劉喬喬, 趙華新

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 延安 716000)

算子半群的緊性是算子半群理論的重要內(nèi)容之一,許多學(xué)者對(duì)此作了大量的研究工作。文獻(xiàn)[1-2]得到雙參數(shù)C0半群緊的一些性質(zhì)以及擾動(dòng)雙參數(shù)C0半群的直接緊性等相關(guān)性質(zhì)。 文獻(xiàn)[3-4]討論了非線性Lipschitz擾動(dòng)半群的直接緊性、擬緊性等。 文獻(xiàn)[5-7]研究了C半群、雙參數(shù)C半群、多參數(shù)C半群的緊性,將單參數(shù)的緊性推廣到多參數(shù)C半群。 文獻(xiàn)[8-10]討論了擾動(dòng)C半群及擾動(dòng)雙參數(shù)C半群的緊性及相關(guān)推論。 文獻(xiàn)[11-16]給出了n階α次積分C半群,以及雙參數(shù)n階α次積分C半群的相關(guān)性質(zhì),但對(duì)其緊性并未作研究,本文給出n階α次積分C半群緊的定義,得到指數(shù)有界n階α次積分C半群的一些緊性性質(zhì),推廣了算子半群緊性的相關(guān)性質(zhì)。

1 預(yù)備知識(shí)

X為無限維的復(fù)Banach空間,B(X)是X上有界線性算子全體所組成的Banach代數(shù);T(t)∈B(X),t≥0,D(A)為線性算子A的定義域,設(shè)n∈,α≥0,

易知T(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)存在n>0,使JnT(t)=0,t≥0。

2 基本概念和引理

定義1[11]設(shè)n∈,α≥0,C∈B(X)是單射,{T(t)}t ≥0?B(X)強(qiáng)連續(xù),若存在閉線性算子A使得

定義2[12]若Rc(λ,A)=λn -1(λn-A)-1C有定義在Banach空間X上的有界逆算子,則稱λ為n階α次積分C半群的次生成元A的正則點(diǎn),Rc(λ,A)為A的C預(yù)解式,正則點(diǎn)的全體稱為A的C預(yù)解集,記為ρc(A)。

引理1[12]令n∈,α≥0,C∈B(X)是單射,A:D(A)?X→X為閉線性算子并滿足A?C-1AC,{T(t)}t ≥0?B(X)強(qiáng)連續(xù)并滿足‖T(t)‖≤Meω t,t≥0,ω≥0,M>0,可得下列命題等價(jià)。

ⅰ)n階α次積分C半群{T(t)}t ≥0的次生成元為A。

ⅱ) {λn|Reλ>max{ω,0}}?ρc(A),并滿足

ⅲ) {λn|λ>max{ω,0}}?ρc(A),并滿足

引理2[12]令A(yù):D(A)→X是n階α次積分C半群的次生成元,λ,μ∈ρc(A),Rc(λ,A)為A的C預(yù)解式,則有:

Rc(λ,A)λ1-nC-Rc(μ,A)μ1-nC=Rc(λ,A)Rc(μ,A)(μn-λn)λ1-nμ1-n。

定義3 若n階α次積分C半群{T(t)}t ≥0對(duì)每一t>t0,算子T(t)緊,則稱n階α次積分C半群{T(t)}t ≥0對(duì)t>t0緊。 若對(duì)每一t>0,算子T(t)緊,則稱n階α次積分C半群{T(t)}t ≥0為緊。

3 主要結(jié)果

定理1 設(shè){T(t)}t ≥0是指數(shù)有界n階α次積分C半群,若T(t)對(duì)t>t0是緊的,則對(duì)t>t0,T(t)依一致算子拓?fù)溥B續(xù)。

證明 對(duì)0≤t≤1,?M≥1,使得‖T(t)‖≤M。

又因?yàn)閷?duì)?x∈X,T(t)x:[0,+∞)→X強(qiáng)連續(xù),所以存在0

從而對(duì)于0≤h≤h0,‖x‖≤1有:

則有

由ε的任意性知T(t)在t>t0處依一致算子拓?fù)溥B續(xù)。

證畢。

定理2 設(shè){T(t)}t ≥0是以A為次生成元的指數(shù)有界n階α次積分C半群,若{T(t)}t ≥0對(duì)t>0是緊的,則T(t)對(duì)t>0依一致算子拓?fù)溥B續(xù)且對(duì)λ∈ρc(A),有Rc(λ,A)緊。

證明 設(shè)‖T(t)‖≤Meω t,M≥1,ω≥0,T(t)對(duì)t>0緊。 由定理1知T(t)對(duì)t>0按一致算子拓?fù)溥B續(xù),所以

以一致算子拓?fù)浯嬖凇?/p>

設(shè)Reλ>ω,令:

因?yàn)門(s)緊,所以Rε(λ)也是緊的。

從而有

當(dāng)ε→0+時(shí),|λ|αεMeω ε,即‖Rc(λ,A)-Rε(λ)‖→0。

所以Rc(λ,A)作為緊算子列的一致極限也是緊的。

由預(yù)解方程

Rc(λ,A)λ1-nC-Rc(μ,A)μ1-nC=Rc(λ,A)Rc(μ,A)(μn-λn)λ1-nμ1-n,

可知:若對(duì)某一λ∈ρc(A),Rc(λ,A)緊,則對(duì)所有λ∈ρc(A),Rc(λ,A)緊。

證畢。

定理3 設(shè){T(t)}t ≥0是指數(shù)有界n階α次積分C半群,若T(t)對(duì)t>0按一致算子拓?fù)溥B續(xù),且對(duì)λ∈ρc(A),有Rc(λ,A)緊,則指數(shù)有界n階α次積分C半群{T(t)}t ≥0是緊的。

對(duì)上式兩邊取范數(shù)得:

當(dāng)Reλ→∞時(shí),

且

所以有

即λ1-αRc(λ,A)→T(t)。

又由于Rc(λ,A)是緊的,所以λ1-αRc(λ,A)也是緊的。T(t)是緊算子族λ1-αRc(λ,A)的一致算子拓?fù)涞臉O限,所以T(t)也是緊的。

證畢。

4 結(jié) 論

若A次生成的n階α次積分C半群{T(t)}t ≥0緊,則得到{T(t)}t ≥0依一致算子拓?fù)溥B續(xù)且預(yù)解集也為緊的,反之也成立,從而完善了n階α次積分C半群的相關(guān)性質(zhì),豐富了算子半群的研究?jī)?nèi)容。