王偉民 辛存良

（1.安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學校，安徽 阜陽 236652；2.山東省陽谷縣西湖中學，山東 聊城 252311）

從一道幾何光學題目說起：

例1.如圖1所示，平面鏡OM與ON的夾角為θ，一條平行于平面鏡ON的光線AB經(jīng)過兩個平面鏡的多次反射后，能夠沿著原來的光路返回，則兩面鏡子之間的夾角θ不可能是

圖1

（A）30°. （B）20°. （C）10°. （D）1°.

分析：如圖2所示，我們作出光線經(jīng)兩個平面鏡多次反射的光路圖——圖2中作出了3次反射的情形，看下可否通過這3次反射相關線條之間的角度關系，來總結從開始到最終每次反射后反射光線與平面鏡夾角的變化規(guī)律.由于圖2中兩平面鏡的夾角比較大（作圖時兩個平面鏡間的夾角設置很小時，兩平面鏡之間的區(qū)域較為狹窄，作多次反射的光路圖不方便），所以，光線在兩個平面鏡內(nèi)經(jīng)過為數(shù)不多的幾次反射后，最后可視為射線的反射光線可能就不再與平面鏡相交了.當然，如果兩個平面鏡的夾角足夠小，開始的入射光線與平面鏡的夾角也足夠小，那么，當入射光線射向其中的一個平面鏡時，理論上我們可以作出任意多次數(shù)反射的光路圖.

圖2

由光的反射定律“反射角等于入射角”可知，每次反射時，反射光線和對應的入射光線與鏡面的夾角相等，結合“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和”這一規(guī)律（三角形內(nèi)角和定理的推論）可知，圖2中，光線第1次沿平行于平面鏡ON的方向射向平面鏡上的B點發(fā)生反射時，反射光線BC與鏡面OM的夾角為θ，接下來，光線BC射向平面鏡ON并發(fā)生第2次反射時，對應的反射光線CD與平面鏡ON的夾角為2θ，再次射向平面鏡OM上的D點發(fā)生第3次反射時，反射光線DE與平面鏡OM的夾角為3θ，……，根據(jù)這一變化規(guī)律將問題推廣至一般情形，便可總結出下面的結論——在對應反射光線與入射點右側平面鏡的夾角不大于直角時，從第一次反射算起，光線發(fā)生第n次反射時，反射光線與過對應入射點的平面鏡的夾角為nθ.

解析：要使平行于平面鏡ON的光線AB經(jīng)過兩個平面鏡的多次反射后，能夠沿著原來的光路返回，從開始入射考慮，隨著反射次數(shù)遞增，對應反射光線與平面鏡夾角逐漸增大的過程中，必須滿足某次入射光線是沿著垂直于平面鏡方向入射，這次反射對應的反射光線與平面鏡的夾角為90°.不妨設這次反射是第n次反射，由上述分析可知nθ=90°，因為n是正整數(shù)，所以，兩平面鏡夾角θ必須為90的因數(shù)，而例1給出的4個選項對應的度數(shù)，（A）、（C）、（D）選項對應的角度，都能夠去整除90°，都滿足要求，只有（B）選項對應的度數(shù)20°不能整除90°，所以，本題的正確選項是（B）.

對例1而言，入射光線沿平行于一個平面鏡的方向射入，經(jīng)過兩個平面鏡多次反射后，最終的反射光線是沿原路返回的，不用說這條反射光線是沿著平行于其中一個平面鏡的方向射出，我們不禁要問，入射光線平行于平面鏡，最終的反射光線也平行于其中一個平面鏡的“特殊”光學現(xiàn)象，只有光線沿原路返回這唯一的情形嗎？

例2.兩個相交平面鏡鏡面相對，夾角為θ，在兩鏡面之間垂直于兩鏡面的平面內(nèi)，一條光線沿著與某平面鏡平行的方向射向另一個平面鏡，經(jīng)過兩個平面鏡多次反射后，最終恰好沿著與一個平面鏡平行的方向射出，若θ的度數(shù)為整數(shù)，則滿足條件的θ的個數(shù)為

（A）12. （B）14. （C）16. （D）18.

