段韻達 胡恒山

(哈爾濱工業(yè)大學航天科學與力學系,哈爾濱 150001)

無限大平面剛性障板中圓形活塞源的聲輻射場可近似為軸對稱指向性球面波,前人只給出了活塞面與界面平行時軸對稱指向性球面波的界面響應表達式,本文針對活塞面與界面不平行的情況,推導了軸對稱指向性球面波的錐面波展開式,并進一步導出了其界面反射波的表達式.在源距遠大于聲波波長的情況下通過鞍點法將界面反射波的表達式化簡為了簡化表達式.簡化式不僅計算上簡潔,而且物理含義清楚:軸對稱指向性球面波的界面反射波可視為鏡像活塞源激發(fā)的軸對稱指向性球面波與反射系數(shù)的乘積.計算表明,當活塞半徑小于聲波波長時,反射波對活塞與界面的夾角和接收點的環(huán)向方位角不太敏感,反射波的指向性較弱;當活塞半徑大于聲波波長時,反射波對活塞與界面的夾角和接收點的環(huán)向方位角很敏感,反射波的指向性很強.增加活塞與界面的夾角,反射波先增加后減小,反射波的指向性先增強后減弱;當活塞與界面的夾角等于活塞中心鏡像點與接收點的連線與界面法線的夾角時,反射波最大,反射波的指向性最強.

1 引言

聲波是海洋中探測目標和傳遞信息的有效工具,而聲納是利用聲波獲取水下信息的儀器,被廣泛用于海洋軍事和地質勘探[1,2].聲納的重要組成之一是換能器,換能器類型多種多樣,其中復合棒換能器是目前應用最為普遍的換能器之一,由于它產(chǎn)生的是一種類似于活塞式的振動,因而也稱為活塞式換能器或縱向換能器[1,3].聲源通常嵌入到一堅硬面板中,使聲源的輻射場只存在于面板的單側空間,并使該側空間內的聲輻射場比無面板時更大,此時該面板稱為障板[4].障板可以是球形、圓柱或平面,其中平面障板是最基本的障板模型,當聲波波長遠小于障板尺度時,有限平面障板模型可由無限大平面障板模型描述[5,6].多個活塞安裝在障板上形成陣列,可提高聲源的發(fā)射功率,使聲輻射集中于同一方向,更有利于定位水下目標[7].

無限大平面剛性障板中圓形活塞源的聲輻射是經(jīng)典的聲輻射模型[8-10],其中活塞面內所有的面元從零時刻開始以相同的速度沿活塞軸線方向振動,障板與活塞面共面,障板在任意時刻都不會發(fā)生變形和運動.當活塞中心到接收點的距離遠大于活塞半徑時,無限大平面剛性障板中圓形活塞(簡稱為障板活塞)的聲輻射場可近似為一種軸對稱指向性球面波(軸對稱是指波場關于活塞的軸線對稱),即[4]

式中第2 個等號的左邊為障板活塞源的輻射場,右邊為軸對稱指向性球面波;pf是流體中的聲壓(流體可以是水或者空氣),a為活塞半徑,kf是流體中的聲波波數(shù);RMP為接收點M到活塞面上任意點P的距離,SP為圓形活塞面,RME為接收點M到活塞中心E的距離;D(θME) 為指向性函數(shù),有

其中J1為一階第一類貝塞爾函數(shù),θME為接收點M與活塞中心E的連線與活塞軸線的夾角,D(θME)的量綱為1;A(ω) 為聲壓源的頻譜(單位為Pa),有

其中v0(ω)為活塞振動速度,ρf為流體密度,ω為角頻率,i 為單位虛數(shù).這種軸對稱指向性球面波的輻射阻抗和指向特征對指導水下?lián)Q能器設計[6,11]、水雷探測器設計[12]、隧道微壓波計算[13]和醫(yī)學超聲渦旋聲場設計[14]有著重要意義.

前面介紹了軸對稱指向性球面波在聲輻射方面的諸多研究,但軸對稱指向性球面波的界面響應卻少見報道.Amédin 等[15]針對孔隙介質夾層介于障板活塞與空氣之間的情況,推導了障板活塞源的聲輻射場對孔隙介質-空氣界面的響應表達式,當孔隙介質夾層厚度遠大于活塞半徑時,該障板活塞源的界面響應式等于軸對稱指向性球面波的界面響應式.Wang和Cho[16]考慮了各向異性孔隙介質夾層介于障板活塞與空氣之間的情況,當孔隙介質夾層厚度遠大于活塞半徑時,Wang和Cho 給出的障板活塞源的界面響應式等于軸對稱指向性球面波的界面響應式.Schakel 等[17-19]為了檢驗孔隙介質動電效應理論[20,21]的有效性,推導了指向性球面聲波入射流體-孔隙介質界面的響應式.文獻[15-19]都是基于人為設計的實驗模型給出軸對稱指向性球面波的界面響應式,由于實驗模型中活塞面與界面平行,所以他們只考慮活塞面與界面平行這一特殊情況,但從理論模型的角度看,活塞面與界面不平行的情況比兩者平行的情況更為一般,然而目前未見活塞與界面不平行時軸對稱指向性球面波的界面響應式的文獻報道.從應用的角度看,海洋地震勘探和水下目標探測時活塞面與界面通常不平行[5,22],在沒有理論公式的情況下,雖然可通過數(shù)值仿真模擬軸對稱指向性球面波的界面反射波,然而當目標界面遠離活塞面和接收點時,數(shù)值仿真將面臨很大的計算量和很長的計算時間,這不利于海底儲層和水下目標的探測.因此,本文以軸對稱指向性球面波從流體入射固體界面為例,推導活塞面不平行于界面時軸對稱指向性球面波的界面反射波的表達式,完善障板活塞源的聲輻射場的界面響應理論;推導軸對稱指向性球面波的界面反射波的簡化表達式,為障板活塞型聲源快速探測水下界面提供思路.

