賴悅欣

(廣東省東源中學(xué),517000)

研究表明,數(shù)學(xué)深度教學(xué)須由具體的知識(shí)、技能學(xué)習(xí)過渡到思維策略與思維品質(zhì)的提升,包括四個(gè)環(huán)節(jié):(1)聯(lián)系;(2)問題引領(lǐng);(3)交流和互動(dòng);(4)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)[1]．深度教學(xué)須反映學(xué)科本質(zhì);須超越淺顯的知識(shí)表層,進(jìn)入知識(shí)深層結(jié)構(gòu);須促進(jìn)學(xué)生的深度思維[2]．深度教學(xué)能有效發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)．然而,淺層無效的“接受式”教學(xué)普遍存在,教師迫于教學(xué)進(jìn)度和高考的壓力,簡單講授概念、定理、公式后,就大量刷題,認(rèn)為學(xué)生不會(huì)就是練得少,可最終課堂效果卻很差．因?yàn)閷W(xué)生沒有體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程,沒有理解知識(shí)的本質(zhì),沒有通過學(xué)習(xí)具體知識(shí)獲得關(guān)鍵能力,思維品質(zhì)沒有提升,就無法發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3]．

本文以“誘導(dǎo)公式”(第一課時(shí))公開課的實(shí)錄片段為例,談?wù)剬?duì)深度教學(xué)促進(jìn)和提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的認(rèn)識(shí)．

一、直奔主題,激趣引導(dǎo)——誘導(dǎo)公式的引入

師:前面以單位圓為載體學(xué)習(xí)了“三角函數(shù)的定義”、“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”,圓具有對(duì)稱性,那與今天要學(xué)的誘導(dǎo)公式有什么關(guān)系?三角函數(shù)是否也有對(duì)稱性?

設(shè)計(jì)意圖新課引入,遵循學(xué)生的認(rèn)知水平,突出三角函數(shù)的函數(shù)本質(zhì)．教師繼續(xù)重視以單位圓為載體,利用圓的對(duì)稱性,提出疑問:誘導(dǎo)公式與圓的對(duì)稱性是否有關(guān)?三角函數(shù)是否有對(duì)稱性?引發(fā)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣．

二、精設(shè)“問題鏈”,驅(qū)動(dòng)課堂交流互動(dòng)——誘導(dǎo)公式的證明

問題1如圖1,角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1,作P1關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P2．(1)角α與以O(shè)P2為終邊的角β有何關(guān)系?(2)兩角的三角函數(shù)值有何關(guān)系?

學(xué)生先交流思考,之后教師與學(xué)生一起梳理作答．

師生:角β終邊與角π+α終邊相同,所以β=2kπ+(π+α)(k∈Z)．

公式二 sin(π+α)=-sinα,

cos(π+α)=-cosα,

tan(π+α)=tanα.

追問1當(dāng)點(diǎn)P1在其他位置時(shí),公式二形式會(huì)改變嗎?據(jù)此,公式二中的角α的大小是多少?

學(xué)生1:不論點(diǎn)P1在哪里,關(guān)系式不變,即公式二對(duì)任意角α都成立．

追問2探究公式二的過程,可以概括為哪些步驟?每一步蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是什么?

師生:步驟一,根據(jù)圓的對(duì)稱性,建立角之間的聯(lián)系，從形的角度研究；步驟二,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,建立角與坐標(biāo)之間的聯(lián)系,將形的關(guān)系代數(shù)化，從數(shù)的角度研究；步驟三,根據(jù)等量代換,得到三角函數(shù)之間的關(guān)系,即公式,體現(xiàn)聯(lián)系性．

追問3角π+α還可以看作是角α的終邊經(jīng)過怎樣的變換得到的?

學(xué)生2:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角π得到的．

問題2借助于平面直角坐標(biāo)系,類比問題1,你能說出單位圓上點(diǎn)P1的哪些特殊對(duì)稱點(diǎn)?并按照問題1總結(jié)得到的求解步驟,嘗試求出相應(yīng)的關(guān)系式．

學(xué)生3:可以關(guān)于坐標(biāo)軸、某條直線對(duì)稱．

教師:讓學(xué)生先嘗試關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的情況,自己完成證明,并請學(xué)生上講臺(tái)板演．

學(xué)生4:作P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P3(如圖2),并且在黑板板書類比公式二的探究過程得

公式三 sin(-α)=-sinα,

cos(-α)=cosα,

tan(-α)=-tanα.

