許海洋， 郭玉英

(1.西南科技大學(xué) 信息工程學(xué)院，四川 綿陽(yáng) 621010； 2.特殊環(huán)境機(jī)器人技術(shù)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 綿陽(yáng) 621010)

0 引 言

四旋翼無人機(jī)(unmanned aerial vehicle,UAV)因其操作簡(jiǎn)便、可靠性強(qiáng)、勤務(wù)性好等特點(diǎn)，而被廣泛用于航拍、搜救、險(xiǎn)情巡視、火星探測(cè)等領(lǐng)域。此外，簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)、新穎的外形、低廉的成本、卓越的性能以及獨(dú)特的飛行控制方式使其逐步成為國(guó)際上新的研究熱點(diǎn)。

由于四旋翼無人機(jī)多變量、非線性、欠驅(qū)動(dòng)、強(qiáng)耦合的特性，四旋翼姿態(tài)控制是最主要的研究難點(diǎn)。目前四旋翼姿態(tài)控制主要比例—積分—微分(proportional integral differential,PID)[1]、反步法[2]、自適應(yīng)控制[3]、滑模控制[4]、自抗擾控制[5]等多種控制算法使用較多。PID 控制方法以原理簡(jiǎn)單、適應(yīng)性強(qiáng)、魯棒性較好而廣泛應(yīng)用于四旋翼無人機(jī)姿態(tài)控制。經(jīng)典PID控制器存在的快速性與超調(diào)之間的矛盾受增益參數(shù)影響較大，而四旋翼時(shí)刻處于多變的環(huán)境當(dāng)中，PID 控制器的參數(shù)整定存在一定的難度，通常需要經(jīng)驗(yàn)豐富的技術(shù)人員在線整定。四旋翼強(qiáng)非線性和強(qiáng)耦合性導(dǎo)致了其精確模型難以獲得，而非線性控制多基于精確的模型。極值搜索(extreme seeking,ES)算法是一種不基于模型，在閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)迭代地修改代價(jià)函數(shù)的參數(shù)使其達(dá)到極小值的尋優(yōu)方法。通過代價(jià)函數(shù)最小值的搜索確定控制器參數(shù)的最優(yōu)選取。文獻(xiàn)[6]采用擾動(dòng)ES算法估計(jì)路面附著系數(shù)。文獻(xiàn)[7]采用ES算法與PID控制方法相結(jié)合設(shè)計(jì)飛艇姿態(tài)控制器。文獻(xiàn)[8]提出了基于反演設(shè)計(jì)的塊控型極值搜索系統(tǒng)一體化控制方法。

為了降低模型不確定性對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響以及對(duì)PID控制器參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整，本文將ES算法與PID相結(jié)合應(yīng)用于四旋翼姿態(tài)自適應(yīng)控制，方便飛行過程中對(duì)PID參數(shù)實(shí)時(shí)進(jìn)行自整定，提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，以期獲得一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)而又具有較好控制效果的四旋翼姿態(tài)控制方法。

1 四旋翼無人機(jī)飛行原理與模型建立

四旋翼結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1，四個(gè)旋翼分布在十字形支架的四個(gè)頂點(diǎn)，依次編號(hào)為1,2,3,4。飛行時(shí)，一組(1,3)旋翼始終逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，另一組(2,4)旋翼始終順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。如此，當(dāng)四個(gè)旋翼轉(zhuǎn)速相等時(shí)，四旋翼將會(huì)懸?；蛘咦鲐Q直方向的線運(yùn)動(dòng)。增大(減小)一組旋翼轉(zhuǎn)速的同時(shí)等效的減小(增大)另一組旋翼地轉(zhuǎn)速，四旋翼產(chǎn)生偏航運(yùn)動(dòng)。減小一組中一個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速同時(shí)等效地增大同組另一個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速，四旋翼產(chǎn)生俯仰或滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

圖1 四旋翼結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

忽略空氣阻力和陀螺效應(yīng)，四旋翼做小角度運(yùn)動(dòng)，歐拉角的角速度[,,]與機(jī)體角速度[,,]之間的轉(zhuǎn)換矩陣R為

(1)

根據(jù)牛頓—?dú)W拉運(yùn)動(dòng)方程，四旋翼無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型描述為

(2)

式中 [φ,θ,ψ]為飛行器三個(gè)姿態(tài)的歐拉角度，分別代表滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角；[X,Y,Z]為飛行器質(zhì)心在慣性坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)；l為飛行器半徑長(zhǎng)度，表示每個(gè)旋翼末端到飛行器重心的距離；m為四旋翼無人機(jī)的負(fù)載總質(zhì)量；Ii為圍繞每個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 總體控制方案

