皮 春 梅

(1.湖北第二師范學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院， 武漢 430205；2.湖北第二師范學(xué)院天文學(xué)研究中心， 武漢 430205)

物態(tài)方程是理論研究致密星結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的重要輸入量，它給出了物質(zhì)內(nèi)部壓強(qiáng)P和密度E之間的關(guān)系.結(jié)合廣義相對(duì)論下的流體靜力學(xué)平衡方程(即TOV方程)和物態(tài)方程，可以計(jì)算致密星的密度、不同半徑處的壓強(qiáng)以及質(zhì)量和半徑等物理性質(zhì).不同的物態(tài)方程會(huì)給出不同的致密星內(nèi)部成分和結(jié)構(gòu).20世紀(jì)60年代Gell-Mann M和Zweig G建立了強(qiáng)子結(jié)構(gòu)的夸克模型，中子星內(nèi)部物質(zhì)組分有了更多的可能性.1984年，Witten E提出了奇異夸克物質(zhì)設(shè)想[1]：由數(shù)量近乎相等的u、d、s夸克組成的夸克物質(zhì)比56Fe更穩(wěn)定.根據(jù)這個(gè)設(shè)想，致密星可能是由u、d、s三味夸克物質(zhì)所組成的奇異星[2].

但是，在對(duì)引力的認(rèn)識(shí)還并不完善的今天，對(duì)此還不能完全肯定.在統(tǒng)一引力和其他三種基本相互作用力，即電磁相互作用，強(qiáng)相互作用和弱相互作用的過程中，人們發(fā)現(xiàn)描述引力的平方反比關(guān)系不再成立.平方反比關(guān)系需要根據(jù)弦理論預(yù)測(cè)的其他時(shí)空維度的幾何效應(yīng)(或者粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型之外的超對(duì)稱理論所預(yù)言的弱耦合玻色子的交換)做出修正[5-6].盡管至今尚未確認(rèn)非牛頓引力的存在，已經(jīng)有很多地面實(shí)驗(yàn)和天文觀測(cè)對(duì)偏離牛頓引力程度的上限給出了限制，相關(guān)文獻(xiàn)綜述見[7].

中子星和奇異星的非牛頓引力效應(yīng)已經(jīng)得到廣泛研究[8-16]，發(fā)現(xiàn)在致密天體中這種非牛頓引力可能會(huì)具有明顯的物理效應(yīng)，為軟物態(tài)方程支持大質(zhì)量致密星(中子星和奇異星)帶來了希望.

1 奇異夸克物質(zhì)的物態(tài)方程

夸克物質(zhì)的狀態(tài)方程本質(zhì)上應(yīng)該由量子色動(dòng)力學(xué)(QCD)來計(jì)算，鑒于對(duì)低能強(qiáng)相互作用非微擾特性認(rèn)識(shí)的不足，這一計(jì)算方法還不能進(jìn)行.在實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常采用唯象模型，例如袋模型.此模型忽略夸克間的動(dòng)力學(xué)相互作用，視其為理想氣體.各類粒子的巨熱力學(xué)勢(shì)分別為[17-18]：

(1)

(2)

(3)

其中,mi和μi分別為粒子的質(zhì)量和化學(xué)勢(shì).

通過熱力學(xué)關(guān)系可以利用巨熱力學(xué)勢(shì)計(jì)算系統(tǒng)的各熱力學(xué)量，如各種粒子數(shù)密度、壓強(qiáng)和能量密度等.第i(i=u，d，s，e)種粒子的數(shù)密度是

(4)

夸克物質(zhì)通過弱相互作用保持化學(xué)平衡.各類粒子化學(xué)勢(shì)μi之間滿足平衡條件

μd=μs=μu+μe.

(5)

作為一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，還應(yīng)當(dāng)滿足電中性條件要求：

(6)

重子數(shù)密度為

(7)

不考慮非牛頓引力效應(yīng)時(shí)，能量密度為

(8)

相應(yīng)地，壓強(qiáng)為

(9)

這里B是袋常數(shù).

本文忽略u(píng)夸克和d夸克的質(zhì)量，s夸克的流質(zhì)量取ms=93 MeV[19]，選取具有代表性的袋常數(shù)B1/4=140 MeV.

2 非牛頓引力效應(yīng)

根據(jù)Fujii理論[20]，非牛頓引力可以表述為在傳統(tǒng)的引力勢(shì)基礎(chǔ)上增加一個(gè)湯川型的修正項(xiàng)，即

VN(r)+VY(r)，

(10)

其中,G∞=6.6710×10-11N·m2/kg2，α是無量綱的湯川引力強(qiáng)度參數(shù)，λ是短程相互作用的特征長(zhǎng)度.利用矢量玻色子交換模型，

其中，±分別代表標(biāo)量(+)和矢量(-)玻色子，μ，g和mb分別是玻色子-重子耦合常數(shù)，玻色子質(zhì)量和重子質(zhì)量.

