山東省滕州市滕南中學(xué) 郭效萍
圓是初中階段學(xué)習(xí)的重要圖形,它的一些性質(zhì),例如,同弧所對(duì)的圓周角相等,半圓所對(duì)的圓周角是直角,直徑是圓中最長(zhǎng)的弦等,給解決問題帶來極大的方便.在解答有關(guān)幾何問題時(shí),并不是圖形中出現(xiàn)圓才利用圓的性質(zhì),有時(shí)需要構(gòu)造一個(gè)輔助圓,然后利用圓的性質(zhì)解答,這是解決幾何問題的基本方法之一.
從集合的角度定義:圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.根據(jù)這個(gè)定義可以得到,當(dāng)幾個(gè)點(diǎn)到同一點(diǎn)的距離相等時(shí),則這幾點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上.這樣構(gòu)造輔助圓,解答時(shí)不僅能利用題中的已知條件,而且可以利用圓的一些性質(zhì).
例1如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AC=AD,若∠BAC=25°,∠CAD=75°,分別求∠BDC和∠DBC的度數(shù).
圖1
解法1:(普通方法)
∵AB=AC=AD,
∴∠ADB=∠ABD,
∠ACB=∠ABC,
∠ADC=∠ACD.
∵∠BAC=25°,∠CAD=75°,
∴∠ACB=(180°-25°)÷2=77.5°,
∠DAB=∠DAC+∠CAB=100°,
∠ADC=∠ACD=(180°-75°)÷2=52.5°.
∴∠ADB=(180°-100°)÷2=40°.
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB
=52.5°-40°=12.5°,
∠DCB=∠DCA+∠ACB
=52.5°+77.5°=130°.
∴∠DBC=180°-∠DCB-∠BDC
=180°-130°-12.5°=37.5°.
解法2:(構(gòu)造輔助圓的方法)
由AB=AC=AD,得點(diǎn)B,C,D在以A為圓心,以AD為半徑的圓上,如圖2.
圖2
點(diǎn)評(píng):比較上面兩種方法可以發(fā)現(xiàn),構(gòu)造輔助圓后,解決過程明顯簡(jiǎn)潔.這里主要利用了圓周角定理及其推論:同弧所對(duì)的圓周角相等,等弧所對(duì)的圓周角也相等.這是因?yàn)檫@些圓周角都等于它所對(duì)的圓心角的一半.
因?yàn)?0°的圓周角所對(duì)的弦是直徑,所以當(dāng)直角三角形的斜邊一定時(shí),直角頂點(diǎn)一定在以斜邊為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).此時(shí)構(gòu)造輔助圓,可以確定直角頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.
例2如圖3所示,矩形ABCG(AB 圖3 解析:如圖4所示,根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑,當(dāng)∠APE為直角時(shí),點(diǎn)P應(yīng)在以AE為直徑的⊙O上.又因?yàn)辄c(diǎn)B,C,D在同一條直線上,∠APE的頂點(diǎn)P在線段BD上移動(dòng),所以點(diǎn)P就是⊙O與BD的交點(diǎn).由圖4可知,BD與⊙O有2個(gè)交點(diǎn).故答案為:2. 圖4 點(diǎn)評(píng):本題確定點(diǎn)的方法使用的是交軌法,即從每一個(gè)條件出發(fā)確定一個(gè)點(diǎn)的軌跡,兩個(gè)點(diǎn)的軌跡的交點(diǎn)就是符合題意的點(diǎn).本題兩個(gè)點(diǎn)的軌跡分別是一條直線和一個(gè)圓. 當(dāng)一個(gè)角對(duì)固定長(zhǎng)度的線段所張開的角度為定值時(shí),角的頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)圓,此時(shí)可以作輔助圓,這條定線段為輔助圓的弦,這個(gè)角為圓周角.此時(shí)可以利用圓的相關(guān)性質(zhì)解答問題. 例3如圖5,點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(1,0),(5,0),點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn). 圖5 (1)使∠APB=30°的點(diǎn)P有________個(gè). (2)若點(diǎn)P在y軸上,且∠APB=30°,求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo). (3)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí),∠APB是否有最大值?若有,求點(diǎn)P的坐標(biāo),并說明此時(shí)∠APB最大的理由;若沒有,請(qǐng)說明理由. 圖6 (2)①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí),過點(diǎn)C作CG⊥AB,垂足為點(diǎn)G,如圖6. 由點(diǎn)A(1,0),B(5,0),得OA=1,OB=5,則AB=4. 則OG=OA+AG=3. 過點(diǎn)C作CD垂直于y軸,垂足為點(diǎn)D,連接CP2,如圖6. 由點(diǎn)P1,P2是⊙C與y軸的交點(diǎn),得∠AP1B=∠AP2B=30°. (3)如圖7,當(dāng)過點(diǎn)A,B的⊙E與y軸相切于點(diǎn)P時(shí),∠APB最大.理由: 圖7 可證∠APB=∠AEH,當(dāng)∠APB最大時(shí),∠AEH最大. ①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí),連接EA,作EH⊥x軸,垂足為點(diǎn)H,如圖7. 由⊙E與y軸相切于點(diǎn)P,得PE⊥OP. 由EH⊥AB,OP⊥OH,得∠EPO=∠POH=∠EHO=90°. 則四邊形OPEH是矩形,OP=EH,PE=OH=3,得EA=3. 圓外一定點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連接而成的所有線段中,有一條最短線段和最長(zhǎng)線段,這兩條線段都在過圓心與圓外一點(diǎn)的直線上,如圖8所示,最長(zhǎng)線段是PA,最短線段是PB.利用這一點(diǎn),可以求與圓有關(guān)的線段的最值. 圖8 例4如圖9,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足∠PAB=∠PBC,則線段CP長(zhǎng)的最小值為________. 圖9 解析:如圖10,由∠ABC=90°,得∠ABP+∠PBC=90°.又∠PAB=∠PBC,則∠BAP+∠ABP=90°,即∠APB=90°,則點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上.連接OC交⊙O于點(diǎn)P,此時(shí)PC最小. 圖10 點(diǎn)評(píng):幾何中求最值的情況包括:(1)利用軸對(duì)稱求線段和的最小值;(2)利用勾股定理求曲面上或不同平面上兩點(diǎn)之間的最短距離;(3)利用三角形相似解決系數(shù)不為1的線段和最小值問題;(4)利用直徑是圓中最長(zhǎng)的弦解決與圓有關(guān)的線段的最值. 幾何問題中作輔助線的方法比較多,如作垂線、平行線、連接、延長(zhǎng)、倍長(zhǎng)中線、旋轉(zhuǎn)三角形等,但作輔助圓這種作鋪助線的方法容易被忽略.上述四個(gè)實(shí)例分別從四個(gè)不同的角度闡釋了在什么情況下需要作輔助圓,如何作輔助圓,作輔助圓后如何利用輔助圓,以期對(duì)學(xué)生突破幾何學(xué)習(xí)有所幫助.4 利用一個(gè)角對(duì)定線段所張的角度為定值構(gòu)造輔助圓
5 利用作輔助圓求最值