徑a=3.5，F(xiàn)rMT和FrFT的階次p、q均為0.5。

5.1 光學(xué)圖像加密效果

利用本算法、文獻(xiàn)[13]及文獻(xiàn)[14]對(duì)明文圖像進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試，加密效果見圖5。由密文測(cè)試結(jié)果可知，所選用的三種加密方法均取得了較好的明文隱藏效果，很難從密文圖像中找出明文的信息，明文信息被有效地覆蓋。為進(jìn)一步評(píng)估三種算法所得密文圖像的混亂程度，本文利用信息熵值[15]進(jìn)行量化評(píng)估。表1為不同光學(xué)加密算法的信息熵值測(cè)試結(jié)果。由結(jié)果可知，本文的密文熵值約為7.9993，文獻(xiàn)[13]的密文熵值約為7.9960，文獻(xiàn)[14]的密文熵值約為7.9945。因此，相比于其它兩種算法，本文算法的熵值更高，更接近于理論值8，說明了本文算法獲得的密文圖像信息更為混亂，其安全性能要相對(duì)更好。其主要原因?yàn)楸舅惴ㄔ诜謹(jǐn)?shù)梅林變換的非線性混亂的同時(shí)，融入了Tent映射對(duì)密鑰信息和變換結(jié)果信息施加了進(jìn)一步的置亂操作，使得密文信息的混亂程度增強(qiáng)。而文獻(xiàn)[13]和[14]只單純對(duì)相位掩摸進(jìn)行混亂，其混亂效果相對(duì)欠佳。

圖5 三種光學(xué)加密算法的密文效果

表1 信息熵值的測(cè)試結(jié)果

5.2 密鑰敏感性分析

密鑰敏感性強(qiáng)的加密算法在密鑰發(fā)生微小的改變時(shí)，很難解密出圖像的初始信息，滿足所謂的“雪崩效應(yīng)”[17]，因此，好的密鑰敏感性的加密算法能夠提高密文的安全性。本文在保持其它密鑰不變的情況下，對(duì)混沌變量μ=3.51的敏感性進(jìn)行了測(cè)試。將u產(chǎn)生偏差△t=10-15，得到新密鑰u=3.51×10-15，然后將其用于解密。解密的效果見圖6，由圖可知，在μ產(chǎn)生偏差時(shí)，非授權(quán)用戶不能解密出圖像信息?？梢姡词姑荑€發(fā)生非常小的變化時(shí)，黑客也不能正確地完成解密過程，說明了本算法符合“雪崩效應(yīng)”，具備較強(qiáng)的密鑰敏感性能。

圖6 本文算法的密鑰敏感性測(cè)試

5.3 相鄰像素間的相關(guān)性分析

由于圖像的相鄰像素間存在著非常強(qiáng)的相關(guān)性， 這就導(dǎo)致了攻擊者能夠借助數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)對(duì)密文實(shí)施非法攻擊，從而分析出圖像的真實(shí)內(nèi)容信息[16]。因此，有效的加密算法能夠消減這種對(duì)密文不利的相關(guān)性， 使得相關(guān)性系數(shù)盡可能地接近于零，這樣才能保證不容易受到攻擊[16]。相關(guān)性系數(shù)Rxy的計(jì)算為

(26)

式中，N為選取的相鄰像素總數(shù)。

本文分別從明文和密文圖像中選擇了300對(duì)像素點(diǎn)來對(duì)三種算法進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試結(jié)果見圖7和表2。從圖7可知，所提算法的密文圖像在水平方向上的像素分布更為均勻，而明文圖像的相鄰像素間的Rxy值較高，其分布近似于對(duì)角線分布；從表2中的數(shù)據(jù)可知，本文算法密文在三個(gè)方向的Rxy值要略小于其它兩種算法，相關(guān)性系數(shù)要更接近于0。因此，通過對(duì)比數(shù)據(jù)分析，可以充分說明本文算法具有更好的抗統(tǒng)計(jì)攻擊性能。原因是本文加密算法在對(duì)數(shù)-極坐標(biāo)的變換下，充分混亂了像素的位置，使相鄰像素間的相關(guān)性大幅度減小，而分?jǐn)?shù)傅里葉變換不具備這一特性。

圖7 密文的相關(guān)性測(cè)試(水平方向上)

