熊曉婷, 許學(xué)杰, 李素文

(淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院,安徽 淮北 235000)

0 引 言

2020年1月份,非洲爆發(fā)了數(shù)十年來最大的蝗蟲災(zāi)害,本次蝗災(zāi)具有蟲群規(guī)模大、入侵面積廣、蔓延速度快和破壞力強等特點,給當?shù)氐霓r(nóng)業(yè)生產(chǎn)活動帶來了巨大的損害,因此設(shè)計一套遠程抗災(zāi)診斷系統(tǒng),用于實時監(jiān)測受災(zāi)現(xiàn)場、了解蝗蟲遷徙和變異情況很有必要。為了及時掌握最新災(zāi)情,需要大量的蝗蟲圖像數(shù)據(jù)充實蝗蟲圖片庫,這給系統(tǒng)的采集、存儲和傳輸工作帶了很大的壓力,如何高倍率的壓縮數(shù)據(jù)和高精度的重構(gòu)圖像對于遠程監(jiān)控農(nóng)業(yè)病害領(lǐng)域具有重要意義。

壓縮感知理論[1,2]是一種突破奈奎斯特采樣定理的新理論,該理論以稀疏表示為前提條件,以測量矩陣為中間橋梁,以重構(gòu)算法為關(guān)鍵技術(shù),通過數(shù)量遠小于傳統(tǒng)理論所需的采樣值即可實現(xiàn)信號的重建[3,4]。近些年,將壓縮感知理論應(yīng)用于監(jiān)測農(nóng)業(yè)病害的研究一直是熱點。文獻[5]提出了基于切換字典策略的壓縮算法,在監(jiān)測林區(qū)小氣候時比單一字典算法的重構(gòu)誤差更??；文獻[6]將基于K-SVD字典的壓縮感知方法應(yīng)用在林區(qū)微環(huán)境監(jiān)測,比DFT字典具有更優(yōu)的重構(gòu)性能；文獻[7]結(jié)合擬牛頓法和最速下降法的優(yōu)點對光滑L0范數(shù)算法進行了改進,提高了SAR重構(gòu)圖像的分辨率；文獻[8]根據(jù)余弦距離判別將相近的字典原子聚類,利用塊結(jié)構(gòu)字典重構(gòu)信號,降低了重構(gòu)誤差。盡管這些研究針對某些局部問題進行了改進,但總體重構(gòu)精度較低?；诖?本文首先構(gòu)造新型觀測矩陣,通過改善觀測性能為后續(xù)重構(gòu)打下良好的基礎(chǔ),接著針對CoSaMP算法選擇原子和刪除原子標準的局限性,提出一種基于參數(shù)u的改進算法,最后通過仿真對比實驗驗證了該算法的優(yōu)越性。

1 算法描述

1.1 壓縮感知理論

壓縮感知理論指出,如果信號是稀疏的或者在某個變換域是稀疏的,則該信號可以通過與稀疏基不相關(guān)的觀測矩陣從高維空間投影到低維空間,達到壓縮的目的,若觀測性能良好,低維信號應(yīng)該包含原始信號足夠的關(guān)鍵信息,此時可以通過求解一個最優(yōu)化問題高概率恢復(fù)原始信號。由此可見,稀疏性、觀測矩陣和重構(gòu)算法是壓縮感知的三個重要步驟。

(1)

式中 若α僅有K個原子不為零或者絕對值明顯大于其他原子,且K遠小于N,則稱x在該變換域上是稀疏的,即K為稀疏,ψ為稀疏基。

現(xiàn)實中要處理的大部分信號都不具備稀疏性,因此選擇合適的稀疏基顯得尤為重要。常用的稀疏基有離散傅里葉變換基、離散余弦變換基、離散小波變換基等,本文采用小波變換基作為稀疏基,因為小波基具有較好的能量聚集特性,能使信號的能量集中在少數(shù)小波系數(shù)上,從而達到稀疏的效果[9]。

2)觀測矩陣。假設(shè)一個長度為N的K-稀疏離散信號x,該信號在觀測基Φ上得到的觀測結(jié)果為

y=Φx

(2)

