何 威

(江蘇省張家港市外國語學(xué)校，215600)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生往往對(duì)概念重視不夠,甚至出現(xiàn)一味通過練習(xí)來替代概念理解,而深刻理解概念是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的前提.本文以“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例,深入分析拋物線中數(shù)與形的特征和聯(lián)系,注重從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與思維發(fā)展規(guī)律出發(fā),突出類比歸納、數(shù)形結(jié)合等思想方法,以期借助概念生成,發(fā)展學(xué)生的“四能”,掌握拋物線的本質(zhì)屬性與研究方法.

一、教學(xué)內(nèi)容與學(xué)情分析

本課選自普通高中教科書選擇性必修第一冊(cè).拋物線的定義從形的角度刻畫曲線,它是標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)研究的邏輯起點(diǎn),而拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是拋物線數(shù)量關(guān)系的表示.從幾何定義過渡到標(biāo)準(zhǔn)方程,體現(xiàn)了運(yùn)用代數(shù)方法研究曲線和性質(zhì)等內(nèi)容的一般方法,反映了解析幾何的思想精髓.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)對(duì)該內(nèi)容有如下要求:了解圓錐曲線的實(shí)際背景,感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的作用;了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,以及它的簡單應(yīng)用;通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí),進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

從學(xué)情來看,學(xué)生具備一定的背景知識(shí):初中學(xué)習(xí)了二次函數(shù);高一物理學(xué)習(xí)了平拋運(yùn)動(dòng)，同時(shí)也掌握了三種二次曲線(圓、橢圓、雙曲線)的相關(guān)內(nèi)容與研究方法.此外,在日常生活中對(duì)拋物線也有較多的感性認(rèn)識(shí),比如生活中的投擲籃球、噴泉,二次函數(shù)圖象，等等.本次學(xué)習(xí)是從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)，加深理解,讓學(xué)生經(jīng)歷“抽象—分析—操作—概括”的學(xué)習(xí)過程,總結(jié)拋物線中的幾何要素與方程特征.

二、教學(xué)過程與設(shè)計(jì)意圖

1.創(chuàng)設(shè)情境,建構(gòu)概念

問題1如圖1,在一片草原上的F處有一汪水潭,在水潭的西面一千米有一條南北走向的河流,請(qǐng)?jiān)谠摰卦O(shè)計(jì)合理的邊界區(qū)域,便于指導(dǎo)牧民就近取水?

分界線應(yīng)為到水潭與河流距離相等的點(diǎn)的集合.教師用幾何畫板演示,如圖1中虛線部分.引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言給拋物線下定義.

問題2前面學(xué)習(xí)的橢圓、雙曲線與此時(shí)的拋物線,都是光滑優(yōu)美的曲線,我們?cè)撊绾窝芯繏佄锞€?

類比橢圓與拋物線的研究方法,引導(dǎo)學(xué)生回顧解析法的基本過程:建系——設(shè)點(diǎn)——列式——代點(diǎn)——化簡——檢驗(yàn),實(shí)現(xiàn)由形到數(shù).由感性到理性的自然過渡.

2.感悟抽象,理解本質(zhì)

問題3如何建立坐標(biāo)系,使求出的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程最為簡潔優(yōu)美?

學(xué)生活動(dòng)1:選擇適當(dāng)坐標(biāo)系,推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

在建系過程中,學(xué)生對(duì)于原點(diǎn)的位置有三種選擇,從而得到不同的方程:y2=2px-p2,y2=2px,y2=2px+p2.讓學(xué)生評(píng)價(jià)三種方程,體會(huì)按圖2建系后所得方程的對(duì)稱美、簡潔美與和諧美,從而確定為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

問題4若F在l上,會(huì)得到怎樣的軌跡呢?

學(xué)生活動(dòng)2:根據(jù)方程畫拋物線,感受拋物線形的特點(diǎn)

讓學(xué)生在準(zhǔn)備好的網(wǎng)格紙上作圖:在坐標(biāo)系(1)中,作出y2=4x,y2=x的圖象;在坐標(biāo)系(2)中,作出y2=x的圖象.

比較圖4(1)中y2=4x與y2=x的兩個(gè)圖象,可見p值越大開口越大,p值越小開口越小.另一方面,通過調(diào)整坐標(biāo)系的單位坐標(biāo)刻度,發(fā)現(xiàn)圖4(1)中y2=4x與圖4(2)中的y2=x的圖象可重合,從中感受拋物線的幾何相似性,即p對(duì)圖形有著放大縮小的作用.

設(shè)計(jì)意圖“距離”是幾何研究的核心要素,圓錐曲線的概念也始終圍繞著“距離”展開.從生活情境中的距離出發(fā)引出拋物線,抽象出拋物線的本質(zhì)屬性.在建系過程中，引導(dǎo)學(xué)生比較、篩選出“美”的數(shù)學(xué)形式,從而體會(huì)數(shù)學(xué)美.進(jìn)一步通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),在圖象中發(fā)現(xiàn)不同拋物線之間的聯(lián)系,讓學(xué)生從抽象到具體,感受p對(duì)整個(gè)圖象的影響,理解它的幾何意義.

3.類比歸納,知識(shí)遷移

問題5拋物線方程還有其他形式嗎?