表2 不同算法的相鄰像素間相關(guān)性效果

5.4 抗攻擊分析

5.4.1 剪切攻擊測(cè)試

本文通過對(duì)密文圖像進(jìn)行剪切1/4來測(cè)試本文算法的抗剪切攻擊性能。剪切測(cè)試結(jié)果如圖8所示。圖8中的(a)、(c)、(e)均為剪切1/4的三種密文圖像，圖8(b)、(d)、(f)分別為做剪切處理后再實(shí)施解密的測(cè)試效果?？梢杂^測(cè)到，經(jīng)剪切攻擊后，本加密算法得到的圖像信息幾乎沒有丟失，同樣可以解密出相似度較高的圖像。而文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[14]這兩算法解密效果相對(duì)要差很多，雖然解密出了明文，但是獲得的圖像信息存在嚴(yán)重的丟失現(xiàn)象，未能將明文信息完全解密出來。因此，說明了本文算法具有較好的抗剪切攻擊性能。

圖8 剪切測(cè)試結(jié)果

5.4.2 噪聲攻擊測(cè)試

噪聲干擾在很大程度上會(huì)影響圖像的解密效果[17]。為測(cè)試本文算法在抵抗噪聲攻擊方面的穩(wěn)健性，將其在不同高斯噪聲強(qiáng)度條件下進(jìn)行驗(yàn)證。圖像的噪聲干擾表達(dá)式如下

C′=C+KG

(27)

式中，C為初始圖像，C′為噪聲干擾圖像；K為噪聲強(qiáng)度系數(shù)；G為使用的高斯噪聲。

圖10為三種不同算法的抗噪聲攻擊性能對(duì)比測(cè)試，從結(jié)果中可以看出，三種算法進(jìn)行解密獲得的MSE值與K成正比關(guān)系，即MSE值隨著K的增大而增大，而且均表現(xiàn)出優(yōu)良的抗噪聲攻擊性能。當(dāng)k=1時(shí)，三種算法的MSE分別為981，875，647，因此本算法的MSE值相比于其它兩種算法要更低。這表明了本文加密技術(shù)的抵抗噪聲攻擊能力更強(qiáng)。

圖9 抗噪聲攻擊性能對(duì)比測(cè)試

5.4.3 已知明文攻擊測(cè)試

破譯者可以對(duì)部分明文或相應(yīng)的密文實(shí)施攻擊來獲取加密信息，以此達(dá)到明文攻擊的目的[18]。對(duì)此，本文假設(shè)破譯者獲得了本文的初始圖像信息和密文信息，并采用相位恢復(fù)的手段實(shí)施攻擊。攻擊結(jié)果如圖10所示。圖(a)為破譯者劫取的明文圖像，圖(b)為破譯者獲取的密文圖像，圖(c)為經(jīng)本加密算法加密后的Baboon密文圖像，圖(d)為破譯者利用相位恢復(fù)算法對(duì)圖(c)實(shí)施攻擊后的輸出結(jié)果。由圖(d)可知，雖然破譯者獲得了明文信息和密文信息，但是卻無法解密出密文圖像(c)，說明了本加密算法具有非常好的抗明文攻擊性能。

圖10 明文攻擊結(jié)果

綜上可知，本文算加密法具有非常好的抗攻擊性能，能夠抵御各種不良因素的攻擊。原因是因?yàn)榭諒紽rMT變換擁有較好的非線性特性，孔徑大小的正確調(diào)節(jié)決定了輸入圖像的頻率截?cái)啵⑶彝ㄟ^重復(fù)迭代加密，使幅度信息和相位信息產(chǎn)生了嚴(yán)密的關(guān)聯(lián)。通過融入隨機(jī)相位，使密鑰具備更強(qiáng)的隨機(jī)性，這就導(dǎo)致非法攻擊者很難利用不正當(dāng)手段盜竊明文信息，相比與傅里葉變換的線性關(guān)系，本算法的抗攻擊性能更強(qiáng)。

6 結(jié)論

為解決當(dāng)前的光學(xué)圖像加密方法容易遭受各類攻擊的潛在安全問題。本文設(shè)計(jì)了基于Tent映射和孔徑分?jǐn)?shù)梅林變換的光學(xué)圖像加密算法。通過孔徑分?jǐn)?shù)梅林變換對(duì)初始圖像實(shí)施對(duì)數(shù)-極坐標(biāo)變換，利用重復(fù)迭代對(duì)幅度信息和相位信息進(jìn)行編碼，增強(qiáng)了圖像的非線性特性和密鑰的隨機(jī)性。同時(shí)，采用Tent映射進(jìn)行混亂操作，進(jìn)一步增強(qiáng)了圖像的混亂程度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，本文算法具備更好的魯棒性和穩(wěn)定性，能夠有效地抵抗各類非法攻擊。