2 軸對稱指向性球面波的錐面波展開

欲得均勻球面波的界面反射波需先導出均勻球面波的錐面波展開式[23],類似地,欲得軸對稱指向性球面波的界面反射波,需先導出軸對稱指向性球面波的錐面波展開式.由(1)式知RME ?a時障板活塞源輻射場近似為軸對稱指向性球面波,因而本節(jié)從障板活塞源輻射場出發(fā),先導出障板活塞源輻射場的錐面波展開式,再令RME ?a,則該錐面波展開式近似為軸對稱指向性球面波的錐面波展開式.圖1 是無限大平面剛性障板中的圓形活塞與界面的示意圖,坐標系建立的方式為:從圓形活塞中心E向界面作垂線,交點為O,以EO的連線為z軸,方向向下;使活塞軸線與界面相交,該交點與O點的連線為x軸,方向向右,Oxyz構成右手直角坐標系;使Oxy面與界面重合.活塞中心E到界面的距離為dE,活塞軸線與界面法線的夾角為α,亦即活塞面與界面的夾角為α.本節(jié)只考慮入射波的情況,下節(jié)再考慮界面反射波的情況.

圖1 無限大平面剛性障板中的圓形活塞與界面的示意圖Fig.1.Schematic diagram of a piston in an infinite plane rigid baffle and an interface.

2.1 障板活塞源輻射場的錐面波展開式

無限大平面剛性障板中圓形活塞的模型如圖1所示,圖中P是活塞面內的點,M為接收點,由(1)式可知障板活塞源的聲壓輻射場為[4]

(4)式表明障板活塞源的輻射場可視為活塞面SP內頻譜為的點源輻射場在M點處疊加(點源指均勻球面波的點源,下文均為該含義),所以可利用均勻球面波的錐面波展開式處理(4)式.均勻球面波的錐面波展開式為[23]

由于徑向波數(shù)kr及kr積分的上下限均與空間坐標無關,所以可以交換(6)式中的積分次序,得

由圖1 知,圓形活塞的面元 dSP與其在Oxy面的投影面元 dSF滿足

這表明圓形活塞面SP在Oxy面的投影SF是一個橢圓,并且該橢圓的周線方程在直角坐標系和極坐標系下可分別寫為

記P點在Oxy面上的投影點為F,由(8)式可知

其中dE為活塞中心E到Oxy面的距離,-acosα≤xF≤acosα(因xF位于橢圓SF內).由于P在Oxy面上的投影為F,所以rMPrMF,將rMPrMF,(8)式和(10)式代入(7)式得

其中

由貝塞爾函數(shù)加法定理可得[24]

其中εn為紐曼因子,滿足ε01,而n≥1時εn2 ;rM和rF分別為M點和F點的徑向坐標,φM和φF分別為M點和F點的環(huán)向坐標(見圖1).將(13)式代入(12)式,并交換積分和求和的次序得

其中

利用三角關系,可將(15)式改寫為

觀察(16)式第二行的積分式可知,n≥1 時Jn(krrF)和 exp(ikzxFtanα)均關于φF0對稱,而sin(nφF)關于φF0反對稱,又橢圓面SF關于φF0 對稱(見(9)式),所以n≥1 時(16)式第二行的積分式為零.此外,n0 時 sin(nφF)0,所以綜上知n≥0時(16)式第二行的積分項為零,得

其中

將(17)式和(14)式代入(11)式得障板活塞源輻射場的錐面波展開式

其中Gn由(18)式表達.(19)式表明障板活塞源的輻射場可視為頂點位于z軸zM-dE處的多階錐面波在M點處的疊加.因(4)式推倒到(19)式的過程中沒有用到任何近似條件,而(4)式適用于任意場點[4],所以(19)式也適用于任意場點.