由式(1)和式(2)可以看出四旋翼各通道具有強(qiáng)耦合性，當(dāng)無人機(jī)做小角度飛行如懸停狀態(tài)時(shí)，X通道和Y通道與姿態(tài)角的耦合性比較強(qiáng)。四旋翼的控制是通過調(diào)節(jié)四個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速實(shí)現(xiàn)的。一般通過兩個(gè)控制回路對(duì)四旋翼實(shí)現(xiàn)控制。內(nèi)環(huán)控制四旋翼的姿態(tài)，外環(huán)控制四旋翼的位置。四旋翼整體控制框圖如圖2。

圖2 四旋翼整體控制框圖

2.2 ES-PID控制器設(shè)計(jì)

ES算法是由Tsien教授于1954年提出的一種不依賴于被控對(duì)象模型的尋優(yōu)方法。ES算法從誕生至今大致有如下幾個(gè)發(fā)展方向：?jiǎn)巫兞縀S算法理論、多變量ES算法理論、滑模ES算法理論、斜率搜索算法理論、離散時(shí)間ES算法理論、退火回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)ES算法理論，以及應(yīng)用極值算法進(jìn)行PID參數(shù)整定[9]。以位置環(huán)高度控制為例，設(shè)計(jì)ES-PID控制器，ES-PID控制框圖如圖3。

圖3 ES-PID控制框圖

圖3中，r(t)和y(t)分別為參考信號(hào)和輸出信號(hào)，J(θ(k))為待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，θ(k)為待尋優(yōu)參數(shù)。ES算法通過不斷調(diào)整PID控制器的參數(shù)，使給定的代價(jià)函數(shù)最小化，從而搜索到最合適的PID參數(shù)。該方法使用誤差平方積分準(zhǔn)則函數(shù)ISE為代價(jià)函數(shù)J(θ)[10]

(3)

θ=[Kp,Ti,Td]

(4)

式中e(t,θ)=r(t)-y(t,θ)為閉環(huán)輸入與輸出的誤差，θ為PID控制器參數(shù)。離散ES原理圖如圖4。

圖4 離散ES原理

圖4為基本極值搜索循環(huán),通過探測(cè)信號(hào)的擾動(dòng)獲取目標(biāo)函數(shù)的梯度信息，并沿著負(fù)梯度方向進(jìn)行搜索，尋找目標(biāo)函數(shù)的極值,然后根據(jù)該梯度信號(hào)對(duì)控制器參數(shù)的最優(yōu)值不斷進(jìn)行在線搜索。

2.3 ES算法收斂性證明

假設(shè)J(θ)具有如下二次形式

(5)

式中f″>0(在不失一般性的情況下)，若f″<0，則將圖4中k代換為-k。算法的目的是讓?duì)?-θ盡可能地小，使J(θ)逼近它的極小值f*。由圖4，用表示未知最優(yōu)輸入θ*的估計(jì)值

(6)

表示估計(jì)誤差，因此

θ-θ*=asinωt-

(7)

將式(3)代入式(1)有

(8)

展開表達(dá)式(8)，并利用基本三角恒等式2sin2ωt=1-cos 2ωt得到

(9)

(10)

然后通過與sinωt相乘來解調(diào)該信號(hào)，得到

(11)

由于θ*是一個(gè)常量，所以·=-·，通過積分環(huán)節(jié)-k/s可濾除cos 2ωt、sin 3ωt,sinωt等高頻，因此

(12)

(13)

由式(13)，當(dāng)時(shí)kf″>0，系統(tǒng)穩(wěn)定。通過選擇合適的增益k和振幅a，經(jīng)過不斷迭代即可得到→0，亦或說收斂到θ*。

3 仿 真

根據(jù)前文數(shù)學(xué)模型，在MATLAB/Simulink中搭建仿真模型，所使用的系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置：四旋翼飛行器質(zhì)量m為2 kg，軸距l(xiāng)為0.2 m，重力加速度g為9.8 N/kg,繞X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1為1.25 kg·m2,繞Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I2為1.25 kg·m2,繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I3為2.5 kg·m2。

3.1 基于ES算法的參數(shù)整定

以高度控制器為例，用ES算法整定PID控制器的三個(gè)參數(shù)(Kp，Ti，Td)。ES算法代價(jià)函數(shù)和PID控制器參數(shù)整定仿真結(jié)果如圖5。

圖5 代數(shù)函數(shù)J(θ)和PID參數(shù)整數(shù)仿真結(jié)果

從圖5可以看出代價(jià)函數(shù)J(θ)隨著參數(shù)整定過程逐漸收斂到0;PID控制器參數(shù)在4 s左右逐漸穩(wěn)定到9.8,0.05,0.2。

