陳建明，焦 爽，陳光輝

(1. 華北水利水電大學(xué)電力學(xué)院，河南 鄭州 450046；2. 重慶大學(xué)微電子與通信工程學(xué)院，重慶 400044)

1 引言

僅發(fā)射分集的多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output， MIMO)雷達(dá)采用多個(gè)天線發(fā)送波形并接收來(lái)自多個(gè)目標(biāo)的反射信號(hào)[1]，在反隱身、反電子對(duì)抗與干擾等方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。為了先敵發(fā)現(xiàn)和先敵出擊，保證自身生存能力，良好的到達(dá)方向 (Direction of Arrival，DOA) 估計(jì)性能成為MIMO雷達(dá)探測(cè)目標(biāo)信息的重要一環(huán)[2]。DOA估計(jì)方法可以分為：傳統(tǒng)方法、子空間分解方法和壓縮感知方法[3]。其中子空間分解方法中的多重信號(hào)分類(Multiple Signal Classification， MUSIC) 算法因其具有較高的DOA估計(jì)精度而被廣泛的應(yīng)用。

MUSIC算法將傳感器陣列接收信源的線性空間分解為信號(hào)和噪聲子空間，利用信號(hào)和噪聲子空間之間的正交關(guān)系，掃描維度較低的噪聲子空間，得到一個(gè)空間譜，其中空間譜譜峰所對(duì)應(yīng)的角度即為信源的DOA。目前，MUSIC算法廣泛應(yīng)用在無(wú)線通信、導(dǎo)航、天文檢測(cè)等眾多領(lǐng)域[4]，具有高精度、高分辨率的優(yōu)點(diǎn)，但卻具有特征值分解計(jì)算量大，在低信噪比下DOA估計(jì)精度嚴(yán)重降低等缺點(diǎn)[6]。

文獻(xiàn)[7]指出，一維MUSIC算法花費(fèi)在估計(jì)協(xié)方差矩陣的時(shí)間占總時(shí)間21%，特征值分解占總時(shí)間61%，一維譜峰搜索占總時(shí)間18%，由此可見(jiàn)，MUSIC算法中特征值分解的計(jì)算量較大，占用計(jì)算總時(shí)間最多。為解決該問(wèn)題，1995年，Marcos等提出了傳播算子方法和正交傳播算子方法[8]。這類算法引入線性運(yùn)算代替協(xié)方差矩陣的特征值分解，有效的降低了算法的計(jì)算復(fù)雜度。但如何在低信噪比下有效的提高DOA估計(jì)精度依舊是當(dāng)前的研究重點(diǎn)。因此，本文基于線性運(yùn)算以及空間譜函數(shù)在DOA處是斷點(diǎn)且趨近于較大值，而求導(dǎo)可以使斷點(diǎn)處的峰值更加明顯的物理性質(zhì)提出一種改進(jìn)的MUSIC算法。此方法不但有效的降低了計(jì)算復(fù)雜度，而且也有效的提高了在低SNR下DOA的估計(jì)精度。

2 僅發(fā)射分集雙基地MIMO雷達(dá)信道模型

如圖1所示的雙基地MIMO雷達(dá)信道模型中， 目標(biāo)數(shù)為K，發(fā)射陣列和接收陣列的陣元間距、陣元個(gè)數(shù)、方向矩陣分別為dt、Mt、At(θ)和dr、Mr、Ar(θ)。其中At(θ)和Ar(θ)被定義為

(1)

(2)

其中

(3)

(4)

其中，λc=c/fc為中心頻率為fc的窄帶信號(hào)的波長(zhǎng)，c為信源傳播速度。

圖1 雙基地MIMO雷達(dá)信道模型

假設(shè)目標(biāo)是由多個(gè)分布在一維區(qū)域的小散射體組成，并采用僅發(fā)射分集的MIMO雷達(dá)模型進(jìn)行考慮，因此，目標(biāo)具有K個(gè)獨(dú)立的各向同性散射體，每個(gè)散射體被建模為零均值、單位方差、獨(dú)立同分布的圓對(duì)稱復(fù)高斯隨機(jī)變量[9]。因此，目標(biāo)的反射可以表示為對(duì)角陣，即

