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        用割補法巧解一類幾何題

        2022-04-16 17:28:04陜西省西安市田家炳中學馮恒仁
        中學數(shù)學 2022年19期
        關鍵詞:正四面體棱柱接球

        ?陜西省西安市田家炳中學 馮恒仁

        1 割補法的內涵

        所謂割補法就是把一個復雜圖形的長度、角度、面積或體積的計算分割成若干個簡單圖形的有關計算,或者將一個不易求出長度、角度、面積或體積的幾何圖形補形為較易計算的幾何圖形.例如,把梯形割補成平行四邊形、矩形、直角三角形,把斜三角形割補成直角三角形,把斜棱柱割補成直棱柱,把棱錐補成棱柱(常見的題是將特殊的三棱錐、四棱錐補形為長方體、正方體),把多面體切割成錐體,把不規(guī)則的幾何體割補成規(guī)則的幾何體,從而把復雜的轉化為簡單的、把不夠直觀的轉化為直觀易懂的.

        2 割補法在解題中的應用舉例

        2.1 在平面幾何中的應用

        例1如圖1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=5,BC=3,CD=1,DA=2,求梯形的面積.

        分析:要求梯形的面積,就要求其高,進而就要求其一個內角.因此,過一個頂點作一條腰的平行線,把其分割為平行四邊形和三角形,再作三角形的高,把三角形分割為直角三角形,由正弦函數(shù)的定義求出高.

        圖1 圖2

        解:如圖2,過點C作CE∥DA,交AB于點E,再過點C作CF⊥AB,垂足為F.

        ∵DC∥AE,CE∥DA,

        ∴四邊形AECD是平行四邊形.

        ∴CE=DA=2,AE=DC=1.

        ∴BE=AB-AE=4.

        點評:梯形面積計算問題,輔助線的作法一般有兩種,一是過頂點作高,把梯形分割成直角三角形和矩形,還有一種就是過頂點作另一腰的平行線,把梯形分割為平行四邊形和三角形.本題兩種方法都用到了.

        例2如圖3,分別以邊長為1的正方形ABCD的頂點B,C為圓心,1為半徑作圓弧AC,BD交于點E,求曲邊三角形ABE的面積.

        分析:連接BE,EC,把曲邊三角形ABE的面積轉化為扇形ABE的面積減去弓形BE的面積.

        圖3 圖4

        點評:求弓形面積時,割補法是學生很容易掌握的一個典型的技巧.

        圖5

        (2)方法1:方程(組)法[1].

        sinθ=2cosθ.

        點評:充分利用正弦定理、余弦定理,列方程(組),解方程(組),屬于常規(guī)解法.雖然運算量有些大,但中規(guī)中矩,思路清晰,不難掌握.

        方法2:補形法.

        圖6

        點評:通過補形,轉化為特殊的三角形,雖然還是用正弦定理、余弦定理求解,但與方法1比較,運算量較小.

        方法3:分割法.

        如圖7,過點C作CN⊥AD,垂足為N,過點B作BM⊥CN,垂足為M.

        由已知得,四邊形ABMN是矩形.

        又MN=AB=1,則CM=1,BM=1.

        點評:與方法2相比,方法3運算量更小.

        圖7 圖8

        方法4:割補法.

        如圖8,分別延長CB,DA,設CB∩DA=E,過點C作CN⊥AD,垂足為N.

        由已知可得△ABE和△NCE都是等腰直角三角形,且AE=AB=1.

        點評:與方法3相比,方法4更簡潔,只要把題目中的弧度改為角度,初三學生都可以很快算出結果.

        2.2 在立體幾何中的應用

        例4已知正四面體A-BCD的棱長為a,求該正四面體的外接球的表面積和體積.

        圖9

        分析:如圖9,將正四面體A-BCD補成正方體.則正方體的面對角線長為a,正方體的外接球就是正四面體A-BCD的外接球.

        解:如圖9,將正四面體A-BCD補成正方體,正方體的外接球就是正四面體A-BCD的外接球.

        例5已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值[2].

        圖10

        解法1:如圖10所示,延長CB至D,使BD=BC,連接AD,B1D.

        ∵B1C1∥BD,B1C1=BD,

        ∴四邊形B1C1BD是平行四邊形.

        ∴C1B∥B1D.

        ∴∠AB1D或其補角為異面直線AB1與BC1所成的角.

        在△ABD中,由余弦定理,得

        AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD=3.

        點評:對于兩條異面直線所成的角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時平移到某個特殊的位置.本題是固定一條,平移另一條,把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角,再通過解三角形求之,屬于常規(guī)解法.

        圖11

        解法2:如圖11,將直三棱柱ABC-A1B1C1補形為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,連接AD1,B1D1,BD.

        在△ABD中,由余弦定理知

        BD2=22+12-2×2×1×cos60°=3.

        因為AD1∥BC1,所以直線AB1與AD1所成的角即為直線AB1與BC1所成的角.

        點評:將直三棱柱ABC-A1B1C1補形為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,異面直線AB1與BC1所成角更容易找到.

        3 總結

        巧妙利用割補法求解一些幾何問題,關鍵是根據(jù)已知條件將原圖形通過分割或補形轉化為規(guī)則圖形或特殊圖形,從而使問題簡單化,這一過程也充分體現(xiàn)了化歸與轉化思想.

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