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        有關(guān)中點(diǎn)基本圖形的分類及輔助線的加法

        2022-04-16 19:07:09武漢市光谷實(shí)驗(yàn)中學(xué)劉姜濤康柳燕
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年14期
        關(guān)鍵詞:位線輔助線動(dòng)點(diǎn)

        武漢市光谷實(shí)驗(yàn)中學(xué) 劉姜濤 康柳燕

        1 引言

        中點(diǎn)問題在中學(xué)階段的地位舉足輕重,與中點(diǎn)密切相關(guān)的線段[1]主要有兩種:中位線和中線.這兩個(gè)知識點(diǎn)貫穿整個(gè)初中幾何,題目難度往往較大,學(xué)生解題沒有方向.為此,筆者總結(jié)了7類有關(guān)中點(diǎn)的基本圖形及做題方法,以供參考.

        2 有關(guān)中點(diǎn)的基本圖形的分類及解法

        7類有關(guān)中點(diǎn)的基本圖形及做題方法總結(jié)如表1:

        表1

        中位線一般出現(xiàn)在三角形和四邊形的圖形中,中線則在三角形的題型中經(jīng)常使用,所以無論是分析圖形還是構(gòu)造輔助線,這兩種線段都是我們的重要解題工具.下面展示這兩者在具體圖形中的妙用.

        2.1 角分線+垂直→中位線

        圖中出現(xiàn)角平分線和一個(gè)直角,可以考慮構(gòu)造等腰三角形,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到中點(diǎn),再連接其它中點(diǎn)得中位線.

        圖1

        略證:延長BE交AC于點(diǎn)D.

        AB=AD,BE=DE(三線合一),

        2.2 動(dòng)點(diǎn)問題中的中位線

        在變化中尋找不變是動(dòng)點(diǎn)問題的基本思路,要確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡關(guān)鍵是找到不變的重要點(diǎn)、起點(diǎn)、終點(diǎn),其中中點(diǎn)是常用解題工具[2].

        基本圖形2:如圖2,已知P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn),以AP,BP為邊在AB同側(cè)作等邊三角形ACP和等邊三角形PDB,G為CD中點(diǎn).求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長.

        圖2

        略解:延長AC,BD交于點(diǎn)H.

        當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A時(shí),CD=AH;當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B時(shí),CD=BH.

        ∵四邊形CHDP是平行四邊形,

        ∴CD與PH互相平分.

        ∴點(diǎn)G為PH中點(diǎn).

        2.3 三角形中的1個(gè)中點(diǎn)

        三角形中出現(xiàn)中點(diǎn),作中位線是常用的輔助線作法之一.

        基本圖形3:已知點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn),DE平分△ABC的周長,求線段DE的長度.

        方法1提示:如圖3,取三角形另一邊的中點(diǎn),連接兩個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造中位線.

        圖3

        略解:在BC上取中點(diǎn)H,連DH.

        根據(jù)△EHD中的線段關(guān)系求DE.

        方法2提示:如圖4,將已有線段視作中位線,構(gòu)造新的三角形.

        圖4

        略解:倍長BE至點(diǎn)H,連AH.

        求出AH的長度(三角形線段關(guān)系).

        2.4四邊形中的2個(gè)中點(diǎn)

        除了三角形,在四邊形中也經(jīng)常需要用到中位線這種輔助線,解題時(shí)需要利用中位線進(jìn)行線段關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

        基本圖形4:如圖5,已知E為AB的中點(diǎn),F(xiàn)為CD的中點(diǎn),尋求EF與AC,BD的關(guān)系.

        圖5

        提示:取另一邊的中點(diǎn),分別連接得到兩條中位線.

        略解:在BC上取中點(diǎn)H,連接HE,HF.

        基本圖形5:如圖6,已知E為AB的中點(diǎn),點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),尋求EF與AD,BC的關(guān)系.

        圖6

        提示:在對角線上取中點(diǎn).

        略解:連AC,取AC的中點(diǎn)H,連EH,F(xiàn)H.

        2.5四邊形中的4個(gè)中點(diǎn)

        若四邊形中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí),將中點(diǎn)連接形成的線段集中在一個(gè)三角形中考慮.

        基本圖形6:如圖7,已知點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),求證:四邊形EFGH為平行四邊形.

        圖7

        略證:連AC(或BD) .

        由HG(中位線) ,

        得HG∥EF,HG=EF.

        因此,四邊形EFGH為平行四邊形.

        2.6共斜邊的直角三角形

        中點(diǎn)出現(xiàn)在直角三角形的斜邊上時(shí),要注意運(yùn)用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一性質(zhì).

        基本圖形7:如圖8,已知AC⊥AB,DC⊥BD,H為BC的中點(diǎn),求證:∠AHD=2∠ABD.

        圖8

        提示:公共斜邊取中點(diǎn).

        略證:AH=BH=CH=DH.

        ∠ABD=y-x,

        ∠AHD=∠AHC-∠DHC=2y-2x

        =2(y-x)=2∠ABD.

        基本圖形8:如圖9,已知AC⊥AB,DC⊥BD,H為BC的中點(diǎn),求證:∠AHD=2∠ABD.

        圖9

        提示:公共斜邊取中點(diǎn).

        略證:AH=BH=CH=DH.

        ∠ABD=x+y,

        ∠AHD=∠AHC+∠DHC=2x+2y

        =2(x+y)=2∠ABD.

        2.7 “T”字形

        若復(fù)雜圖形中有一條線段AB及過AB中點(diǎn)C的另一條線段DC,且滿足AC=BC=DC,對于這樣的“T”字形,??紤]利用中位線,反過來構(gòu)造三角形.

        基本圖形9:如圖10,C為AB的中點(diǎn),連接端點(diǎn)A,D并倍長,構(gòu)造出以CD為中位線的三角形;

        圖10

        或者如圖11,連接端點(diǎn)B,D并倍長,構(gòu)造出以CD為中位線的三角形;

        圖11

        或者如圖12,以AB為直角三角形的斜邊構(gòu)造出直角三角形ADB.

        圖12

        3 應(yīng)用舉例

        圖13

        略證:如圖14,連DN并延長交AC于點(diǎn)H,連BH.

        圖14

        在△EDN和△CHN中,

        ∴△EDN≌△CHN(ASA).

        ∴ED=EA=CH.

        易證△CAE≌△BCH(SAS),

        ∴CE=BH=2MN.

        對于例題,還可以用下面三種方法添加輔助線,如圖15~17,證明思路與上面類似從略.

        圖15

        圖16

        圖17

        4 結(jié)束語

        本文中給出了7類有關(guān)中點(diǎn)基本圖形的分類及輔助線的加法及應(yīng)用.中點(diǎn)問題看似復(fù)雜多變,實(shí)則掌握了基本圖形及其對應(yīng)解法,便可逐一攻克,讓中點(diǎn)問題不再困難.

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