分析：能夠發(fā)現(xiàn)，例1給出的物理情形滿足例2所給問題的要求——光線沿平行于一個平面鏡的方向入射，經(jīng)過兩個平面鏡多次反射之后沿原路返回，最終的反射光線一定平行于其中的一個平面鏡，但是這一情形并非滿足例2所給問題的所有情形.還有一種情形是光線經(jīng)過兩個平面鏡多次反射之后，最終的反射光線不沿原路返回但卻仍然與其中一個平面鏡平行的情況.如圖3所示，光線AB沿平行于平面鏡ON的方向射向平面鏡OM上的B點，由例1所給問題的分析可知，從剛開始入射算起隨著反射次數(shù)的遞增，反射光線與平面鏡所夾的銳角也依次遞增，圖3所示情形中，如果兩個平面鏡上連續(xù)兩次反射的入射點到O點的距離恰好相等，不妨設這相鄰兩次反射的入射點分別為E和F（即圖3中OE=OF），則有∠OEF=∠OFE，由于對稱，光線EF射向平面鏡OM發(fā)生反射，之后經(jīng)兩個平面鏡多次反射的光路圖跟之前光沿A-B-C-D-E路徑的光路圖關于∠MON的平分線對稱，因此，最終的反射光線必然沿平行于平面鏡ON的方向射出（圖3中未畫出與入射光線EF對應的后續(xù)多次反射的光路圖）.

圖3

解析：最終的反射光線沿原路返回時，光線在兩個平面鏡之間反射次數(shù)n與兩個平面鏡的夾角θ滿足等式nθ=90°，所以，θ的度數(shù)應該是90的約數(shù)，而90的約數(shù)有12個，所以，對應的角θ的度數(shù)也有12個，分別是1°，2°，3°，5°，6°，9°，10°，15°，18°，30°，45°，90°.

當最終的反射光線不是沿原路返回但又平行于其中的一個平面鏡時，對應光路圖的前半部分如圖3所示，完整光路圖如圖4所示.圖4中，設OE=OF，并設反射角∠OEF=nθ，則∠MFE=nθ，故有180°-nθ=nθ，所以180°=（2n+1）θ，2n+1為奇數(shù)，θ度數(shù)為整數(shù)，而180的奇數(shù)約數(shù)（除1外）有5個，分別是3，5，9，15和45，所以，對應的θ的度數(shù)也為5個，分別是60°，36°，20°，12°，2°，由于2°與光線沿原路返回時得出的角度情形重復了，所以，滿足條件的θ的總數(shù)應為16個，即本題的正確選項為選項（C）.

圖4

對例2給出的問題而言，如果兩個平面鏡的夾角度數(shù)不受“是整數(shù)”這一條件的制約，假如夾角可以是任意度數(shù)的話，那么，入射光線沿平行于一個平面鏡的方向射入，經(jīng)過兩個平面鏡多次反射，最終的反射光線沿平行于其中的一個平面鏡射出對應的兩個平面鏡夾角的度數(shù)，不再是有限的幾個，而是有無數(shù)個.當然，跟例2所給的條件對比，如果兩個平面鏡夾角度數(shù)的限制條件改變，那么，問題的答案也會隨之變化.

例3.兩個相交平面鏡鏡面相對，夾角為θ，在兩鏡面之間垂直于兩鏡面的平面內(nèi)，一條光線沿著與某平面鏡平行的方向射向另一個平面鏡，經(jīng)過兩個平面鏡多次反射后，最終的反射光線恰好沿原路返回，若θ的度數(shù)為0.02°的整數(shù)倍，則滿足條件的θ的個數(shù)為

（A）12. （B）24. （C）36. （D）48.

分析：能夠發(fā)現(xiàn)，與例2相比，例3僅僅是將其中的一個限制條件“若θ的度數(shù)為整數(shù)”更改為“若θ的度數(shù)為0.02°的整數(shù)倍”，其他條件沒有任何的變化，所以，例3的解題思路和方法與例2相同.

解析：當入射光線經(jīng)過兩個平面鏡多次反射之后，最終的反射光線沿原路返回時，由以上分析可知，光線在兩個平面鏡之間總的反射次數(shù)n與兩個平面鏡夾角θ之間的關系式為nθ=90°，因為θ的度數(shù)為0.02°的整數(shù)倍，所以，可設θ=0.02°k（k為正整數(shù)），則有n0.02°k=90°，所以nk=4500，將4500分解質(zhì)因數(shù)得4500=22×32×53，由“因數(shù)個數(shù)定理”可得，4500的因數(shù)的個數(shù)等于分解質(zhì)因數(shù)表達式中各質(zhì)因數(shù)指數(shù)與1的和的乘積，大小為（2+1）（2+1）（3+1）=36，所以，本題的正確選項為（C）.

兩個鏡面相對的相交平面鏡，在垂直于兩個鏡面的平面內(nèi)，光線沿平行于一個鏡面的方向射向另一個平面鏡，經(jīng)過兩個平面鏡的多次反射，如果最終的反射光線是沿原路返回，那么，對兩個平面鏡夾角度數(shù)取值的限制條件不同，滿足反射條件的兩個平面鏡夾角的個數(shù)也不盡相同.根據(jù)不同的限制條件，利用三角形內(nèi)角和定理的推論、因數(shù)個數(shù)定理等數(shù)學知識并結合光的反射定律，可以確定滿足條件的兩個平面鏡夾角度數(shù)的個數(shù).