2.2 軸對稱指向性球面波的錐面波展開式

由(1)式可知,當活塞中心E到接收點M的距離遠大于活塞半徑時(RME ?a),障板活塞源輻射場(4)式近似為軸對稱指向性球面波,所以RME ?a時障板活塞源輻射場的錐面波展開式(19)近似為軸對稱指向性球面波的錐面波展開式.RME ?a時(19)式不僅能用來推導軸對稱指向性球面波的界面反射波,也能用來推導界面透射波,本文關注的是界面反射波.

2.3 算例檢驗

前文看到,RME ?a時(19)式為軸對稱指向性球面波的錐面波展開式,而RME ?a時(1)式為軸對稱指向性球面波(即(1)式中的exp(ikfRME)),所以RME ?a時(19)式應等于(1)式.因此,這里為了檢驗(19)式,在RME ?a的條件下比較(19)式和(1)式.

由軸對稱指向性球面波的表達式(1)式和(2)式知,參數(shù)kfa控制了障板活塞源的指向能力(kf為流體中聲波波長,a為活塞半徑),因而本文考慮兩類活塞,一類是活塞半徑小于聲波波長的小活塞,即a＜λ,而另一類是活塞半徑大于聲波波長的大活塞,即a ＞λ.(19)式中的A為聲源頻譜,設聲源波形為余弦包絡脈沖函數(shù),脈沖長度為0.5 ms,中心頻率為6 kHz,頻率范圍為2—10 kHz(高頻海洋地震勘探的聲源頻段[25]),則有λ0.15—0.75 m,所以設小活塞的半徑為a0.1 m,大活塞的半徑為a1 m .設距離小活塞源1 m 處的聲壓為 105Pa,距大活塞源1 m 處的聲壓為 107Pa.對于流體中的入射波而言,只需考慮流體的參數(shù)(見表1),設流體的品質因子為100.(19)式和(1)式乘以聲源頻譜函數(shù)可得頻域波形,再經(jīng)傅里葉變換可得時域波形.

表1 流體和固體參數(shù)Table 1.Parameters of fluid and solid.

設活塞中心E位于z軸上z-dE-25 m處,活塞面與Oxy面的夾角α30°,接收點M位于 (rM,φM,zM)(21.65,0,-12.5),其中rM,φM和zM的單位分別為米、度和米,則有RME25 m?1 ≥a,因而RME ?a條件滿足.由M點與E點的位置可知(參考圖1),M點位于Oxz面,線段ME與z軸的夾角為 60°,ME與活塞軸線的夾角為 30°,因而M點與O點關于活塞的軸線對稱,則M與O點的聲壓應相等.記錐面波展開式(19)在M點處的計算結果為pf(M),(19)式在O點處的計算結果為pf(O),(1)式在RME25 m且θME30°下的計算結果為pf0.圖2 給出了pf(M) ,pf(O)和pf0的計算結果,其中圖2(a)和圖2(b)分別對應a0.1 m和a1 m,即分別對應小活塞和大活塞.圖2(a)和圖2(b)表明pf(M),pf(O)和pf0幾乎沒有區(qū)別,因此RME ?a時軸對稱指向性球面波的錐面波展開式(19)與軸對稱指向性球面波(1)式一致.

圖2 pf(M) ,pf(O) 和 pf0的時域波形 (a) a=0.1 m ;(b)a=1 mFig.2.Time-domain waveforms of pf(M),pf(O)and pf0 :(a) a=0.1 m;(b) a=1 m .

3 軸對稱指向性球面波的界面反射波的表達式

前文表明RME ?a時障板活塞源輻射場的錐面波展開式(19)近似為軸對稱指向性球面波的錐面波展開式,由此可知RME ?a時障板活塞源輻射場的界面反射波表達式近似為軸對稱指向性球面波的界面反射波表達式,因此本節(jié)先推導障板活塞源輻射場的界面反射波表達式,再令RME ?a即得軸對稱指向性球面波的界面反射波表達式.圖3 給出了活塞面關于界面的鏡像,圖中活塞SP1為活塞SP的鏡像,E1為E的鏡像,P1為P的鏡像,M為反射波的接收點,M2為M在Oxy面上的投影點.

圖3 活塞面關于界面的鏡像Fig.3.Mirror image of the piston surface with respect to the interface.

參考錐面波展開式(19)的形式,設障板活塞源輻射場的界面反射波為

其中M點為反射波的接收點,BnBn(kr) 為待定系數(shù),需通過邊界條件確定,具體過程為:參考(19)式的形式先列出透射縱波和橫波的表達式,再將它們和(20)式代入流體-固體界面邊界連續(xù)條件可得Bn滿足的線性方程組,最后求解該線性方程組即得Bn.然而,我們并不打算通過上述方式求解Bn以獲得界面反射波的表達,因為由(1)式注意到障板活塞源的輻射場等于活塞面SP上點源輻射場的疊加,則障板活塞源輻射場的界面反射波等于活塞面SP上點源輻射場的界面反射波的疊加.對于活塞面SP上的單個點源P而言,其界面反射波為[23]