(5)

其中，第mth個(gè)發(fā)射元發(fā)射的信號(hào)時(shí)獨(dú)立散射體的響應(yīng)向量為

(6)

(7)

Ht=[g1，g2，…，gm，…，gMt]∈CK×Mt

(8)

Hr=[k1，k2，…，ki，…，kK]∈CMr×K

(9)

則MIMO雷達(dá)信道統(tǒng)計(jì)矩陣為

H=HrλHt∈CMr×Mt

(10)

要使不同發(fā)射天線陣元發(fā)出的信號(hào)從不同方向照射到目標(biāo)，則發(fā)射方向矩陣的列向量應(yīng)滿足正交條件[10]，即

〈gm，gl〉=0，m≠l，m，l=1，…，Mt

(11)

由式(11)可知，任意兩個(gè)不等的gm均滿足正交關(guān)系，為了降低模型的復(fù)雜性，將其簡(jiǎn)單的考慮為相鄰發(fā)射單元引入的響應(yīng)向量之間的正交性[11]，即

〈gm，gm+1〉=0，m=1，…，Mt

(12)

假設(shè)目標(biāo)散射體是平行于發(fā)射陣列和接收陣列的均勻陣列，則第mth個(gè)發(fā)射元發(fā)射時(shí)散射體的響應(yīng)向量被表示為

(13)

(14)

N→∞，化簡(jiǎn)得

(15)

其中，rt為發(fā)射陣列與目標(biāo)的距離。假設(shè)接收陣列為dr=λc/2的均勻線性陣列且無(wú)法分辨目標(biāo)散射體的回波信號(hào)，接收方向矩陣可以表示為

(16)

Hr=ar(θr)αT

(17)

式(17)為雙基地MIMO雷達(dá)接收陣元無(wú)角度擴(kuò)展的極端情況[11]。由此可得出如圖2所示的僅發(fā)射分集雙基地MIMO雷達(dá)信道模型。其中接收信號(hào)向量可表示為

y(n)=Hrs(n)+v(n)

(18)

其中，s(n)為窄帶發(fā)射信號(hào)，v(n)為噪聲向量。

圖2 僅發(fā)射分集的MIMO雷達(dá)信道模型

3 改進(jìn)的MUSIC算法原理

在加性高斯白噪聲下，僅發(fā)射分集的MIMO雷達(dá)接收陣列的空間協(xié)方差矩陣可以表示為

(19)

其中，矩陣P的第(m，l)個(gè)元素為

(20)

其中，Rss為發(fā)射信號(hào)s(n)的協(xié)方差矩陣，即

Rss=E{s(n)sH(n)}

(21)

假設(shè)發(fā)射器信號(hào)為正交信號(hào)，則Rss可表示為

(22)

假設(shè)目標(biāo)衰落滿足獨(dú)立條件，即

(23)

(24)

易證

(25)

(26)

將式(26)帶入式(19)，可得接收陣列的協(xié)方差矩陣為

(27)

改進(jìn)的MUSIC算法引入線性運(yùn)算代替矩陣的特征值分解，降低計(jì)算量，得到空間譜。最后對(duì)空間譜函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)。具體原理如下：

由于信源統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，可以定義一個(gè)傳播算子矩陣P把協(xié)方差矩陣Ryy線性分割為[12-14]

(28)

其中R1是K×Mr維，R2是(Mr-K)×Mr維，R1和R2滿足下式

R2=PHR1

(29)

考慮噪聲影響，一般求

ξ(P)=‖R2-PHR1‖F(xiàn)

(30)

的極小值，得到P的估計(jì)值，其中‖·‖F(xiàn)表示F-范數(shù)[12]。而可表示為

=(R1RH1)-1R1RH2

(31)

(32)

(33)

由此可得

Q0A=0

(34)

由式(34)定義新的空間譜

(35)

定義PMUSIC(θ)的一階導(dǎo)數(shù)d(θ)為

(36)

為方便計(jì)算，將步長(zhǎng)Δθ取較小的值，用Φ(θ)代替d(θ)，則Φ(θ)為

(37)

