謝 奕，王 偉

（天津師范大學數(shù)學科學學院，天津 300387）

近年來，對偶風險模型受到廣泛關注，與經(jīng)典風險模型[1-4]相比，它適合于連續(xù)支出費用且收益隨機的公司，如石油勘探公司、研發(fā)制藥公司，其中收益隨機可以解釋為未來的某一次發(fā)現(xiàn)或發(fā)明.許多學者對對偶風險模型進行了研究[5-12].最優(yōu)分紅問題是精算學的熱門研究課題之一.文獻[5]研究了對偶風險模型的最優(yōu)分紅問題，公司目標為最大化破產(chǎn)前期望分紅的折現(xiàn)值，分別得到了在收入額服從指數(shù)分布和混合指數(shù)分布時的值函數(shù)和最優(yōu)分紅策略的表達式.在現(xiàn)實的經(jīng)濟交易市場中，交易費用是一個不可回避的問題，它通常包括2個部分：比例費用和固定費用.如果目標函數(shù)中包含固定費用，就會產(chǎn)生一個脈沖控制問題，這個問題可通過使用隨機控制方法中的擬變分不等式解決.文獻[6]研究了一類對偶模型的最優(yōu)分紅問題，并且分紅帶有比例和固定交易費用，通過求解相應的擬變分不等式得到了值函數(shù)的顯式解和最優(yōu)策略.在實踐中，如果沒有足夠的償付能力，公司可以從市場上籌集新的資金，以繼續(xù)經(jīng)營，因此需要考慮注資問題，這是降低風險的重要途徑.文獻[7]考慮在對偶模型的最優(yōu)分紅中加入注資，以避免破產(chǎn)，研究目標相應變?yōu)樽畲蠡谕旨t與注資折現(xiàn)之差.

本文在文獻[6]的基礎上，加入擾動項和最優(yōu)注資問題，擾動項代表流動資產(chǎn)的微小變動，注資帶有比例費用.分析了值函數(shù)的性質(zhì)，建立相應的擬變分不等式，通過求解該擬變分不等式，得到在收入額服從指數(shù)分布時的最優(yōu)策略和值函數(shù)的顯式解，最后給出數(shù)值算例對所得結果進行了分析.

1 最優(yōu)分紅與注資問題

記（Ω，F(xiàn)，P）為概率空間，{B（t），t≥0}是一個標準Brown運動，其中{Ft，t≥0}滿足通常性條件.保險公司的盈余過程X（t）為一個對偶模型，即

其中：x≥0為初始盈余，c＞0為單位時間內(nèi)的花費速率，σ＞0為波動率；為復合Poisson過程，{N（t），t≥0}是參數(shù)為λ＞0的Poisson過程，{Yk}與{N（t）}相互獨立，表示歷次的收入額，其一階矩為μ＞0.

定義一個控制策略π=（τi，i=1，2，…；ξi，i=1，2，…；Gt），其中：{τi，i=1，2，…}為一列關于{Ft，t≥0}可測的遞增停時，表示分紅時間；{ξi，i=1，2，…}為一列非負隨機變量，表示在τi時刻支付給股東的分紅額；Gt表示從0到t時刻保險公司獲得的注資總額.考慮市場交易有摩擦，假設每次分紅支付ξi都會產(chǎn)生固定費用K≥0和比例交易額β1ξi，β1≥0為比例分紅費用因子.因此，從盈余中扣除的費用為=（1+β1）ξi+K.

在控制策略π下，盈余過程可表示為

考慮到實際情況，為了使保險公司盈余為正，在公司虧損和盈余小于固定費用K的情況下應禁止分紅，即

定義1若控制策略π滿足條件：

（1）{τi}是一列關于{Ft，t≥0}的停時，且0≤τ1＜τ2＜…＜τi＜…，i=1，2，…；

（2）0≤ξi≤（Xπ（τi）-K）/（1+β1）關于{Ft，t≥0}可測，i=1，2，…；

（3）{Gt，t≥0}關于{Ft，t≥0}可測；

則稱π為可行策略，所有可行策略的集合記為Π.

對于每個可行策略π∈Π，相應的目標函數(shù)為

其中：Ex表示初值為X（0）=x的條件期望；δ＞0為貼現(xiàn)因子；β2＞1為比例注資費用因子.為最大化目標函數(shù)J（x；π），需尋求最優(yōu)策略π*∈Π，使得

稱V（x）為值函數(shù).

2 值函數(shù)的性質(zhì)和擬變分不等式

定理1值函數(shù)V（x）滿足不等式

證明對于任意ε＞0，存在可行策略π1使得J（y；π1）≥V（y）-ε.對任意初始盈余x≥y，可定義如下可行策略：將x-y立即作為紅利分給股東，然后按照策略π1，公司盈余立即變?yōu)閥.則對于ε＞0，有

考慮一種特殊情況：公司沒有消耗，即c=0，那么所有的初始盈余和利潤都將作為紅利分給股東.由于沒有消耗，則不需要進行注資.由跳躍時間Tk服從Γ（λ，k）分布，則有

定理證畢.