式中Φ為觀測矩陣,大小為M×N,y為觀測值,大小為M×1,該值不破壞原始信號的關(guān)鍵信息,才能為后續(xù)的精確重構(gòu)打下基礎(chǔ)。觀測矩陣分為隨機型矩陣和確定型矩陣,隨機型矩陣觀測性能好但硬件實現(xiàn)難,確定型矩陣易于實現(xiàn)但觀測性能較差,典型的觀測矩陣有隨機高斯矩陣、部分傅里葉矩陣、伯努利矩陣等[10,11]。

3)重構(gòu)算法。得到M個觀測值后,根據(jù)觀測矩陣和重構(gòu)算法實現(xiàn)信號的精確重構(gòu)是壓縮感知的最后一步,本質(zhì)上是通過求解一系列優(yōu)化問題實現(xiàn)對原始信號的精確重構(gòu)。

重構(gòu)算法主要分為兩大類,1)凸優(yōu)化算法,2)貪婪算法。凸優(yōu)化算法計算復(fù)雜度大,重構(gòu)時間長,貪婪算法則復(fù)雜度低,重構(gòu)速度快,且精度較高,應(yīng)用也最為廣泛。常用的貪婪算法有：正交匹配追蹤算法(OMP),正則化正交匹配追蹤算法(ROMP),壓縮采樣匹配追蹤算法(CoSaMP)等[12]。

1.2 改進的觀測矩陣

在眾多觀測矩陣中,高斯隨機觀測矩陣因其極大的隨機性,使得它和大多數(shù)信號的相關(guān)性都很低,所需的觀測數(shù)偏小,但隨機性強帶來計算復(fù)雜、性能不穩(wěn)定和硬件實現(xiàn)難等問題；部分哈達瑪觀測矩陣觀測性能較好,但需要對行列進行取舍,應(yīng)用范圍有限；伯努利觀測矩陣隨機性較強,且較容易實現(xiàn),但觀測性能一般。本文結(jié)合多種觀測矩陣的構(gòu)造思想,在伯努利矩陣的基礎(chǔ)上設(shè)計了一種新觀測矩陣,取長補短,在保持原觀測矩陣優(yōu)點的同時進一步提高觀測性能,設(shè)觀測矩陣的尺寸為M×N,整個設(shè)計分為構(gòu)造階段和篩選階段兩部分,在篩選階段,以相關(guān)性作為迭代的標準,根據(jù)前后兩次觀測矩陣相關(guān)性之差自適應(yīng)更改步長,重新調(diào)整觀測矩陣結(jié)構(gòu),若相關(guān)性小于一定閾值,則停止迭代。

相關(guān)性是衡量矩陣性能的一個重要準則[13],數(shù)學(xué)描述如下

(3)

構(gòu)造階段：初始值i=1,μ0=0。

1)得到一個不大于觀測矩陣行數(shù)的一半且是2的整數(shù)次冪的值k0,令過渡值k=k0-w0,其中w0為步長,初始值為0;

2)分別構(gòu)造隨機矩陣H0和伯努利矩陣H1,尺寸分別是(M-k)×k和M×(N-k);

3)構(gòu)造元素僅有+1和-1的正交矩陣H2,尺寸為k×k;

4)將H0和H2組合成矩陣H3,尺寸為M×k;

5)將H3和H2組合成矩陣H,尺寸為M×N,即為暫時的新觀測矩陣；

6)計算新觀測矩陣的相關(guān)性μi。

篩選階段：若μi小于閾值,停止迭代。若μi大于上一次迭代的μi-1,則正向調(diào)整步長w0,否則反向調(diào)整步長w0,返回步驟(1),自適應(yīng)改變過渡值k,多次迭代得到相關(guān)性最低的觀測矩陣即為最終的新觀測矩陣。