假設(shè)θ0為譜峰函數(shù)的峰值點(diǎn)，也即是信源的DOA。則PMUSIC(θ0)趨近較大值，PMUSIC(θ0+Δθ)和PMUSIC(θ0-Δθ)遠(yuǎn)小于PMUSIC(θ0)，因此Φ(θ0-Δθ)趨近于正較大值，Φ(θ0)趨近于負(fù)較大值。其中Φ(θ0-Δθ)與Φ(θ0)的具體表達(dá)式為

(38)

(39)

因此，可以根據(jù)Φ(θ)函數(shù)是否先正較大值突變，后負(fù)較大值突變判斷信源的DOA。同理，如果PMUSIC(θ)函數(shù)在極小值處也是突變函數(shù)，可以根據(jù)先負(fù)較大值，后正較大值突變來(lái)判斷極小值點(diǎn)。但由PMUSIC(θ)函數(shù)的物理含義(掃描向量a(θ)到噪聲子空間的歐幾里德距離的倒數(shù))和式(34)可知，PMUSIC(θ)只會(huì)在信源的DOA上產(chǎn)生斷點(diǎn)。因此，可以根據(jù)Φ(θ)函數(shù)突變來(lái)判斷信源的DOA：Φ(θ) 函數(shù)若有先極大值后極小值的突變，則處于極大值與極小值之間的零點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的角度即為信源的DOA。

設(shè)θ1、θ2分別是兩個(gè)信源的DOA，理論分析改進(jìn)的MUSIC算法是否提高了DOA的估計(jì)精度。定義MUSIC算法的估計(jì)精度為

(40)

改進(jìn)的MUSIC算法的估計(jì)精度為

(41)

把式(37)帶入式(41)得

(42)

由式(42)可知，改進(jìn)的MUSIC算法的估計(jì)精度近似于MUSIC算法估計(jì)精度的導(dǎo)數(shù)，且由空間譜函數(shù)的物理性質(zhì)以及式(34)和式(37)可知，改進(jìn)的MUSIC算減小了信源在DOA處的空間相關(guān)性，使斷點(diǎn)處的譜峰更加明顯，提高了DOA的估計(jì)精度。

4 改進(jìn)的MUSIC算法

1)根據(jù)僅發(fā)射分集雙基地MIMO雷達(dá)信道模型和式(27)計(jì)算協(xié)方差矩陣Ryy；

2)根據(jù)式(28)將Ryy線性分割；

3)根據(jù)式(29)求傳播算子矩陣P，然后根據(jù)式(31)計(jì)算傳播算子矩陣P的近似值；

4)根據(jù)式(32)和式(33)求矩陣Q0；

5)根據(jù)式(35)定義空間譜函數(shù)PMUSIC(θ)；

6)根據(jù)式(37) 定義PMUSIC(θ)的近似一階導(dǎo)數(shù)Φ(θ)，其中Φ(θ)函數(shù)的突變處即為信源的DOA。

5 仿真分析

5.1 信源角度差仿真分析

陣元個(gè)數(shù)Mr=10；陣元間距dr=λc/2；采樣快拍數(shù)L=100；信噪比SNR=5dB，步長(zhǎng)Δθ=0.01，噪聲為高斯白噪聲，目標(biāo)信源是2個(gè)非相關(guān)的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，DOA分別是(20°，21°)、(30°，33°)和(40°，45°)，信源角度差分別為1°、3°、5°。分別用MUSIC算法和改進(jìn)的MUSIC算法對(duì)其進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 不同角度差下的MUSIC算法仿真結(jié)果圖

