夏永麒， 鄭 勝， 楊珊珊*， 易 爽

(1.三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院， 湖北 宜昌 443002； 2.三峽數(shù)學(xué)研究中心， 湖北 宜昌 443002；3.三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)是一種普遍存在的幾何結(jié)構(gòu)[1-3]，如血管組織、支氣管樹、植物脈絡(luò)、微電子器件散熱通道等等.此前研究表明，具有類樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的多孔介質(zhì)，其微通道具有統(tǒng)計(jì)自相似的特性，在一定尺度范圍內(nèi)滿足分形分布.現(xiàn)實(shí)生活中多孔介質(zhì)的微通道往往不是光滑規(guī)整的，而是粗糙各異的.由于熱輸運(yùn)性質(zhì)與微觀結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)，對(duì)于樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)，結(jié)合微觀結(jié)構(gòu)來研究粗糙壁面對(duì)于其相關(guān)傳熱物理特性的影響，是很有必要的．

Mandelbrot[4]提出分形理論來表征多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)特性；Xu等[5-6]對(duì)樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)介質(zhì)的熱輸運(yùn)性質(zhì)進(jìn)行了研究，建立了相應(yīng)的分形模型；Wang等[7]提出了嵌套樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的復(fù)合材料有效熱導(dǎo)率的分形模型，分析了分叉網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)于有效熱導(dǎo)率的影響；Li等[8]對(duì)于生物多孔介質(zhì)的熱輸運(yùn)特性進(jìn)行了研究并推導(dǎo)了生物多孔介質(zhì)有效熱導(dǎo)率的分布函數(shù).上述關(guān)于分叉網(wǎng)絡(luò)中熱輸運(yùn)特性的研究為本文所用的分叉網(wǎng)絡(luò)模型奠定了基礎(chǔ)，但未考慮粗糙特性的影響.粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的微結(jié)構(gòu)，在一定程度范圍內(nèi)是滿足分形標(biāo)度律的.Marjumdar和Bhushan[9-10]的關(guān)于分形理論的研究表明，在一定條件下粗糙微通道粗糙元滿足分形標(biāo)度律；Chen等[11]利用分形康托集來描述粗糙微通道中粗糙表面的形貌特征，并使用數(shù)值模擬的方法研究粗糙微通道的傳熱特性；Yang等[12]結(jié)合分形幾何理論得到了微通道中相對(duì)粗糙度與表面結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的無(wú)經(jīng)驗(yàn)常數(shù)的關(guān)系式.因此，根據(jù)以往研究，使用分形理論來研究粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的熱傳輸特性是可行的．

本文依據(jù)分形幾何理論建立了粗糙壁面的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的分形模型，推導(dǎo)得出了介質(zhì)有效熱導(dǎo)率的分布函數(shù)，并對(duì)粗糙特性及樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)于有效熱導(dǎo)率的影響進(jìn)行了分析．

1 粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)模型

1.1 粗糙元的分形模型

根據(jù)Marjumdar和Bhushan[9-10]的關(guān)于分形理論的研究，粗糙微通道中壁面粗糙元的分布在一定條件下，也滿足分形分布.由于粗糙壁面的粗糙元形態(tài)復(fù)雜各異，難以計(jì)算，以往的研究使用了各種不同形狀的模型去模擬粗糙元的形態(tài)[13-14].為了使模型適用于更多的情況，引入一個(gè)幾何因子g來描述不同的粗糙元.g為粗糙元底面積和高的乘積與粗糙元體積的比值，g的取值是可以大于1的，任一形狀粗糙元的體積就可表示為：

V=gSihi.

(1)

本模型假設(shè)粗糙表面的粗糙元是底面直徑為λi，高度為hi的圓錐體，且不同大小的粗糙元的高度直徑比ω=hi/λi是相等的.粗糙元的底面直徑分布滿足分形標(biāo)度律：

N(L≥λ)=(λmax/λ)Df/2.

(2)

(3)

圖1 粗糙微通道等效模型示意圖Fig.1 Sketch map of rough microchannel equivalent model

1.2 粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)分形模型

假設(shè)粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)中，各個(gè)不同的分叉樹結(jié)構(gòu)具有相同的母管長(zhǎng)度、長(zhǎng)度比、直徑比、分叉角度、分叉級(jí)數(shù)及每一級(jí)的分叉?zhèn)€數(shù)，但不同分叉樹的母管直徑不同，且服從分形分布.