1.3 改進的重構(gòu)算法

在各種經(jīng)典算法中,OMP算法是一種常用的貪婪算法,該算法收斂速度快且易實現(xiàn),但魯棒性差,在有噪聲干擾時不能保證精確重構(gòu)；ROMP算法采用正則化的思想對OMP算法進行了改進,重構(gòu)效率高,但其每次迭代選擇的原子會一直保留在候選集,可能導(dǎo)致錯誤累計,重構(gòu)效果不穩(wěn)定,而CoSaMP算法采用回溯的原則,前一次迭代選擇的錯誤原子可能在下一次迭代中被剔除,從而提高了性能的穩(wěn)定度,該算法的基本思想是：先選擇2K(K為信號稀疏度)個原子,確保候選集中有至多3K個原子,再剔除至多2K個原子,留下的K個原子即為此次迭代得到的支撐集。該算法采用了回溯的思想保證每次迭代時選擇原子的準確性,但在每次迭代中,選擇與剔除原子所依據(jù)的標準不一樣且具有一定局限性,即觀測矩陣各列和殘差的內(nèi)積值并不能完全反映出二者之間的關(guān)系,完全依賴于它導(dǎo)致重構(gòu)精確度受到偏壞的影響,基于此,本文提出了一種改進的算法：uCoSaMP算法,在原子選擇階段,引進修正因子u,它反比于觀測矩陣各列與殘差的差值的二范數(shù),利用它自適應(yīng)地修正殘差與觀測矩陣各列的相關(guān)性,提高初選原子候選集的正確率；在原子剔除階段,分為兩步：先采用最小二乘法將候選集尺寸縮小到2K,再利用信號和殘差的加權(quán)值獲得最終的支撐集,使得選擇和剔除原子的標準趨同,具體的算法流程如下：

輸入：傳感矩陣A,觀測向量y,稀疏度K,參數(shù)u。

初始化：r0=y,Δ0=?,A0=?,t=1。

1)計算v=uATrt-1,u為相關(guān)于觀測矩陣原子和殘差的參數(shù),選擇v中2K項最大的元素,這些元素對應(yīng)的列序號q構(gòu)成集合Q0,即q∈Q0；

2)合并Δt=Δt∪Q0,At=At∪aq；

6)更新rt=y-Atktk；

7)計算前后兩次迭代殘差差值的二范數(shù)‖rt-rt-1‖2,若超過一定閾值,則修正參數(shù)u,并返回步驟(1),否則At中對應(yīng)的列記為Atk=Atk′,對應(yīng)A的列序號記為Δtk=Δtk′,At=Δtk,并返回步驟(1);

8)若‖rt‖2小于一定閾值,則終止迭代,否則繼續(xù)迭代。

2 試驗分析與比較

2.1 評估標準

對于兩幅質(zhì)量差別較大的圖像,人眼能夠直觀地辨別出圖像質(zhì)量的好壞,若人眼較難辨別時,可以采用峰值信噪比PSNR作為評估指標,它是基于圖像重建前后原子均方誤差的度量標準,表示為

(4)

式中max為圖像數(shù)據(jù)的峰值,MSE為均方誤差,定義為

(5)

式中M×N為圖像的尺寸,A(i,j)和B(i,j)為圖像重構(gòu)前后的數(shù)據(jù)。

2.2 實驗結(jié)果

2.2.1 基于不同觀測矩陣的實驗結(jié)果

本實驗中,測試圖像分別選用紋理和細節(jié)豐富的近景蝗蟲和遠景蝗蟲圖像,稀疏基采用小波稀疏基,重構(gòu)算法采用CoSaMP算法,觀測矩陣分別采用高斯(Gaussian)隨機觀測矩陣、伯努利(Bernoulli)觀測矩陣和新(New)觀測矩陣,比較三種觀測矩陣在各采樣率(M/N)下的實驗結(jié)果如表1所示。

表1 基于不同觀測矩陣的重構(gòu)性能比較 dB

從表1可以看出,新觀測矩陣的觀測性能具有較大的優(yōu)勢,即重構(gòu)后的輸出信噪比高于高斯隨機觀測矩陣和伯努利觀測矩陣,當壓縮比下降時,優(yōu)勢則進一步增大,當壓縮比達到0.5時,高斯隨機觀測矩陣和伯努利觀測矩陣的觀測性能開始惡化,而新觀測矩陣依然保持較好的觀測性能,當壓縮比達到0.2時,三者的觀測性能都急劇下降,因為此時的觀測值中已經(jīng)丟失了較多原始信號的關(guān)鍵信息。圖1和圖2分別給出了蝗蟲近景原圖和蝗蟲遠景原圖及其在采樣率為0.5時不同觀測矩陣下的重構(gòu)結(jié)果,從圖中可以很直觀地看出,新觀測矩陣的重構(gòu)圖像質(zhì)量較高,重構(gòu)圖的紋理清晰平滑,線條連續(xù),而另外兩種矩陣的重構(gòu)圖像質(zhì)量較低,顆粒較多。綜合表1、圖1和圖2,要達到相同的重構(gòu)效果,新觀測矩陣的壓縮比可以相對減小,所需存儲的數(shù)據(jù)更少,抗噪聲性能更強。

