舒蓮蓮， 朱建青

(蘇州科技大學數(shù)學科學學院， 江蘇 蘇州 215009)

Hilger于1988年提出時間尺度概念. Bohner和Peterson整理并出版了首本時間尺度理論的專著[1]， 以及線性動力學方程[2]， 隨后眾多學者對時間尺度這一領域深入研究[3-6]. 運用時間尺度上的動力學方程， 可以解決許多在實際問題中的建模問題， 如經(jīng)濟學[7]中， 將成本函數(shù)結合時間尺度上的微分方程， 所得結果可最大化提高企業(yè)未來的競爭力. 在醫(yī)學[8]中， 骨重建可表示為Lemaire動力學模型， 簡單的模型有助于觀察到動力學的定性性質(zhì)， 例如沒有超調(diào)和回彈等， 在描述繁雜的數(shù)學科技語言中扮演重要角色.

1935年， 丹麥Nielsen教授得到一類運動微分方程-Nielsen方程[9]. 我國分析力學領域先驅(qū)者梅鳳翔教授提出了Nielsen算子. 在分析力學中， Nielsen方程與Lagrange方程享有同等重要地位. 而在某些情況下， Nielsen方程更方便， 如文獻[10]中表明使用Nielsen方程對電路系統(tǒng)進行建模， 運用到的計算方法比使用Lagrange方程建模更容易， 因此研究Nielsen方程的構造、解或約化等很有意義. 1918年， Noether提出Noether對稱性[11]. 1979年， Lutzky提出Lie對稱性[12]. 2000年， 梅鳳翔教授在此基礎上， 首次提出一種形式不變性[13]， 并稱為Mei對稱性. Mei對稱性導出動力學系統(tǒng)的守恒量推動了分析力學領域的發(fā)展[14-20]. 賈利群等學者利用Mei對稱性尋求Nielsen方程的守恒量進行了詳細研究[21-22]. 2008年，Bartosiewicz和Torres首次將力學系統(tǒng)的Noether對稱性應用于時間尺度上[23]. 隨后， 眾多學者將目光轉(zhuǎn)向此類研究方向[24-27]， 孔楠給出了時間尺度上Lagrange系統(tǒng)Mei對稱性定義和判據(jù)方程， 討論了Mei對稱性導致的多個Mei守恒量[28]. 翟相華研究了時間尺度上Birkhoff與Hamilton力學系統(tǒng)的Mei對稱性與守恒量[29]. 本文運用Mei對稱性尋求時間尺度上Nielsen方程的守恒量， 根據(jù)時間尺度上鏈式法則， 建立單自由度的Nielsen運動微分方程， 給出Nielsen方程的Mei對稱性的定義和判據(jù)， 從而導出守恒量， 文章的結尾處用例子來說明應用.

1 時間尺度上的Nielsen方程

由文獻[30]， 時間尺度上一般完整系統(tǒng)的Lagrange方程是

(1)

為推導簡便， 本文主要將單自由度的Nielsen方程作為研究對象.

(2)

則方程(1)可表示為

(3)

因為Lagrange函數(shù)對t的Δ導數(shù)是

(4)

LΔ對qΔ的偏導數(shù)是

(5)

比較(3)與(5)式， 可得到

(6)

綜上， 得出時間尺度上一般完整系統(tǒng)的Nielsen方程

(7)

2 時間尺度上Nielsen方程的Mei對稱性和判據(jù)

N(L)=Q″.

(8)

時間尺度上的無限小變換

(9)

其中，ε為無限小參數(shù)，ξ0和ξ為無限小變換的生成元.在(9)的變換下， 函數(shù)L(t，qσ，qΔ)和Q″(t，qσ，qΔ)分別變?yōu)長*(t，(qσ)*，(qΔ)*)和Q″(t，(qσ)*，(qΔ)*)．

定義1經(jīng)過(9)式變換后動力學函數(shù)L和Q″分別被L*和Q″*所代替， (8)式的形式未改變， 即

N(L*)=Q″*，

(10)

則這樣的不變性稱為時間尺度上Nielsen方程的Mei對稱性.