根據(jù)分叉網(wǎng)絡(luò)模型，可以計(jì)算引入粗糙元后模型的相關(guān)幾何參數(shù).根據(jù)樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)，單個(gè)光滑壁面樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)單元的總橫截面積[15]為：

(4)

式中，d0為母管的直徑，n為樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)每一級(jí)分叉的分支個(gè)數(shù)，m為樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的分叉級(jí)數(shù)，α=li+1/li為下一級(jí)分支與上一級(jí)的分支管的長(zhǎng)度比，β=di+1/di為下一級(jí)分支與上一級(jí)的分支管的直徑比.因?yàn)榉中渭蠁卧獌?nèi)樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)母管直徑的分布服從分形標(biāo)度律，故根據(jù)單個(gè)樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的總橫截面積可以積分得到所有樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的總橫截面積[8]為：

(5)

同理，所有樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)母管的總橫截面積為：

(6)

設(shè)介質(zhì)橫截面的孔隙率為φs，根據(jù)孔隙率的定義，整個(gè)介質(zhì)橫截面的面積為：

(7)

故該多孔介質(zhì)中樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的面孔隙率為：

(8)

(9)

同時(shí)，等效模型中母管直徑的改變也會(huì)導(dǎo)致橫截面孔隙率和母管直徑分形維數(shù)的變化，如圖1.依據(jù)孔隙率定義，對(duì)于粗糙壁面：

(10)

(11)

故對(duì)于具有粗糙壁面的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)，其所有樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的總橫截面積、所有母管的總橫截面積以及面孔隙率分別為：

(12)

(13)

φ′f=(1-ε)2φf.

(14)

上述式(4)～(14)構(gòu)成了本文粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)分形模型的基礎(chǔ)．

2 粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)有效熱導(dǎo)率

2.1 熱傳導(dǎo)熱導(dǎo)率模型

對(duì)于光滑壁面類分形樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，可以根據(jù)Xu等[6]提出的串、并聯(lián)模型，計(jì)算樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的等效熱阻.根據(jù)傅里葉定律和熱電模擬的方法，單個(gè)光滑表面分形樹狀網(wǎng)絡(luò)的等效熱阻rb[16]可以表示為：

(15)

其中，kf為流體的熱導(dǎo)率，其他參數(shù)與式(4)相同.由式(15)可以看出，一個(gè)樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的等效熱阻實(shí)際上是關(guān)于母管熱阻的等比數(shù)列求和，比例系數(shù)與長(zhǎng)度比、直徑比、每一級(jí)的分叉?zhèn)€數(shù)以及分叉級(jí)數(shù)有關(guān)．

對(duì)于粗糙表面的類分形樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)微通道，需考慮粗糙元等效高度對(duì)于母管直徑的影響，若忽略流體的流動(dòng)因素，則具有粗糙壁面的單級(jí)母管的等效熱阻為：

(16)

又因樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的長(zhǎng)度比α、直徑比β未發(fā)生變化(長(zhǎng)度未改變，直徑改變但易證明直徑比不變)，同時(shí)分叉結(jié)構(gòu)也未發(fā)生變化(m、n、θ未改變)，故母管的長(zhǎng)為l0，直徑為d′0的單個(gè)樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的等效熱阻為：

(17)

由于不同母管直徑大小分布符合分形標(biāo)度律，可得所有樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的熱阻為：

(18)

根據(jù)傅里葉定律及串并聯(lián)模型，在不考慮流體流動(dòng)及對(duì)流換熱的情況下，介質(zhì)的等效熱導(dǎo)率即為熱傳導(dǎo)決定，含有隨機(jī)分布的樹狀分叉結(jié)構(gòu)多孔介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率[8]可表示為：

(19)

式中，Rm為介質(zhì)基質(zhì)的熱阻，其表達(dá)式為：

(20)

L0為單個(gè)樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的特征長(zhǎng)度，其可以表達(dá)為：

(21)

將相關(guān)參數(shù)的表達(dá)式代入，可以得到含有隨機(jī)分布的粗糙樹狀分叉結(jié)構(gòu)多孔介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率[8]表達(dá)式為：

kcd=

km[1-(1-ε)2φf]+

(22)

2.2 對(duì)流換熱的熱導(dǎo)率模型

樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的熱輸運(yùn)是一個(gè)復(fù)雜的過程，在2.1中，忽略了流體與介質(zhì)基質(zhì)間的對(duì)流換熱，但是現(xiàn)實(shí)生活和工程實(shí)際中，流體與介質(zhì)基質(zhì)間的對(duì)流換熱是不可忽視的．

樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)中的傳熱包含了介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)以及流體流動(dòng)的對(duì)流換熱兩部分的貢獻(xiàn)，因此介質(zhì)傳熱的有效熱導(dǎo)率可以表示為：

keff=kcd+kcv=kcd1+kcd2+kcv，

(23)

式中，kcd為熱傳導(dǎo)所貢獻(xiàn)的熱導(dǎo)率，包含介質(zhì)基質(zhì)的熱導(dǎo)率kcd1以及微通道流體的熱導(dǎo)率kcd2兩部分組成，kcv表示粗糙表面樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的對(duì)流換熱熱導(dǎo)率．