非牛頓引力效應(yīng)可近似地通過物態(tài)方程來描述，而保持愛因斯坦場(chǎng)方程不變.湯川型的修正項(xiàng)對(duì)能量密度的貢獻(xiàn)為

(11)

(12)

通過積分很容易得到，

(13)

因?yàn)樵瓌t上研究對(duì)象很大，可以取R→∞，故

(14)

綜上，考慮非牛頓引力效應(yīng)，奇異夸克物質(zhì)的能量密度為

E=EQ+EY，

(15)

其中EQ由(8)式給出.

相應(yīng)地，湯川型修正項(xiàng)對(duì)壓強(qiáng)的貢獻(xiàn)為

(16)

假定玻色子質(zhì)量與介質(zhì)密度無關(guān)[9]，有

(17)

考慮非牛頓引力效應(yīng)，奇異夸克物質(zhì)的壓強(qiáng)為

P=PQ+PY，

(18)

其中,PQ由(9)式給出.

這里需要指出，非牛頓引力理論是超越了廣義相對(duì)論的理論.眾所周知，平方反比關(guān)系是廣義相對(duì)論在弱場(chǎng)低速情形下的近似.非牛頓引力理論(具體到本文，是在傳統(tǒng)的引力勢(shì)基礎(chǔ)上增加一個(gè)湯川型的修正項(xiàng))下，平方反比關(guān)系不成立.實(shí)際上，超越相對(duì)論的其他一些引力理論，如f(R)理論，在弱場(chǎng)低速情形下也不滿足平方反比關(guān)系[6].

如Shao所述[23]，廣義相對(duì)論的場(chǎng)方程中有兩個(gè)部分，其一是時(shí)空幾何，其二是物質(zhì)與能量.在對(duì)廣義相對(duì)論做修正時(shí)，既可以修正時(shí)空幾何部分，也可以修正物質(zhì)與能量部分，兩種途徑是簡(jiǎn)并的.在研究非牛頓引力對(duì)奇異星質(zhì)量—半徑關(guān)系(圖3)的影響時(shí)采用公式(15)和(18)所給出狀態(tài)方程，這實(shí)際上是修正了廣義相對(duì)論的物質(zhì)與能量部分，而廣義相對(duì)論的時(shí)空幾何部分保持不變.于是，仍然可以采用原來的廣義相對(duì)論所推導(dǎo)出的TOV方程.

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與討論

注：曲線旁邊的數(shù)值代表非牛頓引力參數(shù)的取值，單位是GeV-2.圖1 考慮非牛頓引力后MIT物態(tài)方程的密度-壓強(qiáng)關(guān)系Fig.1 Relation between pressure and energy density in MIT model of quark matter with the non-Newtonian gravity

圖2給出了不同參數(shù)下湯川型非牛頓引力效應(yīng)的修正項(xiàng)對(duì)能量密度的貢獻(xiàn)隨重子數(shù)密度的變化.隨著重子數(shù)密度的增大，修正項(xiàng)能量密度越大.其實(shí)從方程(14)中就可以看出修正項(xiàng)能量密度隨著重子數(shù)密度的平方單調(diào)增加的.

注：n0=0.17 fm-3是標(biāo)準(zhǔn)核飽和密度.圖2 湯川型非牛頓引力效應(yīng)的修正項(xiàng)對(duì)能量密度的貢獻(xiàn)隨重子數(shù)密度的變化Fig.2 The extra density due to the non-Newtonian component as the function of

注：紅色實(shí)線對(duì)應(yīng)于 此時(shí)理論給出的奇異星最大質(zhì)量是2.08M⊙.綠色實(shí)線給出了目前觀測(cè)中發(fā)現(xiàn)的最大質(zhì)量脈沖星(PSR J0470+6620)的數(shù)據(jù)，它的質(zhì)量是2.08M⊙.圖3 引入和沒有引入非牛頓引力效應(yīng)的情況下奇異星的質(zhì)量—半徑關(guān)系Fig.3 The mass-radius relation of strange stars with several typical sets of model parameters

圖4 觀測(cè)到的脈沖星最大質(zhì)量(2.08M⊙)對(duì)非牛頓引力參數(shù)空間的限制Fig.4 Upper bounds on the strength parameter |α| respectively,the boson-nucleon coupling constant g as a function of the range of the Yukawa force μ and the mass if hypothetical bosons,set by differrent experiments

4 總結(jié)