由于徑向波數(shù)kr及kr的積分上下限均與空間坐標無關,所以可以交換(22)式中的積分次序,得

由于P1為P的鏡像,所以由(10)式得

由 于SP在Oxy面的投影為SF,而SP和關 于Oxy面對稱,所以SP1面在Oxy面的投影也是SF(參照圖3),則有·cosαdSF和rMF,再將這兩式代入(23)式得

將(24)式代入(25)式得

其中

其中Gn由(18)式表達;εn為紐曼因子,滿足ε01,而n≥1時εn2 .至此,我們導出了活塞面與界面不平行時障板活塞源的界面反射波表達式(28)式,令?a則(28)式近似為活塞面與界面不平行時軸對稱指向性球面波的界面反射波表達式,相比前人只考慮活塞面與界面平行的情況而言[15-19],(28)式完善了軸對稱指向性球面波的界面響應理論.比較(28)式和(20)式可知BnεnB(kr),而B(kr)已由前人給出[23],所以無需求解Bn滿足的線性方程組,通過點源疊加的方式就可以獲得軸對稱指向性球面波的界面反射波.此外,前文的算例表明RME ?a時軸對稱指向性球面波的錐面波展開式(19)正確,而這里從(19)式到(28)式的過程中用的都是恒等式,因而RME ?a時軸對稱指向性球面波的界面反射波(28)式也正確,從而無需再通過算例檢驗(28)式.

4 軸對稱指向性球面波的界面反射波的簡化表達式

當活塞半徑遠小于聲波波長 (a ?λ) 時有kfa ?1,代入(2)式得D(θME)→1,即指向性函數(shù)幾乎不隨M點的方位改變,則由(1)式知軸對稱指向性球面波退化為均勻球面波,從而其界面反射波退化為均勻面波的界面反射波,因此a ?λ的情況無需研究,而對于a不遠小于λ的一般情況,本文研究軸對稱指向性球面波的界面反射波的簡化表達式.海洋地震勘探[25]和水下目標超聲探測[26,27]時,活塞中心E關于界面的鏡像E1到接收點M的距離通常遠大于聲波波長(?λ),則鞍點法的使用條件?1 得到滿足,從而可用鞍點法化簡軸對稱指向性球面波的界面反射波的表達式(28).

4.1 基于鞍點法的簡化表達式

由圖3 可知 (zM -dE)-|zM -dE|,將其代入(28)式,再將n寫為偶數(shù)和奇數(shù)階的形式得

由貝塞爾函數(shù)教材可知[28]J2m(x)J2m(-x)和J2m+1(x)-J2m+1(-x),其中m0,1,2,3,···,再代入(18)式得

由貝塞爾函數(shù)教材可知[28]

利用(30)式和(31)式,并考慮到kz和B(kr) 是關于kr的偶函數(shù)[23],則(29)式可改寫為

再將(33)式代入(32)式得

其中

其中Gn(kr) 由(18)式表達.由附錄A 可知,最速下降路徑和鞍點是由e 指數(shù)函數(shù)中的宗量決定,因而需確定(34)式中所有的e 指數(shù)函數(shù).(34)式中B(kr)是平面波的反射系數(shù),不是e 指數(shù)函數(shù)[23],而G*(kr) 也不是e 指數(shù)函數(shù)(見附錄B),因此(34)式中只有 exp[i(krrM+kz|zM -dE|)] 是e 指數(shù)函數(shù),則(34)式可改寫為

由圖3 知M2是M在Oxy面的投影,E1是E在Oxy面的投影,則MM2與OE1平行,OM2垂直于OE1,又rM,所以

其中θME為M與E的連線與活塞SP軸線的夾角.由(42)式可得

其中 (rM,φM,zM) 為M點的柱坐標(見圖3).比較反射波簡化式(44)和入射波(1)式可知,軸對稱指向性球面波的反射波可視為鏡像源的波乘以反射系數(shù)B,其中鏡像源的波指鏡像活塞面激發(fā)的軸對稱指向性球面波.因此簡化式(44)的物理含義比(28)式更為清楚.此外,與(28)式相比,簡化式(44)無需計算貝塞爾函數(shù)在橢圓面上積分、不同階錐面波的求和及波數(shù)域的積分,所以簡化式(44)省去了巨大的計算量,減少了大量計算時間.另外,需要說明的是,(1)式表明當活塞中心到接收點的距離遠大于活塞半徑時(RME ?a),障板活塞源輻射場近似為軸對稱指向性球面波,所以我們考慮軸對稱指向性球面波時應默認RME ?a成立,從而考慮其界面反射波時有?a成立.因此簡化式(44)的成立條件是?a和?1同時成立,其中?1 是鞍點法的使用條件,而?a是默認成立的條件.

值得一提的是,簡化式(44)也可用另一種更為簡單的方式導出.因考慮軸對稱指向性球面波的界面反射波時默認?a成立,則由?1條件可導出?1,即對于活塞面上任意一點P鞍點法的使用條件成立,所以可通過鞍點法將活塞面SP上單個點源P的輻射場的界面反射波(21)式化簡為[23]

再利用(1)式可得

最后將(49)式代入(48)式即得簡化式(44).