一個(gè)分形集合單元中所有的粗糙元的總底面面積為：

(24)

假設(shè)所有粗糙元具有同樣的高度直徑比，故可以由粗糙元的底面積得到其側(cè)面積，即分形單元中所有粗糙元的換熱面積為：

(25)

無(wú)粗糙元覆蓋的光滑部分的面積為：

(26)

則由式(25)和(26)可得單個(gè)粗糙壁面母管的熱對(duì)流面積為：

(27)

根據(jù)牛頓冷卻公式，單個(gè)粗糙壁面母管內(nèi)所有粗糙元的對(duì)流換熱量為：

qc=hrScΔT，

(28)

(29)

同一母管在光滑壁面情況下的對(duì)流換熱量為：

(30)

因此，由式(29)和(30)可知同一母管在具有粗糙表面情況下與光滑表面情況下的對(duì)流換熱量的比值為：

(31)

通過式(31)可知，η大于1，即表示針對(duì)同一母管，粗糙表面會(huì)使其對(duì)流換熱加強(qiáng)，這一比例同粗糙元分布的孔隙率φc，高度直徑比ω以及母管的相對(duì)粗糙度ε有關(guān)．

根據(jù)Chen等[17]假設(shè)通過樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的每一個(gè)管道是熱充分發(fā)展的層流流動(dòng)，每一級(jí)的Nusselt數(shù)是相同的，根據(jù)樹狀分叉模型網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)，可以得到關(guān)于對(duì)流換熱系數(shù)[8]的表達(dá)式：

(32)

hi=h0β-i，

(33)

式中，h0和hi分別是第0級(jí)和第i級(jí)的對(duì)流換熱系數(shù).根據(jù)假設(shè)，分叉網(wǎng)絡(luò)各級(jí)之間的溫度差是恒定的，故通過單個(gè)光滑樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的對(duì)流換熱熱流量為：

(34)

對(duì)于粗糙壁面的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)，由于各級(jí)微通道相對(duì)粗糙度ε是一致的，且易證明其長(zhǎng)度比、直徑比等都同光滑表面情況是相等的.故對(duì)于粗糙表面的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)，上面的處理方式仍然適用.可以得到粗糙壁面樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的對(duì)流換熱量為：

(35)

根據(jù)樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)及粗糙元具有的統(tǒng)計(jì)自相似的特性，單個(gè)粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的熱對(duì)流面積為：

(36)

由此可以得到同一個(gè)樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)在粗糙壁面與光滑壁面情況下的對(duì)流換熱面積的比值：

(37)

仿照迂曲度的定義，將面積比τ定義為樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的面迂曲度，用來描述粗糙壁面的凹凸不平的程度，面迂曲度越大，表示壁面凹凸不平的程度越高，對(duì)流換熱面積越大．

由于多孔介質(zhì)中的不同樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的壁面材質(zhì)相同，在該模型中可以認(rèn)為同一介質(zhì)中的不同樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)里粗糙元分布的分形維數(shù)Ds和孔隙率φc也是相同的.且由于粗糙元的高度直徑比ω是定值，故樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)中，對(duì)于不同的分叉樹，其面迂曲率τ是相等的.因此整個(gè)多孔介質(zhì)的管壁對(duì)流換熱面積也滿足這一比例關(guān)系.對(duì)于光滑壁面的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)，整個(gè)介質(zhì)的對(duì)流換熱面積及對(duì)流換熱量為[8]：

(38)

(39)

故對(duì)于粗糙壁面的情況，整個(gè)介質(zhì)的對(duì)流換熱面積及對(duì)流換熱量為：

Ac=τAs=

(40)

(41)

依據(jù)傅里葉定律，流體流動(dòng)引起的對(duì)流換熱的熱導(dǎo)率為：

(42)

根據(jù)母管直徑分形分布的概率密度函數(shù)，可以得到母管的平均直徑為：

(43)

(44)

由式(22)和(44)可得粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率為：

keff=kcd1+kcd2+kcv=km[1-(1-ε)2φf]+

(45)

由式(45)可以看出，在忽略流體流動(dòng)影響的情況下，粗糙壁面介質(zhì)相比同一光滑壁面介質(zhì)，介質(zhì)基質(zhì)熱傳導(dǎo)增強(qiáng)，流體熱傳導(dǎo)減弱，對(duì)流換熱增強(qiáng)．