展開L*和Q″*， 有

L*=L*(t，(qσ)*，(qΔ)*)=

L(t，qσ，qΔ)+εX(1)(L)+o(ε2)

Q″*=Q″*(t，(qσ)*，(qΔ)*)=

Q″(t，qσ，qΔ)+εX(1)(Q″)+o(ε2)，

(11)

其中，

(12)

將(11)式代入(10)式， 忽略ε2和更高階的小量， 并聯(lián)系 (8)式， 得到

N(X(1)(L))=Q″.

(13)

判據(jù)時間尺度上的Nielsen方程， 如若(9)式變換的無限小生成元ξ0和ξ滿足 (13)式， 則對應的不變性稱為其Mei對稱性， (13)式被定為Mei對稱性相應的判據(jù)方程.

3 時間尺度上Nielsen方程的Mei對稱性與守恒量

定理1如若時間尺度上的Nielsen方程(7)的Mei對稱性相應的生成元ξ0和ξ以及規(guī)范函數(shù)G=G(t，qσ，qΔ)滿足以下條件

GΔ=0，

(14)

則Nielsen方程由Mei對稱性得出的守恒量是

(15)

證明將式(15)兩邊對t求Δ-導數(shù)， 并利用方程(7)和式(14)， 可得

GΔ=0.

(16)

證畢．

推論1當時間尺度T=， 則σ(t)=t，μ(t)=0， 于是由(15)式得出經(jīng)典結構方程

(17)

得到經(jīng)典力學下的Nielsen方程的Mei守恒量[21]

(18)

定理2如若時間尺度上的Nielsen方程(7)的Mei對稱性的規(guī)范函數(shù)G=G(t，qσ，qΔ)和相應的生成元ξ0和ξ滿足以下條件

(19)

則Nielsen方程Mei對稱性得出的守恒量為

(20)

證明將式(20)兩邊對t求Δ-導數(shù)， 并利用方程(7)和式(14)， 可得

qΔX(1)(Q″)+GΔ=0.

(21)

證畢．

推論2當時間尺度T=， 則σ(t)=t，μ(t)=0， 于是由(19)式得出經(jīng)典結構方程

(22)

得到經(jīng)典力學下的Nielsen方程的Mei守恒量

(23)

4 算例

例1在時間尺度T={2m+1：m∈N}上， Langrange函數(shù)為

(24)

分析Nielsen方程的Mei對稱性相對應(15)式的Mei守恒量.

計算得到

(25)

將(24)式代入方程(7)得到：

2tqΔΔ+qΔ=1，

(26)

計算得到

(27)

取

(28)

則

X(1)(L)=-qσ，X(1)[X(1)(L)]=-1，

X(1)(Q″)=1.

(29)

將(28)式代入結構方程(14)中得到

G=t-tqΔ，

(30)

由(15)式可得Nielsen方程的守恒量

I=t-tqΔ.

(31)

例2在時間尺度Τ={3m+1：m∈N∪{0}}上， Langrange函數(shù)為

(32)

分析Nielsen方程的Mei對稱性相對于(20)式的Mei守恒量.

計算得到

(33)

將(31)式代入方程(7)得：

2qΔΔ+1=0，

(34)

計算得到

(35)

取

(36)

則

(37)

將(35)式代入結構方程(19)中得到

G=qσ+2qΔ+t，

(38)

由(20)式可得Nielsen方程的守恒量

I=2qΔ+t.

(39)

5 結束語

時間尺度理論為統(tǒng)一連續(xù)、離散與量子等多樣復雜的系統(tǒng)提供了重要的理論支撐， 為分析力學領域的發(fā)展， 越來越多的科研工作者關注并著手研究這一領域. 時間尺度上Nielsen方程的Mei對稱性與守恒量是文章主要研究的問題， 由鏈式法則推導出時間尺度上Nielsen方程， 再設定Mei對稱性的定義及判據(jù)， 從而得出來兩個Mei守恒量. 當時間尺度退化到實數(shù)域時， 該守恒量可退化到經(jīng)典Nielsen方程的守恒量， 并通過例子說明結果的有效性. 在時間尺度上運用對稱性方法尋找動力學微分方程的守恒量， 是個靈活有效且變通性較強的方法， 未來研究可將本文時間尺度上Mei對稱性的思想方法應用于不同類型的動力學方程.