4.2 算例檢驗

本節(jié)通過算例檢驗簡化式(44)的正確性,即比較(44)式和(28)式的一致性.聲源設定與前文算例相同,流體和固體參數(shù)見表1,地層縱波和橫波的品質因子分別為80和60,流體中聲波的品質因子為 100 .

參照圖3,設活塞面SP與界面Oxy的夾角為α30°,活塞中心E與界面的距離為dE5 m,則E點位于z軸上z-dE-5 m 處;設接收點M的位置為,其中rM,φM和zM的單位分別為米(m)、度(°)和米(m),此后默認為該單位.由M點和E1點的坐標可知20 m?1 m,而小活塞和大活塞的半徑分別為a0.1 m和a1 m,所以有?a;由于流體中聲波波長為λ0.15—0.75 m,則/λ≥26.7 m?1 m,所以鞍點法的使用條件?1成立.綜上可得?a和?1 成立,則簡化式(44)可以用來計算軸對稱指向性球面波的界面反射波.

記(28)式和簡化式(44)計算幅度譜分別為Pref和Pref_jian.圖4 為Pref與Pref_jian的比較,其中圖4(a)對應a0.1 m 時快速地層,圖4(b)對應a0.1 m時慢速地層,圖4(c)對應a1 m 時快速地層,圖4(d)對應a1 m 時慢速地層.圖4(a)—圖4(d)表明,無論快速地層還是慢速地層,無論小活塞還是大活塞,均有Pref_jian與Pref一致,因此簡化式(44)與(28)式一致,即簡化式(44)正確.另外,因簡化式(44)是通過鞍點法導出的,所以鞍點法的使用條件?1 決定了簡化式(44)的適用范圍.上述算例中聲源頻率為高頻海洋地震勘探頻率(2—10 kHz),并且有20 m,所以簡化式(44)適用于≥20 m 的高頻海洋地震勘探問題,由于活塞中心E距地層界面 10 m 以上還是容易滿足的,所以簡化式(44)有著較為廣泛的適用范圍.另外,超聲頻率下(f ＞ 20 kHz),≥1 m 時簡化式(44)也是適用的,但這里不再給出具體算例.

圖4 Pref與 Pref_jian的比較 (a) a=0.1 m且快速地層;(b) a=0.1 m且慢速地層;(c) a=1 m且快速地層;(d) a=1 m 且慢速地層Fig.4.Comparison of Prefand Pref_jian:(a) a=0.1 mand fast formation;(b) a=0.1 mand slow formation;(c) a=1 m and fast formation;(d) a=1 m and slow formation.

5 位置參數(shù)對界面反射波的影響

本節(jié)基于簡化式(44),研究活塞面與界面的夾角α、接收點M的環(huán)向方位角φM和線段ME1與界面法線的夾角對軸對稱指向性球面波的界面反射波的影響,其中接收點M的位置由柱坐標(rM,φM,zM)描述(見圖3),活塞中心E位于(0,0,-dE),則活塞中心鏡像E1位于 (0,0,dE) .由于活塞源嵌入無限大障板中,所以障板背面不存在活塞源的輻射場,例如當活塞與界面的夾角為α90°時,由圖3 可知源的輻射場(即入射波)只存在于x≥0的半空間,而當α0°時源的輻射場只存在于z≥-dE的半空間;因此對于α0°—90°的活塞源而言,設界面反射波的接收點M位于x≥0 且-dE≤z≤0的空間.聲源設定與第4 節(jié)一致,流體和固體地層參數(shù)見表1,流體中聲波品質因子為100,固體中縱波和橫波的品質因子分別為80和60.