學(xué)生5:作P1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P4(如圖3),并且在黑板板書了類比公式二的探究過程得

公式四 sin(π-α)=sinα,

cos(π-α)=-cosα,

tan(π-α)=-tanα.

追問4公式三和公式四中的角α是多大的角?

學(xué)生6:角α是任意角．

教師:作P1關(guān)于坐標(biāo)軸及原點(diǎn)對(duì)稱,得出了誘導(dǎo)公式二、三、四,P1還有其它的對(duì)稱情況,同學(xué)們課后可以去嘗試?yán)^續(xù)探究．

設(shè)計(jì)意圖誘導(dǎo)公式的證明,教師不是讓學(xué)生記憶公式、大量練習(xí),關(guān)注學(xué)生表層知識(shí)技能的獲取,而是通過精設(shè)“問題鏈” 促使難點(diǎn)分化、驅(qū)動(dòng)課堂交流互動(dòng)、促進(jìn)學(xué)生深入思考．教師設(shè)置問題1,引導(dǎo)學(xué)生將“圓在坐標(biāo)系中關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”代數(shù)化:先建立形和角的聯(lián)系、引入坐標(biāo)將形的關(guān)系代數(shù)化,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、整體聯(lián)系把零散的的知識(shí)整體構(gòu)建成一體,得到誘導(dǎo)公式二．再通過問題1的3個(gè)追問,引導(dǎo)學(xué)生理解角α的任意性、角π+α與角α之間的關(guān)系、總結(jié)研究步驟、提煉數(shù)學(xué)思想,幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)誘導(dǎo)公式二的本質(zhì)．緊接著引導(dǎo)學(xué)生通過問題1獲得的研究方法,通過類比、聯(lián)系、遷移應(yīng)用于解決問題2,得到誘導(dǎo)公式三、四．整個(gè)證明過程,讓學(xué)生從知識(shí)、技能層面深入到思維的層面及數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯體系中,發(fā)展了學(xué)生邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．

三、初步應(yīng)用,建立程序,反思拓展——誘導(dǎo)公式應(yīng)用與總結(jié)

教師舉例、布置課堂練習(xí),讓學(xué)生先自主作答,再展示交流,然后幫助學(xué)生規(guī)范求解過程,最后與學(xué)生一起梳理求解過程,明確從負(fù)角轉(zhuǎn)化為銳角的程序,提煉解題經(jīng)驗(yàn)．

問題3誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)和圓之間有怎樣的關(guān)系?你學(xué)到哪些基本知識(shí),獲得怎樣的研究問題的經(jīng)驗(yàn)?

師生:(1)誘導(dǎo)公式是三角函數(shù)的性質(zhì),是圓對(duì)稱性的代數(shù)化；(2)學(xué)到三組誘導(dǎo)公式．研究方法是數(shù)形結(jié)合,注重聯(lián)系．

在解題教學(xué)中,教師注重展示學(xué)生思考過程,引導(dǎo)學(xué)生自覺地、理性地選擇運(yùn)算公式,了解公式初步應(yīng)用,建立解題程序,操作應(yīng)用公式,讓學(xué)生能有序地思考數(shù)學(xué)問題,有理地解決數(shù)學(xué)問題,提升了學(xué)生的“數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)”．

在課堂小結(jié)時(shí),教師首先以問題的形式引導(dǎo)學(xué)生反思與提煉總結(jié).其次不是簡單讓學(xué)生記憶三個(gè)誘導(dǎo)公式,而是引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)與獲得的研究方法,讓學(xué)生豐富研究經(jīng)驗(yàn),為進(jìn)一步的研究鋪路奠基．

設(shè)計(jì)意圖整堂課“有形”(單位圓的對(duì)稱性)、“有數(shù)”(代數(shù)分析、等量代換)、“有思想”(數(shù)形結(jié)合的思想)．學(xué)生的思考真實(shí)發(fā)生,學(xué)生的探究有效開展．教師以深度理解和掌握誘導(dǎo)公式本質(zhì)為基礎(chǔ),通過問題引領(lǐng)、建立聯(lián)系、交流互動(dòng)、反思拓展、提煉總結(jié)等環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)技能層面的學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)思維品質(zhì)層面的提高,落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展．