?甘肅省民樂縣第一中學(xué) 陳國輝
在創(chuàng)新新情境數(shù)學(xué)試題中,數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的融合問題是其中最亮麗的一道風(fēng)景線,巧妙把物理、化學(xué)、生物、地理、歷史等其他學(xué)科中的相關(guān)知識與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合,合理數(shù)學(xué)建模,充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)性與應(yīng)用性,以及相關(guān)的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法作為其他學(xué)科研究的思想與方法,備受各方關(guān)注.
例1在線段A1A2的兩端點(diǎn)各置一個光源,已知A1,A2光源的發(fā)光強(qiáng)度之比為1∶2,則該線段上光照度最小的一點(diǎn)到A1,A2的距離之比為______.(光學(xué)定律:P點(diǎn)的光照度與P到光源的距離的平方成反比,與光源的發(fā)光強(qiáng)度成正比.)
分析:設(shè)線段A1A2的長度為l,A1,A2光源的發(fā)光強(qiáng)度分別為k,2k,并設(shè)出線段A1A2上光照度最小的一點(diǎn)P到兩端點(diǎn)的距離分別為x,l-x,建立點(diǎn)P處的光照度H的函數(shù)解析式,利用導(dǎo)數(shù),求H的最小值,進(jìn)而確定兩對應(yīng)距離的比值即可.
點(diǎn)評:合理巧妙借助物理知識與數(shù)學(xué)知識加以融合交匯,以生活實(shí)際為問題背景,通過數(shù)學(xué)建模,借助數(shù)學(xué)中的相關(guān)知識來考查數(shù)學(xué)中的最值問題.問題極具創(chuàng)新意識與應(yīng)用意識,有效聯(lián)系知識與實(shí)際.
例2如圖1,C60是一種由60個碳原子構(gòu)成的碳原子簇,其結(jié)構(gòu)是以正五邊形和正六邊形組成的凸32面體,它形似足球,因此又名足球烯,則C60結(jié)構(gòu)中正六邊形個數(shù)為______.
圖1
分析:結(jié)合C60的結(jié)構(gòu)圖確定其對應(yīng)的每個頂點(diǎn)同時在3個面內(nèi),則知正五邊形的頂點(diǎn)個數(shù)與正六邊形的頂點(diǎn)個數(shù)之和為60個頂點(diǎn)的3倍,設(shè)出兩種正多邊形的面的個數(shù),建立方程組來分析與處理即可.
故填答案:20.
點(diǎn)評:合理巧妙借助化學(xué)知識與數(shù)學(xué)知識加以融合交匯.以化學(xué)中特殊的C60的結(jié)構(gòu)圖與生活實(shí)際中的足球加以聯(lián)系,通過數(shù)學(xué)建模,結(jié)合空間幾何體中頂點(diǎn)與面的關(guān)系,利用方程組的求解來解決立體幾何中的相關(guān)數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題.
例3面對秋冬季新冠肺炎疫情反彈風(fēng)險,某地防疫防控部門決定進(jìn)行全面入戶排查,過程中排查到一戶5口之家被確認(rèn)為新冠肺炎密切接觸者,按要求進(jìn)一步對該5名成員逐一進(jìn)行核酸檢測.若任一成員出現(xiàn)陽性,則該家庭定義為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性相互獨(dú)立,且概率均為p(0
分析:設(shè)出相應(yīng)的事件A與B.根據(jù)相互獨(dú)立來確定各自的概率,進(jìn)而建立概率函數(shù)關(guān)系式f(p),通過求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的變形與轉(zhuǎn)化,利用條件中當(dāng)p=p0時,f(p)最大,進(jìn)而來確定p0的值.
點(diǎn)評:合理巧妙借助生物知識與數(shù)學(xué)知識加以融合交匯,通過數(shù)學(xué)建模,結(jié)合概率中的相互獨(dú)立建立概率關(guān)系式,綜合導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用來確定相應(yīng)的最值問題,進(jìn)而確定滿足條件中的參數(shù)值.