5.1 活塞與界面的夾角的影響

記過活塞軸線且與界面垂直的面為η面,則φM0°時M位于η面,φM90°時M位于與η面垂直的面.設活塞中心E位于z軸上z-dE-10 m處,反射波接收點M位于(rM,φM,zM)0,-10),其中rM,φM和zM的單位分別為米(m)、度(°)和米(m),此后默認為該單位.參考圖3 可知,M位于η面,并且βME1∠ME1O60°.地層取為快速地層,見表1.圖5 給出了不同夾角α下在M點處的反射波,其中圖5(a)和圖5(b)分別對應a0.1 m和a1 m .由圖5(a)可知,小活塞源(a＜λ)的輻射場的界面反射波隨α變化不大,波形隨α增加出現(xiàn)先增后減的現(xiàn)象,并且與活塞面和界面平行時(α0°)的結果相差不大.由圖5(b)可知,大活塞源 (a ＞λ) 的輻射場的界面反射波隨α顯著改變,波形隨著α的增加出現(xiàn)先增后減的現(xiàn)象,并且α30°和α90°下的波形相等.慢速地層下的結果類似,結論同上.接下來對圖5 的結果做出解釋,由于a＜λ時入射波的指向性函數(shù)D隨θ的改變不太敏感,所以小活塞源的輻射場的指向性較弱,因而其界面反射波隨α的改變不大(見圖5(a)),而a ＞λ時情況相反(見圖5(b)).(44)式表明軸對稱指向性球面波的界面反射波可以視為鏡像活塞源激發(fā)的波(下文簡稱鏡像源的波)與反射系數(shù)B的乘積,由于圖5 中變化的位置參數(shù)只有α,則由(45)式和(2)式可知鏡像源的波受影響,而反射系數(shù)B不受影響,所以鏡像源的波隨α的變化規(guī)律即界面反射波隨α的變化規(guī)律.對于圖5 而言,α60°時鏡像活塞軸線經(jīng)過M點,得(見圖3),則D取得最大值1,此時M點處鏡像源的波取得最大值;由于圖5中不變,則從 0°開始增加α直至 90°的過程中,鏡像活塞軸線先接近M點再遠離M點,所以M點處鏡像源的波先增大后減小.因此,由鏡像源的波隨α的變化規(guī)律可知,圖5 中界面反射波隨α的增加而先增大后減小,并且在α60°處取得最大值.此外,圖5 中α30°和α90°下的鏡像活塞軸線關于ME1對稱,則α30°和α90°下的界面反射波也關于ME1對稱,又因M點接收的是聲壓,所以圖5 中α30°和α90°下的界面反射波相等.

圖5 不同夾角α下在M 點(200,-10)處的反射波(a)a=0.1m;(b)a=1 mFig.5.Reflected wave under different included angleαfor pointMat (200,-10):(a)a=0.1 m;(b) a=1 m .

前面算例表明,在給定M點 (rM,φM,zM)和E1點 (0,0,dE) 的情況下,改變α則鏡像活塞的軸線與M點的距離d改變,又因不隨α改變,所以最小的d值對應鏡像源的波最大(見(44)式、(45)式和(2)式).因此,需要找到使d最小的α值,從而判斷鏡像源的波隨α的變化規(guī)律,繼而判斷界面反射波隨α的變化規(guī)律.由圖3 知鏡像活塞的軸線與M點的距離d等于,則由(45)式知

在給定M點 (rM,φM,zM)和E1點 (0,0,dE) 的情況下,求d的導數(shù)零點(d對α的導數(shù))可得

由于d的二階導數(shù)在αα*處大于零,所以αα*時鏡像活塞軸線與M點的距離d最小,此時M點處鏡像源的波最大.由于反射系數(shù)不隨α改變,則鏡像源的波隨α的變化規(guī)律即界面反射波隨α的變化規(guī)律,所以αα*時M點處的界面反射波最大.因此 0°≤α＜α*時界面反射隨α增加而增大,α*≤α≤90°時界面反射隨α增加而減小.

圖6 給出了不同夾角α下在M點45,-10)處(此時M點離開η面)的反射波,其中圖6(a)和圖6(b)分別對應a0.1 m和a1 m .由圖6(a)可知,小活塞源 (a＜λ) 的輻射場的界面反射波隨α變化較小,與活塞面和界面平行時(α0°)的結果相差較小.由圖6(b)可知大活塞源 (a ＞λ) 的輻射場的界面反射波隨α改變明顯,波形隨著α的增加出現(xiàn)先增后減的現(xiàn)象.慢速地層下的結果類似,結論同上.圖7 給出了不同夾角α下在M點90,-10)處(此時M點位于與η面垂直的平面)的反射波,其中圖7(a)和圖7(b)分別對應a0.1 m和a1 m .由圖7(a)可知,小活塞源 (a＜λ) 的輻射場的界面反射波幾乎不隨α變化,與活塞面和界面平行時(α0°)的結果幾乎沒有差別.由圖7(b)可知大活塞源 (a ＞λ) 的輻射場的界面反射波隨α改變較為明顯,波形隨著α的增加而減小,不同于圖6 中波形隨著α的增加而先增后減.慢速地層下的結果類似,結論同上.接下來對上述結果做出解釋,由(51)式知圖6 對應α*50.8°,則界面反射波在αα*50.8°處最大,所以波形隨α的增加而先增后減;由(51)式知圖7對應α*0°,則界面反射波在αα*0°處最大,所以波形隨α增加而減小.

圖6 不同夾角α下在M點45,-10)處的反射波(a)a=0.1m;(b)a=1 mFig.6.Reflected wave under different included angleαfor point M at 45,-10):(a) a=0.1 m;(b) a=1 m .

圖7 不同夾角α 下在M 點 90,-10)處的反射波 (a) a=0.1 m;(b)a=1 mFig.7.Reflected wave under different included angle α for point M at 90,-10):(a) a=0.1 m;(b) a=1 m.