圖4 不同角度差下本文的算法仿真結(jié)果圖

由圖3可知，MUSIC算法在角度差等于1°和3°時(shí)完全失效，只能估計(jì)出一個(gè)目標(biāo)信源的DOA，在角度差等于5°時(shí)，可以估計(jì)出兩個(gè)目標(biāo)信源的DOA，但譜峰不明顯。由圖4知，相同的條件下，當(dāng)角度差為1°時(shí)，改進(jìn)的MUSIC算法也只能檢測(cè)出一個(gè)譜峰，但對(duì)于角度差為3°和5°時(shí)，可以有效的檢測(cè)出2個(gè)譜峰，且譜峰明顯。原因是當(dāng)信源DOA相距較近時(shí)，信源的空間性較強(qiáng)，而改進(jìn)的MUSIC算法在MUSIC算法的基礎(chǔ)上先進(jìn)性線性運(yùn)算，后對(duì)譜峰求一階導(dǎo)數(shù)，減小了信源在DOA處的相關(guān)性，提高了DOA的估計(jì)精度。所以，與MUSIC算法相比，改進(jìn)的MUSIC算法可以有效的提高了僅發(fā)射分集MIMO雷達(dá)的DOA估計(jì)精度。

5.2 信噪比分析

定義DOA的估計(jì)均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)為：

(43)

其中，N為Monte Carlo實(shí)驗(yàn)次數(shù)，K為目標(biāo)信號(hào)源的個(gè)數(shù)，θi，j為第j次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)中βi，j的估計(jì)值。仿真了RMSE隨SNR變化的性能，SNR變化的范圍為-10dB到10dB，步進(jìn)為2dB，采樣快拍數(shù)L=1024。仿真結(jié)果如圖5、圖6所示。

圖5 4種算法的RMSE隨SNR變化曲線圖

圖6 4種算法的RMSE隨SNR變化曲線圖

由圖5可知，隨著SNR的增加，算法的估計(jì)精度也增加，RMSE逐漸減小，最后趨近于0。在信源角度差等于10°時(shí)，相同條件下，改進(jìn)的MUSIC算法的RMSE值小于圖中幾種典型的MUSIC改進(jìn)算法，并在低信噪比時(shí)更加明顯。由圖6可知，與文獻(xiàn)[15]的MWFB-MUSIC算法、文獻(xiàn)[16]的IAFSA-MUSIC算法和文獻(xiàn)[17]的ITMUSIC算法相比，改進(jìn)的MUSIC算法在低信噪比下RMSE值更低。因?yàn)樵诘托旁胂?，信?hào)的空間相關(guān)性強(qiáng)；在高信噪比時(shí)，信號(hào)空間相關(guān)性弱，而本文算法引入線性運(yùn)算代替特征值分解，并通過(guò)對(duì)空間譜函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個(gè)新的空間譜函數(shù)，有效的降低了DOA處的空間相關(guān)性，提高了僅發(fā)射分集MIMO雷達(dá)的DOA估計(jì)精度。

5.3 復(fù)雜度分析

MUSIC 算法的計(jì)算量主要包括構(gòu)造Mr×Mr維的協(xié)方差矩陣，協(xié)方差矩陣特征值分解和一維譜峰搜索。而改進(jìn)的MUSIC算法的計(jì)算量主要包括構(gòu)造Mr×Mr維的協(xié)方差矩陣，協(xié)方差矩陣線性處理和一維譜峰搜索。具體的計(jì)算量如表1和表2所示。其中Mr為陣元數(shù)，K為目標(biāo)信源個(gè)數(shù)，L為采樣快拍數(shù)，Δθ為角度掃描間隔。

表1 MUSIC算法的計(jì)算量分析表

表2 改進(jìn)的MUSIC算法的計(jì)算量分析表

對(duì)比表1和表2知，K、L和Δθ一定，MUSIC算法的計(jì)算量大約是改進(jìn)的MUSIC算法M倍。因?yàn)楦倪M(jìn)的MUSIC算法引入線性運(yùn)算代替特征值分解，降低了計(jì)算量；Mr、K和Δθ一定，MUSIC算法和改進(jìn)的MUSIC算法的計(jì)算量都隨L線性增加，但因?yàn)镵

6 結(jié)論

本文基于線性運(yùn)算、空間譜函數(shù)的物理性質(zhì)，提出了一種改進(jìn)的MUSIC算法。其可以有效的提高低SNR下僅發(fā)射分集的MIMO雷達(dá)DOA的估計(jì)精度。同時(shí)，該算法也可以有效的降低了計(jì)算量。