?甘肅省民樂縣第一中學(xué) 展斌國

1 引言

創(chuàng)新類問題是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中的一道亮麗風(fēng)景線，幾乎每年高考試卷中都能見到她們的“倩影”.此類新穎問題在原有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上結(jié)合定義、性質(zhì)、公式、方法等視角加以創(chuàng)新，通過綜合與類比等思維的應(yīng)用，巧妙把相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)能力等加以合理融合，達(dá)到創(chuàng)新能力與創(chuàng)新應(yīng)用的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力的綜合，真正達(dá)到創(chuàng)新應(yīng)用的目的.

2 定義創(chuàng)新

分析：結(jié)合創(chuàng)新定義，利用待定系數(shù)法來分析與處理.通過改變相應(yīng)的二次曲線方程以及已知點(diǎn)的情況，抓住關(guān)系，引入系數(shù)，利用方程的轉(zhuǎn)化，結(jié)合方程的判別式，通過解答二次不等式的方式來破解取值范圍，從而確定相應(yīng)的最值.

點(diǎn)評(píng)：破解此類創(chuàng)新定義類問題時(shí)，關(guān)鍵是抓住題目中的定義，結(jié)合新規(guī)則的信息遷移，以及考生的閱讀理解、獲取信息、處理信息等能力，充分挖掘新定義的實(shí)質(zhì)，尋找新規(guī)則的內(nèi)涵，找出新規(guī)則的特點(diǎn)，依規(guī)則便可快速解題.

3 性質(zhì)創(chuàng)新

分析：結(jié)合創(chuàng)新性質(zhì)，設(shè)出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式并建立相應(yīng)的不等式，借助合理的運(yùn)算與數(shù)論知識(shí)來分析，進(jìn)而確定對應(yīng)的參數(shù)值.

故填答案：332.

點(diǎn)評(píng)：破解此類創(chuàng)新性質(zhì)類問題時(shí)，關(guān)鍵是建立創(chuàng)新性質(zhì)所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式、不等關(guān)系式等，尋找問題破解的切入點(diǎn)，有效融合創(chuàng)新意識(shí)與應(yīng)用意識(shí)，合理破解相應(yīng)的創(chuàng)新問題.

4 公式創(chuàng)新

例3“無字證明”是數(shù)學(xué)的一大創(chuàng)新應(yīng)用，其是將數(shù)學(xué)命題(公理、公式等)用簡單、有創(chuàng)意而且易于理解的幾何圖形直觀呈現(xiàn)出來.請根據(jù)給出的平面幾何圖形寫出該圖(如圖1)所驗(yàn)證的一個(gè)三角恒等變換公式：______.

圖1 圖2

分析：借助“無字證明”的創(chuàng)新設(shè)置，通過幾何圖形的呈現(xiàn)加以直觀分析，結(jié)合幾何圖形中線段的關(guān)系與三角函數(shù)的關(guān)系加以抽象與驗(yàn)證，提升對公式的理解與記憶.

解析：如圖2所示，令A(yù)C=1，∠ACB=α，∠BCE=β，則在Rt△ABC中，可得BC=cosα，AB=sinα.

在Rt△BCE中，BC=cosα，∠BCE=β，可得CE=cosαcosβ，EB=cosαsinβ；

在Rt△AFB中，AB=sinα，∠ABF=β，可得BF= sinαcosβ，AF=sinαsinβ.

則CD=CE-DE=CE-AF=cosαcosβ-sinα·sinβ，AD=EF=BF+EB=sinαcosβ+cosαsinβ.

而在Rt△ADC中，CD=cos(α+β)·AC=cos(α+β)，故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；

AD=sin(α+β)·AC=sin(α+β)，故sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

故答案為：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ或sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(答案不唯一)

點(diǎn)評(píng)：破解此類創(chuàng)新公式類問題時(shí)，關(guān)鍵是借助平面幾何圖形中線段的長度關(guān)系，結(jié)合直角三角形的三角函數(shù)定義加以合理推理論證.合理借助“無字證明”的創(chuàng)新設(shè)置，把三角恒等變換公式的推導(dǎo)直觀化，方便理解與記憶，把公式、圖形、應(yīng)用等有機(jī)融合，考查知識(shí)與能力的同時(shí)，考查直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

5 方法創(chuàng)新

例4根據(jù)下面公式的推導(dǎo)過程：

sin 3θ=sin(2θ+θ)=sin 2θcosθ+cos 2θsinθ=2sinθcos2θ+(1-2sin2θ)sinθ=2sinθ(1-sin2θ)+(sinθ-2sin3θ)=3sinθ-4sin3θ.

解答下列問題：

(1)證明：cos 3θ=4cos3θ-3cosθ；

分析：通過題目條件中公式的推導(dǎo)過程，類比對應(yīng)的證明方法來推導(dǎo)三倍角余弦公式；并利用公式的應(yīng)用合理化簡函數(shù)f(x)的解析式，尋找函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的充要條件，進(jìn)而確定實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析：(1)cos 3θ=cos(2θ+θ)=cos 2θcosθ- sin 2θsinθ=(2cos2θ-1)cosθ-2sin2θcosθ=2cos3θ-cosθ-2(1-cos2θ)cosθ=4cos3θ-3cosθ，即cos 3θ=4cos3θ-3cosθ；

=3-4cos2θ+mcosθ-5

=-4cos2θ+mcosθ-2.

點(diǎn)評(píng)：破解此類創(chuàng)新方法類問題時(shí)，關(guān)鍵是通過閱讀相關(guān)的方法加以合理類比與應(yīng)用，知識(shí)的拓展等來綜合處理.

6 結(jié)論

創(chuàng)新類問題經(jīng)常借助定義、性質(zhì)、公式、方法等方面的創(chuàng)新與應(yīng)用，結(jié)合約定的規(guī)則與要求，綜合數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法等加以合理融合，借助合理的推理論證、數(shù)學(xué)運(yùn)算等加以分析與處理，有效達(dá)到綜合考查數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力，以及解決數(shù)學(xué)問題的目的.具有較好的高考選拔性，很能體現(xiàn)考生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用.