5.2 接收點的環(huán)向方位角的影響

由于障板背面無輻射場存在,則有意義的方位角范圍為φM-90°—90°.由圖3 知活塞和界面均關于Oxz面對稱,又M點接收的是流體中的聲壓,所以φM0°—90°范圍的界面反射波與φM-90°—0°范圍的界面反射波對稱且相等.設活塞中心E位于 (0,0,-10),則E的鏡像E1位于 (0,0,10),設接收點M的位置為φM,-10),得40 m和60°,并且和不隨φM改變.地層取為快速地層,見表1.

圖8 給出了α45°時不同φM下的界面反射波和其指向圖,其中指向圖是向φM0°處的波形的最大幅度歸一,圖8(a)對應a0.1 m 時的反射波,圖8(b)對應a0.1 m 時的指向圖,圖8(c)對應a1 m時的反射波,圖8(d)對應a1 m 時的指向圖.由圖8(a)和圖8(c)可知,反射波在φM0°處最大,并且隨著φM的增加而減小.因不隨φM改變,則反射系數(shù)也不隨φM改變(見(45)式),所以鏡像源的波隨φM的變化規(guī)律決定了反射波隨φM的變化規(guī)律;由于鏡像活塞的軸線位于φ0°面(即Oxz面,見圖3),且不變,則增加φM導致M點與鏡像活塞軸線的距離增加,所以鏡像源的波減小,因而反射波在φM0°處最大,并且隨φM的增加而減小.另外,比較圖8(a)和圖8(c)可知,小活塞情況下反射波隨φM的增加緩慢減小,而大活塞情況下反射波隨φM的增加迅速減小,所以大活塞情況下反射波對φM更為敏感.此外,比較圖8(b)和圖8(d)可知,大活塞情況下的反射波的指向性強于小活塞,這是因為在反射系數(shù)不變的情況下,鏡像活塞源的輻射場的指向性決定了反射波的指向性,而由(2)式可知大活塞源的輻射場的指向性強于小活塞源,那么其反射波的指向性也強于小活塞.

圖8 α=45°時不同 φM下的反射波和其指向圖 (a) a=0.1 m時的反射波;(b) a=0.1 m時的指向圖;(c) a=1 m 時的反射波;(d) a=1 m 時的指向圖Fig.8.Reflected waves and directional diagrams at different azimuths φMfor α=45°:(a) Reflected waves for a=0.1 m ;(b) directional diagram for a=0.1 m;(c) reflected waves for a=1 m;(d) directional diagram for a=1 m .

圖9 給出了不同α下的反射波的指向圖,其中圖9(a)和圖9(b)分別對應a0.1 m和a1 m .由圖9(a)和圖9(b)可知有兩個特征存在:小活塞情況下反射波的指向性對α的改變不太敏感,而大活塞情況下反射波的指向性對α的改變很敏感;反射波的指向性隨α的增加出現(xiàn)先增后減的現(xiàn)象.第一個特征的出現(xiàn)是因為α的改變不影響反射系數(shù),則鏡像活塞源的輻射場的指向性決定了反射波的指向性,由于鏡像小活塞源的指向性較弱,所以反射波的指向性對α的改變不太敏感,由于鏡像大活塞源的指向性強,所以反射波的指向性對α的改變很敏感.第二個特征的出現(xiàn)是因為且φM0°時鏡像活塞的軸線通過M點,對應鏡像源的波最大,又60°(由M點E1點的位置確定,但不隨φM改變),則α60°且φM0°時的鏡像源的波最大,所以在α60°下從φM0°開始增加或減小φM將導致鏡像源的波劇烈變化,因而α60°下反射波的指向性最強,則反射波的指向性隨α的增加出現(xiàn)先增后減的現(xiàn)象.

圖9 不同夾角α 下的反射波的指向圖 (a) a=0.1 m;(b)a=1 mFig.9.Directional diagrams under different angle α:(a) a=0.1 m;(b) a=1 m .

5.3 線段ME1 與界面法線的夾角的影響

線段ME1與界面法線的夾角即,設活塞中心E位于z軸上z-dE-10 m 處,當M點位于 (7.279,φM,-10)時有20°,而當M點位于 (16.782,φM,-10)時有40°.圖10 給出了a1 m 時不同α下的反射波的指向圖,其中圖10(a)和圖10(b)分別對應20°和40°.圖10(a)表明反射波的指向性隨著α的增加而先增后減,在α20°處達到最大值;圖10(b)表明反射波的指向性隨著α的增加而先增后減,在α40°處達到最大值;因此,界面反射波的指向性隨著α的增加而先增后減,在α處達到最大值.

圖10 a=1 m時不同夾角α 下的指向圖 (a) =20°;(b)=40°Fig.10.Directional diagrams under different angle α for a=1 m:(a)=20°;(b) =40° .

由(44)式和(45)式可知,βME1直接影響反射系數(shù)B,所以在給定鏡像源的波和地層參數(shù)的情況下,決定了界面反射波的大小.圖11 給出了反射系數(shù)的絕對值|B|隨的變化曲線(B的量綱為1),可以看出,快速地層下的反射系數(shù)大于慢速地層下的反射系數(shù),因而快速地層下的界面反射波總是大于慢速地層,而圖4 恰好說明了這一點.

