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        學科融合 數(shù)學建模

        2022-04-16 14:51:20甘肅省民樂縣第一中學陳國輝
        中學數(shù)學 2022年13期
        關鍵詞:光照度交匯大氣壓

        ?甘肅省民樂縣第一中學 陳國輝

        1 引言

        在創(chuàng)新新情境數(shù)學試題中,數(shù)學與其他學科的融合問題是其中最亮麗的一道風景線,巧妙把物理、化學、生物、地理、歷史等其他學科中的相關知識與數(shù)學知識相結合,合理數(shù)學建模,充分體現(xiàn)數(shù)學教育的基礎性與應用性,以及相關的數(shù)學知識、數(shù)學方法作為其他學科研究的思想與方法,備受各方關注.

        2 數(shù)學與物理

        例1在線段A1A2的兩端點各置一個光源,已知A1,A2光源的發(fā)光強度之比為1∶2,則該線段上光照度最小的一點到A1,A2的距離之比為______.(光學定律:P點的光照度與P到光源的距離的平方成反比,與光源的發(fā)光強度成正比.)

        分析:設線段A1A2的長度為l,A1,A2光源的發(fā)光強度分別為k,2k,并設出線段A1A2上光照度最小的一點P到兩端點的距離分別為x,l-x,建立點P處的光照度H的函數(shù)解析式,利用導數(shù),求H的最小值,進而確定兩對應距離的比值即可.

        點評:合理巧妙借助物理知識與數(shù)學知識加以融合交匯,以生活實際為問題背景,通過數(shù)學建模,借助數(shù)學中的相關知識來考查數(shù)學中的最值問題.問題極具創(chuàng)新意識與應用意識,有效聯(lián)系知識與實際.

        3 數(shù)學與化學

        例2如圖1,C60是一種由60個碳原子構成的碳原子簇,其結構是以正五邊形和正六邊形組成的凸32面體,它形似足球,因此又名足球烯,則C60結構中正六邊形個數(shù)為______.

        圖1

        分析:結合C60的結構圖確定其對應的每個頂點同時在3個面內,則知正五邊形的頂點個數(shù)與正六邊形的頂點個數(shù)之和為60個頂點的3倍,設出兩種正多邊形的面的個數(shù),建立方程組來分析與處理即可.

        故填答案:20.

        點評:合理巧妙借助化學知識與數(shù)學知識加以融合交匯.以化學中特殊的C60的結構圖與生活實際中的足球加以聯(lián)系,通過數(shù)學建模,結合空間幾何體中頂點與面的關系,利用方程組的求解來解決立體幾何中的相關數(shù)學實際應用問題.

        4 數(shù)學與生物

        例3面對秋冬季新冠肺炎疫情反彈風險,某地防疫防控部門決定進行全面入戶排查,過程中排查到一戶5口之家被確認為新冠肺炎密切接觸者,按要求進一步對該5名成員逐一進行核酸檢測.若任一成員出現(xiàn)陽性,則該家庭定義為“感染高危戶”.設該家庭每個成員檢測呈陽性相互獨立,且概率均為p(0

        分析:設出相應的事件A與B.根據(jù)相互獨立來確定各自的概率,進而建立概率函數(shù)關系式f(p),通過求導,結合導函數(shù)的變形與轉化,利用條件中當p=p0時,f(p)最大,進而來確定p0的值.

        點評:合理巧妙借助生物知識與數(shù)學知識加以融合交匯,通過數(shù)學建模,結合概率中的相互獨立建立概率關系式,綜合導數(shù)及其應用來確定相應的最值問題,進而確定滿足條件中的參數(shù)值.

        5 數(shù)學與地理

        例4臺灣是中國不可分割的一部分,解放軍在臺海地區(qū)組織實兵演練,展現(xiàn)的是捍衛(wèi)國家主權和領土完整的決心和能力.如圖2為我空軍戰(zhàn)機在海面上空繞臺巡航.已知海面上的大氣壓強是760mmHg,大氣壓強p(單位:mmHg)和高度h(單位:m)之間的關系為p=760e-hk(e是自然對數(shù)的底數(shù),k是常數(shù)),根據(jù)實驗知500m高空處的大氣壓強是700mmHg,則我戰(zhàn)機在1 000m高空處的大氣壓強約是(結果保留整數(shù))( ).

        圖2

        A.645mmHgB.646mmHg

        C.647mmHgD.648mmHg

        分析:通過閱讀理解題目條件,結合關系式p=760e-hk中相關參數(shù)的分析,通過特殊的一組數(shù)值代入,得到相應的關系式,進而再次代入對應的數(shù)值,利用指數(shù)冪運算加以轉化,從而確定對應的大氣壓強值.

        點評:合理巧妙借助地理知識與數(shù)學知識加以融合交匯,通過數(shù)學建模,綜合指數(shù)冪等代數(shù)運算,巧妙處理實際生活中的數(shù)學問題.

        6 數(shù)學與歷史

        例5在《孫子算經》中有“物不知數(shù)”問題,原文如下:有物不知數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,問物幾何?即一個整數(shù)除以三余二,除以五余三,求這個整數(shù).設這個整數(shù)為a,當a∈[1,500]時,則符合條件的所有a的和為______.

        分析:根據(jù)題目中歷史問題加以翻譯轉化,設整數(shù)a所表示的關系式a=3m+2=5n+3,m,n∈N*,通過新參數(shù)之間關系式的建立,結合分類討論確定兩參數(shù)之間的關系,進而合理數(shù)學建模,引入等差數(shù)列,結合等差數(shù)列的求和來確定.

        解析:由題目條件,可設a=3m+2=5n+3,m,n∈N,則有3m=5n+1.

        當m=5k,k∈Z時,n不存在;

        當m=5k+1,k∈Z時,n不存在;

        當m=5k+2,k∈Z時,n=3k+1,滿足題意;

        當m=5k+3,k∈Z時,n不存在;

        當m=5k+4,k∈Z時,n不存在;

        所以k=0,1,2,3,……,32,共有33個數(shù),且這些數(shù)組成以8為首項,15為公差的等差數(shù)列.

        點評:合理巧妙借助歷史知識與數(shù)學知識加以融合交匯,通過數(shù)學建模,把歷史中數(shù)學著作問題與實際數(shù)學相結合,通過條件的轉化確定相應的等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的求和來解決實際問題.

        7 結束語

        數(shù)學與其他學科相融合的創(chuàng)新新情境數(shù)學試題,往往緊密聯(lián)系生活實際,滲透物理、化學、生物、地理、歷史等其他學科中的相關知識,數(shù)學建模,巧妙轉化,以考查考生的基礎知識和基本能力為主線,注重數(shù)學的基礎性、綜合性和應用性,強調以核心素養(yǎng)為導向,突出考查數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理和數(shù)學運算等核心素養(yǎng),深受命題專家的青睞.

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