茅 丹，鄭克禮

(東北林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱 150040)

導(dǎo)子是李代數(shù)和李超代數(shù)研究中的重要對象，其中，Cartan型李代數(shù)及李超代數(shù)的導(dǎo)子的研究成果比較豐富[1-4]. 近年來，許多學(xué)者將李超代數(shù)的導(dǎo)子定義進行推廣，得到了不同的廣義導(dǎo)子[5-10]. 本文所研究的Fox導(dǎo)子最初是由Ralph H·Fox作為自由群環(huán)上的導(dǎo)子提出來的[11].

A· F·Krasnikov在文獻[12]中用Fox導(dǎo)子的語言描述并推廣了A·L·Shmelkin在文獻[13]給出的結(jié)論，具體如下：設(shè)F是李代數(shù)的自由和[14]，N是F的一個理想，V是李代數(shù)使得V(N)是F的一個理想，如果V中包含F(xiàn)/N，則F/V(N)在V的自由代數(shù)的一種特殊運算中有忠實表示.本文又將文獻[12]中關(guān)于李代數(shù)的結(jié)論推廣到了李超代數(shù)，并給出了證明.

1 預(yù)備知識

設(shè)P是任意給定的基域，設(shè)F是李代數(shù)Ai(i∈I)和自由李代數(shù)G的自由和，其中：G=spanP{gj|j∈J}.F的理想N滿足N∩Ai=1,(i∈I)，設(shè)U(F/N)為F/N的泛包絡(luò)代數(shù)[15]，T=spanP{tk|k∈I∪J}是自由的右U(F/N)-模，設(shè)

是由

定義的同態(tài).則kerφ=[N,N].(見文獻[13])

定義1 對于u∈U(F)如果存在唯一的一組元素Dk(u)∈U(F)使得

其中：Di(u)∈AiU(F)，i∈I.則Dk(u)(k∈I∪J)稱為u的Fox導(dǎo)子.

用Fox導(dǎo)子的語言描述以上結(jié)論即為，F(xiàn)中的元素v在[N,N]中當且僅當Fox導(dǎo)子Dk(v)≡0 modNU，(k∈I∪J)，其中：NU表示N生成的U(F/N)的理想.(見文獻[12])

2 Fox導(dǎo)子的性質(zhì)

本節(jié)仍然用P表示任意給定的基域.設(shè)L是李超代數(shù)，U(L)是L的泛包絡(luò)代數(shù)[9]，L(k)是L的k階交換子理想.

[u,v]=uv-(-1)d(u)d(v)vu.

若M是L的一個理想，則用MU表示M生成的U(L)的理想.如果M是由集合X生成的L的理想，則M可以寫為M=idL(X).

對于李超代數(shù)F的泛包絡(luò)代數(shù)U(F)中的元素u，設(shè)Dk(u)(k∈I∪J)是u的Fox導(dǎo)子.很容易證明以下的關(guān)系式：

Dk(αu+βv)=αDk(u)+βDk(v),(k∈I∪J).

Dj(gj)=1,(j∈J),Dk(gj)=0,(k≠j)

Di(ai)=ai,(ai∈Ai,i∈I),Dk(ai)=0,(k≠i).

Dk([u,v])=Dk(u)v-(-1)d(u)d(v)Dk(v)u.

Dk([n,u])≡Dk(n)umodNU,(k∈I∪J).

其中：α,β∈P，u,v∈hg(F)，n∈N.

引理1 設(shè)K是I∪J的子集，F(xiàn)K是F的子代數(shù)，且

FK=spanP({Ai|i∈K∩I}{gj|j∈K∩J})

設(shè){uk|k∈K}?U(FK)滿足除了有限個k之外都有uk=0以及ui∈AiU(FK),?i∈K∩I.如果

(1)

則存在v∈FK∩N，使得Dk(v)≡ukmodNU,k∈K.

(2)

(3)

于是，

因此，

(4)

對比式(3)、(4)這兩個式子可得Dk(v)≡ukmodNU,k∈K.

定理1 設(shè)K是U∪J的子集，F(xiàn)K是F的子代數(shù)，

FK=spanP({Ai|i∈K∩I}∪{gj|j∈K∩J}).

設(shè){uk|k∈K}?U(F)滿足除了有限個k之外都有uk=0以及ui∈AiU(F),?i∈K∩I.如果

(5)

則存在v∈idF(FK∩N)，使得Dk(v)≡ukmodNU,k∈K.

證明：設(shè)U(F)有一組基是形如式(2)的單項式的集合.于是，存在一組單項式f1,…,fm，當i≠j時，fi≠fj，并且它們形如式(2)，其中：k1=…=kμ=l1=…=lυ=m1=…=mη=ξ=α=β=0，滿足

(6)

其中：當k∈K∩I，ukl∈AkU(FK)，當k∈K∪J時，ukl∈U(FK).根據(jù)式(6)可得

結(jié)合式(5)有

(7)

根據(jù)式(7)和引理1，在FK∩N中存在一組元素v1,...,vm使得

Dk(vl)≡uklflmodNU,k∈K.

(8)

(9)

根據(jù)式(8)、(9)可得

(10)

根據(jù)式(6)、(10)，有Dk(v)≡ukmodNU，k∈K.定理得證.

定理2 設(shè)K是I∪J的子集，F(xiàn)K是F的子代數(shù)，且

FK=spanP({Ai|i∈K∩I})∪{gj|j∈K∩J}).

則

Dk(v)≡0modNU,k∈(I∪J)K,

(11)

當且僅當存在FK中的元素v0和idF(FK∩N)的元素v1使得v≡v0+v1mod[N,N].

證明：充分性是顯然的，下面僅證明必要性.

設(shè)U(F)有一組基是形如式(2)的單項式的集合.由式(11)可知F中的元素v是形如式(2)的單項式的線性組合，其中：k1+…+kμ+l1+…+lυ+m1+…+mη+ξ+α+β≥1，因此，v∈FK+N.于是存在v0∈FK使得v-v0∈N.從而有

(12)

根據(jù)式(12)和定理1，存在v1∈idF(FK∩N)使得

Dk(v-v0)≡Dk(v1)modNU,k∈(I∪J).

則有Dk(v-v0-v1)≡0modNU,k∈(I∪J)，從而v≡v0+v1mod[N,N].定理得證.

定理3 設(shè)0≠r∈F，R=idF(r)滿足R∩Ai=1(i∈I).設(shè)s∈I∪J，K=(I∪J){s}，F(xiàn)K=span({Ai|i∈K∩I}∪{gj|j∈K∩J})是F的子代數(shù).則FK∩R=0當且僅當Ds(r)?0modRU.

充分性用反證法，假設(shè)FK∩R≠ 0，因為FK∩R是自由的李超代數(shù)[15-16]，所以FK∩R≠[FK∩R,FK∩R].設(shè)v∈FK∩R[FK∩R,FK∩R].考慮U(FK)中的元素Dk(v)(k∈I∪J)，存在t∈K，使得Dt(v)?0mod(FK∩R)U’，其中：(FK∩R)U’是由FK∩R生成的U(FK)的理想.因此，Dt(v)?0modRU.另外存在β∈U(F)使得

Dk(v)≡Dk(r)βmodRU,k∈I∪J.

(13)

根據(jù)式(13)及v∈FK可得

0≡Ds(r)βmodRU.

(14)

由于超代數(shù)U(F/R)沒有零因子，根據(jù)式(14)以及Ds(r)?0modRU可知β≡0modRU.因此，Dt(v)≡0modRU，矛盾.綜上，定理得證.