圖11 |B| 隨的變化曲線Fig.11.Variation curve of|B|with .

另外,由(44)式可知,軸對稱指向性球面波的反射波中含有項,所以反射波的到時td等于鏡像活塞中心到接收點的距離除以流體中聲速vf,即td其中zM和rM分別為接收點的軸向和徑向坐標.因此,利用反射波的到時td可推算活塞源與界面的距離dE,而圖5—圖7 中反射波的到時都符合td的上述表達式.

6 結論

本文導出了無限大平面剛性障板中圓形活塞源(簡稱障板活塞源)輻射場的錐面波展開式(19),該式由多階錐面波構成,適用于任意場點.前人在活塞中心到接收點的距離遠大于活塞半徑的條件下,將障板活塞源輻射場近似為軸對稱指向性球面波(1)式,而本文算例表明該條件下障板活塞源輻射場的錐面波展開式(19)近似為軸對稱指向性球面波的錐面波展開式.利用(19)式導出了活塞面與界面呈任意夾角時障板活塞源輻射場的界面反射波(28)式,并且當活塞中心的鏡像點到接收點的距離遠大活塞半徑時,(28)式近似為軸對稱指向性球面波的界面反射波表達式.(28)式相比前人只考慮活塞面與界面平行的情況而言,完善了無限大平面剛性障板中圓形活塞源的界面響應理論.

海洋地震勘探和水下目標超聲探測中,活塞中心的鏡像點到接收點的距離通常遠大于聲波波長,從而鞍點法的使用條件得到滿足.本文利用鞍點法和(1)式將軸對稱指向性球面波的反射波(28)式化簡為了(44)式.簡化式(44)適用于活塞中心的鏡像點到接收點的距離同時遠大于聲波波長和活塞半徑的情況.簡化式(44)數(shù)學形式簡潔,物理含義清楚,即軸對稱指向性球面波的反射波等于鏡像活塞源激發(fā)的軸對稱指向性球面波與反射系數(shù)的乘積.

本文基于簡化式(44),通過數(shù)值算例研究了活塞面與界面的夾角α、接收點M的環(huán)向方位角φM和線段ME1與界面法線的夾角對軸對稱指向性球面波的界面反射波的影響.當活塞半徑小于流體中聲波波長時(a＜λ),反射波對α不太敏感,當活塞半徑大于流體中聲波波長時(a ＞λ),反射波對α很敏感.增加活塞與界面的夾角α,反射波先增加后減小,而且α時取得最大值.因障板背面無波場存在,則接收點M有意義的方位角范圍為φM-90°—90°,又反射波場關于φM0°平面對稱,且M點接收的是聲壓,所以φM0°—90°與φM-90°—0°的反射波對稱且相等.在φM-90°—90°上,反射波隨方位角φM的增加而先增后減,在φM0°處取得最大值.a＜λ時反射波對φM不太敏感,反射波的指向性較弱,a ＞λ時反射波對φM很敏感,反射波的指向性很強(相比a＜λ而言).a＜λ時反射波的指向性對α不太敏感,a ＞λ時反射波的指向性對α很敏感;增加活塞與界面的夾角α,反射波的指向性先增強后減小,當α時反射波的指向性最強.直接影響反射系數(shù),0°—90°時快速度地層的反射系數(shù)大于慢速地層的反射系數(shù),因而快速地層下的反射波大于慢速地層下的反射波.

附錄A 鞍點法

這里給出鞍點法的簡要介紹[23].對于積分式

其中F(p) 和f(p) 是關于復數(shù)p的解析函數(shù),x是正實數(shù),C是積分路徑(通常為實軸積分路徑).當x是足夠大的正實數(shù)時,I(p)的值由 exp(xRef(p)) 控制,若將積分路徑C變換為最速下降路徑(即 Imf(p)=const 且經(jīng)過鞍點,而鞍點滿足f′(pan)=0),則I(p) 主要由鞍點附近的最速下降路徑積分決定,并可以寫為

其中χ是鞍點附近的最速下降路徑與正 Re(p) 軸的夾角,設φ是f′′(pan)的相位角(φ∈(-π,π)),當積分路徑是從左往右走時則χ=反之則

由(35)式可知,G*(kr)中只有Gn(kr) 可能是e 指數(shù)函數(shù).Gn(kr)是貝塞爾函數(shù)在橢圓面上的積分,與活塞面與界面的夾角α有關,而與接收點的位置無關.當活塞面與界面平行時α=0,由(18)式得Gn(kr)=0 (n≥1) 和G0(kr)=又因所以α=0 時Gn(kr) 不是e 指數(shù)函數(shù).因此我們推測當α=0時,Gn(kr) 也不是e 指數(shù)函數(shù),而數(shù)值計算表明確實如此,但這里不再給出詳細結果.綜上可知Gn(kr)不是e 指數(shù)函數(shù),所以G*(kr) 中不含e 指數(shù)函數(shù).