圖1 蝗蟲近景圖和基于不同觀測矩陣的重構(gòu)圖像(M/N=0.5)

圖2 蝗蟲遠景圖和基于不同觀測矩陣的重構(gòu)圖像(M/N=0.5)

2.2.2 基于不同重構(gòu)算法的實驗結(jié)果

本文實驗先采用小波稀疏基作稀疏處理,再采用新觀測矩陣進行觀測降維,最后采用原始CoSaMP算法和本文提出的uCoSaMP算法分別對近景蝗蟲和遠景蝗蟲圖像進行重構(gòu),比較兩種算法在各采樣率(M/N)下的實驗結(jié)果如表2所示。

表2 基于不同重構(gòu)算法的重構(gòu)性能比較 dB

從表2可以看出,兩種算法都能成功重構(gòu)原始圖像,但uCoSaMP重建圖像的PSNR值明顯高于原始算法,當壓縮比為0.6以上時,這種優(yōu)勢并不突出,但隨著壓縮比的減小,PSNR值越來越小,重構(gòu)性能差距反而有增大的趨勢,當采樣率達到0.2時,近景圖峰值信噪比提高了10 %。圖3、圖4和圖5、圖6分別給出了蝗蟲近景和遠景原圖在采樣率為0.5和0.3時,基于不同重構(gòu)算法的重構(gòu)圖像,從圖中可以直觀對比出兩種算法的優(yōu)劣：當采樣率較高時,兩種算法重構(gòu)的圖像質(zhì)量均較優(yōu),蝗蟲和周邊環(huán)境的重要特征均得到良好的保持,細節(jié)區(qū)域沒有出現(xiàn)明顯模糊的現(xiàn)象；當采樣率較低時,兩種重構(gòu)圖像均出現(xiàn)了不同程度的惡化,但uCoSaMP重建圖像的顆粒狀現(xiàn)象和模糊程度要弱一些,整體的圖像質(zhì)量高于CoSaMP算法,這也說明了改進算法的魯棒性更強。

圖3 蝗蟲近景原圖和基于不同重構(gòu)算法的重構(gòu)圖像(M/N=0.5)

圖4 蝗蟲遠景原圖和基于不同重構(gòu)算法的重構(gòu)圖像(M/N=0.5)

圖5 蝗蟲近景原圖和基于不同重構(gòu)算法的重構(gòu)圖像(M/N=0.3)

圖6 蝗蟲遠景原圖和基于不同重構(gòu)算法的重構(gòu)圖像(M/N=0.3)

3 結(jié) 論

本文將壓縮感知理論應(yīng)用到蝗蟲災(zāi)害監(jiān)測中,首先根據(jù)隨機觀測矩陣和伯努利觀測矩陣的特點構(gòu)造新觀測矩陣,通過新觀測矩陣降維得到的觀測值具備更優(yōu)的重構(gòu)潛能,然后引進修正因子,自適應(yīng)修正殘差和備選原子間的相關(guān)性,通過改良初選原子標準提高原子候選集的準確度,在剔除原子階段分兩步逐一淘汰錯誤原子,使得最終的支撐集得到進一步的優(yōu)化。實驗結(jié)果表明：改進算法重構(gòu)蝗蟲圖像的質(zhì)量更高,在低采樣率下,近景蝗蟲圖像相比于原始算法提高了10 %,且改進算法的魯棒性更強,在監(jiān)控農(nóng)業(yè)病害領(lǐng)域具有良好的應(yīng)用價值。自然圖像一般不具備稀疏特質(zhì),而稀疏性對重構(gòu)性能的影響較大,因此如何進一步有效地稀疏化圖像是接下來研究的重點。