3.2 不同控制方法的控制效果比較

本文將經(jīng)典PID、ES-PID、初始化參數(shù)ES-PID三種控制方法對(duì)四旋翼無人機(jī)姿態(tài)的控制效果進(jìn)行對(duì)比來驗(yàn)證ES算法參數(shù)優(yōu)化與參數(shù)整定能力?；谒男頂?shù)學(xué)模型、ES原理以及3.1節(jié)(四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)參數(shù))進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。由于無人機(jī)欠驅(qū)動(dòng)的特點(diǎn)，不能同時(shí)對(duì)6個(gè)自由度進(jìn)行控制，因此，本文通過對(duì)[x，y，z]和偏航角ψ進(jìn)行跟蹤，同時(shí)保證另外兩個(gè)角度θ和φ為0°。設(shè)定無人機(jī)起始位置狀態(tài)[x，y，z]=[0，0，0]，起始角度狀態(tài)ψ=0，期望目標(biāo)位置[x，y，z]=[1，1，2]，期望目標(biāo)姿態(tài)[ψ,θ,φ]=[0,0,0]，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 四旋翼無人機(jī)定點(diǎn)懸停位置與姿態(tài)仿真

從圖6(a)仿真結(jié)果來看，圖7(a1)～(a3)顯示的位置狀態(tài)的超調(diào)量σ(經(jīng)驗(yàn)調(diào)參PID)>5 %>ES-PID的σ大于初始化參數(shù)ES-PID的σ，響應(yīng)時(shí)間均在4 s左右達(dá)到期望目標(biāo)。從圖6(b)仿真結(jié)果看出：圖(b1)顯示的俯仰角波動(dòng)范圍在0.55°～-0.25°之間；圖(b2)顯示的滾轉(zhuǎn)角波動(dòng)范圍在-0.55°～0.25°。之間;圖(b3)顯示的偏航角變化較小，幾乎為0。

圖6(a)和圖6(b)穩(wěn)定時(shí)間都在4s左右，穩(wěn)態(tài)誤差為0，三個(gè)姿態(tài)響應(yīng)速度較快，滿足四旋翼無人機(jī)飛行時(shí)需要穩(wěn)定、快速的要求。在控制性能上ES-PID比傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)調(diào)參PID有一定提高，經(jīng)過參數(shù)初始化的ES-PID在快速性上比經(jīng)驗(yàn)調(diào)參PID和ES-PID有了提高。

3.3 ES算法參數(shù)變化的影響

探測(cè)信號(hào)的選取以及濾波器設(shè)計(jì)是ES算法中最重要的部分，而探測(cè)信號(hào)幅值α與濾波器增益k對(duì)代價(jià)函數(shù)優(yōu)化有重要的影響，因此本文對(duì)這兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行了研究。α和k越大，對(duì)于算法初值選取的范圍就越大，ES算法的收斂域隨著α和k的增大而減小，選取探測(cè)信號(hào)幅值和濾波器增益時(shí)首先要保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

選擇三組參數(shù)分別為[α,k],[α/2,k],[α,k/5]，其中α=0.1，k=1 000。得到如圖7所示代價(jià)函數(shù)仿真曲線。

圖7 不同參數(shù)的代價(jià)函數(shù)曲線

由圖7可以看出，隨著探測(cè)信號(hào)幅值α和濾波器增益k的減小，代價(jià)函數(shù)收斂速度變慢，ES算法收斂變慢，但不同參數(shù)下的代價(jià)函數(shù)最終都收斂于一個(gè)趨于0的值。由此可見，雖然ES算法收斂速度受探測(cè)信號(hào)幅值和濾波器增益影響，但收斂結(jié)果不受其影響，因此,參數(shù)選擇對(duì)系統(tǒng)模型的依賴性不大，方便了控制器的設(shè)計(jì)。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)四旋翼無人機(jī)姿態(tài)控制中PID控制器參數(shù)整定較困難，采用ES算法對(duì)PID控制器參數(shù)進(jìn)行整定。為了驗(yàn)證ES算法的有效性，通過MATLAB/Simulink仿真驗(yàn)證證明，ES算法能夠很好地進(jìn)行參數(shù)整定與尋優(yōu)。相比于傳統(tǒng)PID控制，ES-PID控制算法對(duì)四旋翼無人機(jī)姿態(tài)控制效果更好。同時(shí)研究了ES算法中探測(cè)信號(hào)和濾波器參數(shù)對(duì)系統(tǒng)影響。