3 分析與討論

基于得出的有效熱導(dǎo)率表達(dá)式，本文計(jì)算出了相應(yīng)介質(zhì)的熱導(dǎo)率，并與該類型介質(zhì)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[19-21]進(jìn)行比較，相關(guān)參數(shù)的取值見圖例注釋.圖2中對(duì)比了不同基質(zhì)熱導(dǎo)率km情況下，粗糙壁面和光滑壁面的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率的關(guān)系.如圖2可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)式(45)提供的有效熱導(dǎo)率模型計(jì)算出的粗糙壁面樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率與部分文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)較為吻合，且粗糙壁面有效熱導(dǎo)率要大于同等光滑壁面介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率，圖2取值范圍中，傳熱增強(qiáng)在2.7%～5.8%.圖3中表明了基質(zhì)熱傳導(dǎo)、流體熱傳導(dǎo)以及對(duì)流換熱三個(gè)部分與介質(zhì)總體有效熱導(dǎo)率的關(guān)系及貢獻(xiàn)比重.圖2和圖3中的參數(shù)為kf=0.5，φf=0.1，ε=0.1，α=0.77，β=0.8，n=2，Nu=4.93，δT=25 μm，d0max=3.7×10-2m，d0min=3.7×10-4m.

圖2 有效熱導(dǎo)率與相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[19-21]的比較 圖3 kcd1、kcd2和kcv分布曲線圖 Fig.2 A comparison of effective thermal Fig.3 Distribution curves of kcd1、kcd2 and kcv conductivity with experimental data

φf=0.1，ε=0.1，α=0.77，β=0.8，n=2，Nu=4.93，δT=25 μm，d0max=3.7×10-2 m，d0min=3.7×10-4 m圖4 有效熱導(dǎo)率關(guān)于km/kf分布曲線圖Fig.4 Plot of effective thermal conductivity with respect to km/kf distribution

從圖5中可以得到，介質(zhì)基質(zhì)的熱傳導(dǎo)隨相對(duì)粗糙度升高而增強(qiáng)，流體的熱傳導(dǎo)隨相對(duì)粗糙度升高而會(huì)減弱，而且兩者關(guān)于相對(duì)粗糙度的變化都相對(duì)平緩.在圖5取值范圍內(nèi)，對(duì)流換熱隨相對(duì)粗糙度的升高迅速升高，介質(zhì)總體的有效熱導(dǎo)率變化曲線也具有相似的趨勢(shì).這說明了在該條件下，粗糙壁面對(duì)于多孔介質(zhì)內(nèi)微通道傳熱的主要影響是體現(xiàn)在對(duì)流換熱的增強(qiáng)上，其相對(duì)于熱傳導(dǎo)的影響要更為顯著.在相對(duì)粗糙度為0.1時(shí)，介質(zhì)有效熱導(dǎo)率中，流體熱傳導(dǎo)部分占比45.1%，基質(zhì)熱傳導(dǎo)部分占比7.3%，對(duì)流換熱部分占比47.6%；相對(duì)粗糙度為0.3時(shí)，流體熱傳導(dǎo)部分占比41.6%，基質(zhì)熱傳導(dǎo)部分占比3.9%，對(duì)流換熱部分占比54.5%．

km=0.15，kf=0.5，φf=0.1，α=0.77，β=0.8，n=2，Nu=4.93，δT=25 μm，d0max=3.7×10-2 m，d0min=3.7×10-4 m圖5 有效熱導(dǎo)率關(guān)于相對(duì)粗糙度的分布曲線圖Fig.5 Plot of effective thermal conductivity with respect to relative roughness

圖6說明介質(zhì)基質(zhì)的熱傳導(dǎo)隨母管孔隙率增大而減弱，流體熱導(dǎo)率隨母管孔隙率增大而增強(qiáng)，對(duì)流換熱隨母管孔隙率增大而增強(qiáng).最終介質(zhì)總體有效熱導(dǎo)率的變化是三者綜合決定的，在圖示條件下，對(duì)流換熱占據(jù)主導(dǎo)作用.相比同等光滑介質(zhì)，具有粗糙壁面的樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率更大．

km=0.15，kf=0.5，ε=0.1，α=0.77，β=0.8，n=2，Nu=4.93，δT=25 μm，d0max=3.7×10-2 m，d0min=3.7×10-4 m圖6 有效熱導(dǎo)率關(guān)于母管的孔隙率的分布曲線圖Fig.6 Plot of effective thermal conductivity with respect to the porosity of the parent tube

4 總結(jié)

根據(jù)分形理論和傳熱學(xué)定律，建立了粗糙壁面樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的分形模型，通過一系列合理的簡(jiǎn)化和假設(shè)，推導(dǎo)出了粗糙樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)多孔介質(zhì)的有效熱導(dǎo)率分布函數(shù).通過分布函數(shù)得出的有效熱導(dǎo)率與之前部分學(xué)者研究的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較為吻合.同時(shí)，結(jié)合推導(dǎo)的分布函數(shù)，分析了有效熱導(dǎo)率與相對(duì)粗糙度、基質(zhì)(或流體)熱導(dǎo)率、母管直徑孔隙率等參數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，為后續(xù)的實(shí)際應(yīng)用和模型完善提供了一定的理論依據(jù)．