定義2對于每個在[0，+∞）上的連續(xù)函數(shù)h，定義如下算子：

注當初始盈余x∈（0，K）時，由于此時的盈余都不足以支付交易費用，所以不進行分紅.若分紅策略是最優(yōu)的，則有Mh（x）=h（x）.定義集合Dh={x≥0；h（x）=Mh（x）}.

定義3若在[0，+∞）上的連續(xù)函數(shù)g（x）滿足條件：

則稱g（x）為滿足控制問題所對應的擬變分不等式的解.

3 值函數(shù)的顯式解與最優(yōu)策略

為得到值函數(shù)和最優(yōu)控制策略，考慮收入額服從指數(shù)分布的情形，即

其中Ai，i=1、2、3為常數(shù).

考慮貨幣的時間價值，盡可能長時間推遲發(fā)行新股是最優(yōu)的，即盡量推遲注資，則有

將上式和邊界條件?（0）=0代入式（13），整理得

由于存在固定費用，考慮采用雙邊界最優(yōu)脈沖控制策略.當盈余沒有達到或超過上邊界b*時，不支付分紅，一旦達到或者超過b*，將超過下邊界a*的盈余作為分紅支付給股東，則值函數(shù)為

即，當盈余沒有達到或超過b*時，不會進行分紅，一旦超過b*則進行分紅，并且分紅額為超過a*的部分.

即只有當盈余小于等于0時才進行注資，盈余大于0時不進行注資.

對于最優(yōu)策略π?，有?（x）=V（x）=J（x；π?）.

證明（1）由定義有V（0）=0，即式（6）成立.

（2）由式（20）有

③對于x≥b*，由定義有MV（x）=V（x）.

綜上，式（8）成立.

（4）由V（x）的表達式可知，在x∈[0，b*]這個范圍內(nèi)，有AV（x）-δV（x）=0.對于x＞b*，有V′（x）=1/（1+β1），則AV（x）=（λμ-c）/（1+β1）.利用V（x）在x=b*的連續(xù)性可得

因此式（9）成立.

（5）當x=0時，有V′（x）=β2；當x∈（0，b*）時，有AV（x）-δV（x）=0；當x∈[b*，+∞)時，有MV（x）=V（x）.因此式（10）成立.

綜上可得，V（x）是滿足擬變分不等式（6）—（10）的解，且π?為最優(yōu)策略.定理證畢.

4 數(shù)值算例

設c=1，δ=0.1，λ=1，α=0.5，β1=0.01，研究擾動σ、注資比例費用因子β2和分紅固定交易費用K對值函數(shù)V（x）及雙邊界策略a*和b*的影響.

情況1取β2=1.1，K=5.當σ=0.5、0.7和0.9時，V（x）的圖像見圖1.由圖1可見，擾動越大，值函數(shù)越大，當初始盈余x增大到一定值時，擾動的增加對值函數(shù)影響不大.同時，計算得到當σ=0.5、0.7和0.9時，a*=0.201 6、0.223 2和0.250 0，b*=7.957 9、8.321 9和8.766 7，這說明隨著擾動的增大，邊界a*和b*也增大.

圖1 σ分別取0.5、0.7和0.9的值函數(shù)Fig.1 Value functions whenσis equal to 0.5，0.7 and 0.9 respectively

情況2取σ=0.8，K=5.當β2=1.1、1.2和1.5時，V（x）的圖像見圖2.由圖2可見，注資比例費用因子越大，值函數(shù)越大.同時，當β2=1.1、1.2和1.5時，a*=0.236 0、0.435 2和0.967 8，b*=8.535 1、9.029 7和10.731 8，這說明隨著注資比例費用因子的增大，雙邊界也增大.

情況3取σ=0.8，β2=1.2.當K=1、5和7時，V（x）的圖像見圖3.由圖3可見，分紅固定交易費用越大，值函數(shù)越小.當K=1、5和7時，a*=0.435 27、0.435 26和0.435 26，b*=3.288 02、9.029 68和12.232 28，這說明當分紅固定交易費用增大時，邊界策略a*會緩慢減小，邊界策略b*會增大.

圖3 K分別取1、5和7的值函數(shù)Fig.3 Value functions when K is equal to 1，5 and 7 respectively

5 結論

本文基于帶擾動的對偶風險模型，研究最優(yōu)分紅與注資的控制問題，分紅和注資都帶有交易費用.通過求解相應的擬變分不等式，得到值函數(shù)的顯式解和最優(yōu)策略.數(shù)值算例結果表明，擾動、注資和分紅的交易費用對值函數(shù)和雙邊界策略均有影響.此外，在本文的基礎上，還可以考慮時間偏好不一致模型和注資帶有固定交易費用的情況，這是下一步的研究內(nèi)容.