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        一題多解玩轉(zhuǎn)二次根式證明題

        2022-04-16 20:19:34重慶市永川北山中學(xué)校吳治新
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年18期
        關(guān)鍵詞:根式換元元法

        ?重慶市永川北山中學(xué)校 吳治新

        我們將根號(hào)下含有字母的代數(shù)式叫作無理式,對于無理式的證明題,單靠二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算很難奏效,還需注意分析題意,根據(jù)題目特點(diǎn)結(jié)合適當(dāng)?shù)姆椒ㄅc技巧.下面以一道二次根式證明題為例作簡要分析.

        方法一:改寫并化簡等式,從輪換式特點(diǎn)去整體相加.

        同理,得

        ①+②,得

        整理,得a+b=-(a+b).

        所以a+b=0得證.

        點(diǎn)評:從倒數(shù)的意義入手,根據(jù)等式的性質(zhì)改寫已知等式,成為幾個(gè)式子和的形式,再利用輪換式特點(diǎn),將改寫后的式子整體相加,則隱含關(guān)系明了,問題獲解.

        方法二:改寫并化簡等式,兩邊平方.

        證明:由已知,得

        兩邊再平方,得(a2+1)(b2+1)=1-2ab+a2b2.

        整理,得(a+b)2=0.

        所以a+b=0得證.

        點(diǎn)評:利用倒數(shù)性質(zhì)改寫已知等式,再兩次平方,并運(yùn)用乘法公式運(yùn)算,將無理式轉(zhuǎn)化為整式.根據(jù)等式的性質(zhì),兩邊平方,將無理式化為有理式,也是解決無理式問題的常見策略.

        方法三:將等式兩邊同乘有理化因式.

        ③+④,得a+b=-a-b.

        則2(a+b)=0.

        所以a+b=0.

        點(diǎn)評:將已知等式乘有理式因式,就可以將二次根式的積轉(zhuǎn)化為二次根式和的形式.在證明二次根式一般過程中,由因?qū)Ч?,從化簡條件入手,恒等變形的基本方法往往是有理化.

        分析4:換元法是解數(shù)學(xué)題的一種重要方法,用某一字母代換已知等式中較長的式子或結(jié)構(gòu)復(fù)雜的式子,使條件簡明,將問題化繁為簡.

        方法四:換元 + 平方.

        兩邊同時(shí)平方,得

        (m-a)2=a2+1,(n-b)2=b2+1.

        又mn=1,所以

        m2-2am+a2=a2+mn,

        n2-2bn+b2=b2+mn.

        m-2a-n=0

        n-2b-m=0

        ⑤+⑥,得a+b=0.

        點(diǎn)評:用換元法建立兩個(gè)等式,并將等式平方,去掉根號(hào),得到與a,b有關(guān)的有理式,再運(yùn)用輪換式的特點(diǎn),進(jìn)行整式運(yùn)算,問題得以解決.

        方法五:換元+分式化簡.

        a2+1=x2+a2-2ax.

        又xy=1,所以a+b=0.

        點(diǎn)評:用換元法將原問題增設(shè)兩個(gè)變量,兩邊平方后,將無理式問題轉(zhuǎn)化為有理分式問題,運(yùn)用有理式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求解.

        方法六:換元+取倒.

        點(diǎn)評:設(shè)元使原問題增加了兩個(gè)變量,通過“求倒”得到與a或b有關(guān)的兩個(gè)式子,且這兩個(gè)式子互為相反數(shù)從而快速求解.

        方法四~六用換元法解題,其目標(biāo)是將無理式問題轉(zhuǎn)化為有理式問題,通過換元得到兩個(gè)等式,并進(jìn)行恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算,使復(fù)雜問題簡單化,達(dá)到轉(zhuǎn)化求解的目的.

        將上面例題改編,得到一組題目,讓我們一顯身手吧.

        創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力,是現(xiàn)代教育的出發(fā)點(diǎn)和歸宿.因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維,是時(shí)代的要求,也是課程標(biāo)準(zhǔn)提出的要求,更是學(xué)生發(fā)展的需求.如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維?“一題多解”是最平常,也是力所能及的的課堂教學(xué)手段.例如,本文中的例題,是一道二次根式的證明題,在平時(shí)學(xué)習(xí)中較少碰到,利用一般的方法無從破解,但若從題目已知條件的特征及結(jié)果形式分析,發(fā)現(xiàn)與“倒數(shù)”及“輪換式”等知識(shí)點(diǎn)有關(guān),可結(jié)合二次根式、整式、分式的運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算推理,得出答案.方法一,從輪換式特點(diǎn)去整體求解;方法二,從倒數(shù)性質(zhì)入手,運(yùn)用平方法去根號(hào),運(yùn)用乘法公式求解;方法三,結(jié)合二次根式特點(diǎn),兩邊乘有理化因式,達(dá)到轉(zhuǎn)化目的;方法四~六利用換元法,增加變量,利用完全平方式、分式化簡進(jìn)行恒等變形.以上幾種證法,貫穿了二次根式化簡的常用方法,較好地發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新思維,有利于啟迪學(xué)生思維,開闊學(xué)生視野,為學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),訓(xùn)練數(shù)學(xué)基本技能,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想方法,積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ),切實(shí)提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).Z

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