例4臺灣是中國不可分割的一部分,解放軍在臺海地區(qū)組織實(shí)兵演練,展現(xiàn)的是捍衛(wèi)國家主權(quán)和領(lǐng)土完整的決心和能力.如圖2為我空軍戰(zhàn)機(jī)在海面上空繞臺巡航.已知海面上的大氣壓強(qiáng)是760mmHg,大氣壓強(qiáng)p(單位:mmHg)和高度h(單位:m)之間的關(guān)系為p=760e-hk(e是自然對數(shù)的底數(shù),k是常數(shù)),根據(jù)實(shí)驗(yàn)知500m高空處的大氣壓強(qiáng)是700mmHg,則我戰(zhàn)機(jī)在1 000m高空處的大氣壓強(qiáng)約是(結(jié)果保留整數(shù))( ).
圖2
A.645mmHgB.646mmHg
C.647mmHgD.648mmHg
分析:通過閱讀理解題目條件,結(jié)合關(guān)系式p=760e-hk中相關(guān)參數(shù)的分析,通過特殊的一組數(shù)值代入,得到相應(yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而再次代入對應(yīng)的數(shù)值,利用指數(shù)冪運(yùn)算加以轉(zhuǎn)化,從而確定對應(yīng)的大氣壓強(qiáng)值.
點(diǎn)評:合理巧妙借助地理知識與數(shù)學(xué)知識加以融合交匯,通過數(shù)學(xué)建模,綜合指數(shù)冪等代數(shù)運(yùn)算,巧妙處理實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問題.
例5在《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問題,原文如下:有物不知數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,問物幾何?即一個整數(shù)除以三余二,除以五余三,求這個整數(shù).設(shè)這個整數(shù)為a,當(dāng)a∈[1,500]時,則符合條件的所有a的和為______.
分析:根據(jù)題目中歷史問題加以翻譯轉(zhuǎn)化,設(shè)整數(shù)a所表示的關(guān)系式a=3m+2=5n+3,m,n∈N*,通過新參數(shù)之間關(guān)系式的建立,結(jié)合分類討論確定兩參數(shù)之間的關(guān)系,進(jìn)而合理數(shù)學(xué)建模,引入等差數(shù)列,結(jié)合等差數(shù)列的求和來確定.
解析:由題目條件,可設(shè)a=3m+2=5n+3,m,n∈N,則有3m=5n+1.
當(dāng)m=5k,k∈Z時,n不存在;
當(dāng)m=5k+1,k∈Z時,n不存在;
當(dāng)m=5k+2,k∈Z時,n=3k+1,滿足題意;
當(dāng)m=5k+3,k∈Z時,n不存在;
當(dāng)m=5k+4,k∈Z時,n不存在;
所以k=0,1,2,3,……,32,共有33個數(shù),且這些數(shù)組成以8為首項(xiàng),15為公差的等差數(shù)列.
點(diǎn)評:合理巧妙借助歷史知識與數(shù)學(xué)知識加以融合交匯,通過數(shù)學(xué)建模,把歷史中數(shù)學(xué)著作問題與實(shí)際數(shù)學(xué)相結(jié)合,通過條件的轉(zhuǎn)化確定相應(yīng)的等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的求和來解決實(shí)際問題.
數(shù)學(xué)與其他學(xué)科相融合的創(chuàng)新新情境數(shù)學(xué)試題,往往緊密聯(lián)系生活實(shí)際,滲透物理、化學(xué)、生物、地理、歷史等其他學(xué)科中的相關(guān)知識,數(shù)學(xué)建模,巧妙轉(zhuǎn)化,以考查考生的基礎(chǔ)知識和基本能力為主線,注重數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性,強(qiáng)調(diào)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,突出考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),深受命題專家的青睞.