引導(dǎo)學(xué)生探究不同開口方向的標(biāo)準(zhǔn)方程,掌握相應(yīng)焦點(diǎn)與準(zhǔn)線.另外，注重從函數(shù)與方程的思想角度看待拋物線,為后面研究幾何性質(zhì)作鋪墊.

問題6拋物線的四種不同開口的方程之間有何共性與聯(lián)系?

(1)在標(biāo)準(zhǔn)方程與相應(yīng)圖象中,具有如下特征:① 次數(shù):左二右一,一次定焦;② 正負(fù):開口方向,正負(fù)定向;③ 基本量:焦準(zhǔn)距定形.

(2)圖象體現(xiàn)對(duì)稱性:每一個(gè)都是軸對(duì)稱圖象,將這些圖象放在同一坐標(biāo)系中,圖象之間具有關(guān)于x軸，y軸,y=±x及原點(diǎn)等對(duì)稱關(guān)系.

4.新知運(yùn)用,提高能力

例1已知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程,求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：

(1)y2=-20x; (2)x2=2ay(a≠0).

變式對(duì)于拋物線y=ax2(a≠0),能找到它的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線嗎?對(duì)于一般的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)又如何呢?

例2求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0,-3);(2)經(jīng)過點(diǎn)A(-1,2).

變式動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到F(0,4)的距離比到直線x=5的距離小1,試判斷M的軌跡是什么圖形.(用兩種方法求解).

設(shè)計(jì)意圖通過橫向與縱向的比較,鞏固對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程特征的認(rèn)識(shí),體會(huì)數(shù)形之間的聯(lián)系,提高學(xué)生的識(shí)圖能力與數(shù)據(jù)分析能力.初中是從函數(shù)的角度研究拋物線，高中是從幾何角度,如“焦點(diǎn)”“準(zhǔn)線”,側(cè)重以數(shù)解形.從例題中,聯(lián)系幾何特征,靈活選擇拋物線的表示形式,總結(jié)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法:先定位(焦點(diǎn))再定形(p).

5.回顧反思,總結(jié)收獲

M·克萊因曾說:“解析幾何徹底改變了數(shù)學(xué)的研究方法”.解析法的引入,使幾何圖形的研究擺脫完全依賴于“形”的直觀,借助綜合幾何法去解決問題的思維方法,促進(jìn)數(shù)與形的跨越式發(fā)展.通過回顧總結(jié)讓學(xué)生感受到解析法開啟了一種新的認(rèn)識(shí)問題、解決問題的方法,同時(shí)在數(shù)學(xué)名言中體會(huì)數(shù)學(xué)的文化魅力.

課后閱讀與探究:

(1)你能證明初速度為v0的物體作平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡是拋物線嗎?

(2)拋物線與我們的生活緊密相連,如圖5,探照燈具有奇妙的光學(xué)性質(zhì):它的反射面為拋物面,這種燈能將點(diǎn)光源變成平行光,使得光線照射得更亮更遠(yuǎn).請(qǐng)課后探究,拋物線美妙的光學(xué)性質(zhì)包含了什么數(shù)學(xué)原理?請(qǐng)分享一個(gè)證明過程.

設(shè)計(jì)意圖從數(shù)學(xué)名言中體會(huì)數(shù)學(xué)的文化魅力.通過課后作業(yè),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀與課外探究的習(xí)慣與能力.同時(shí)聯(lián)系生活中的實(shí)例,進(jìn)一步讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)從生活中來,到生活中去,體驗(yàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值.

三、教學(xué)感悟

數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程中隱含了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí),包括定義、公式、法則、性質(zhì)以及處理數(shù)據(jù)、作圖推理、符號(hào)表達(dá)的技能,也包括數(shù)學(xué)思想與方法等等.因此，概念課的任務(wù)不僅僅是讓學(xué)生掌握概念本身,更重要的是借助概念生成,教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),培養(yǎng)“四能”.筆者在課堂教學(xué)過程中有以下體會(huì):

1.從生活經(jīng)驗(yàn)與形象直觀中提煉數(shù)學(xué)思想,促進(jìn)概念理解，從表象到本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念具有較強(qiáng)的抽象性,而數(shù)學(xué)來源于生活,從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)建構(gòu)概念,讓概念的生成更加自然、必要.學(xué)生雖然看到過生活中的噴泉,了解探照燈、太陽灶等事物,卻未必真正審視過其中蘊(yùn)涵的科學(xué)原理.投擲的籃球、美麗的噴泉的外形一定是拋物線嗎?太陽灶為什么能聚光?在教學(xué)中抓住生活中的“好奇”點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問題.

2.感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值與文化價(jià)值,提升學(xué)習(xí)興趣,鼓勵(lì)從課內(nèi)到課外的自主研究

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其所具有的特性,在科學(xué)技術(shù)發(fā)展、社會(huì)生產(chǎn)生活、人類文明進(jìn)步等方面發(fā)揮巨大價(jià)值.這些價(jià)值的呈現(xiàn)很多是隱性的,需要教師細(xì)致地剖析,讓學(xué)生能夠體會(huì)到、看得見.例如，在本課的情境引入中,讓學(xué)生欣賞拋物線奇妙的光學(xué)性質(zhì);在課后探究中,設(shè)置推理平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡是拋物線等實(shí)踐環(huán)節(jié).這些問題貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),給學(xué)生打開一扇窗,以應(yīng)用價(jià)值與文化價(jià)值為引領(lǐng),促進(jìn)學(xué)生的課外研究與學(xué)習(xí).