浙江省杭州第十四中學(xué) (310006) 周 艷浙江省杭州第二中學(xué)錢江學(xué)校 (311215) 顧予恒

向量具有明確的幾何背景，即有向線段，例如對(duì)平面幾何圖形中的邊賦予方向，這些邊就成了向量．幾何對(duì)象與向量運(yùn)算之間也有著對(duì)應(yīng)的關(guān)系，例如線段長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)于向量模長(zhǎng)，垂直、平行關(guān)系對(duì)應(yīng)于向量數(shù)量積與共線．本文探究利用向量來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題．

用向量法解決平面幾何問(wèn)題主要依托于以下四樣工具：

(2)向量數(shù)乘的意義和運(yùn)算律，對(duì)應(yīng)平行與共線的性質(zhì)；

(3)向量數(shù)量積的意義和運(yùn)算律，對(duì)應(yīng)夾角，特別是數(shù)量積為零對(duì)應(yīng)垂直；

向量法處理初中平面幾何問(wèn)題基本只需要這四條，體現(xiàn)了向量法簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)．

反之亦然，故互為充要條件．

點(diǎn)評(píng)：向量證明四步曲一氣呵成，對(duì)稱統(tǒng)一，給人以美的享受．本結(jié)論還可以推廣到空間四邊形中，向量法顯現(xiàn)了問(wèn)題的內(nèi)在本質(zhì).

圖1

例2(垂直問(wèn)題)如圖1，在正△ABC中，D,E分別是AB,BC上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且AE,CD交于點(diǎn)P，求證：BP⊥CD．

點(diǎn)評(píng)：本解法是典型的向量法四步曲，選擇基底并用它將幾何圖形中的對(duì)象表示出來(lái)，通過(guò)向量運(yùn)算求解，并對(duì)向量結(jié)果進(jìn)行幾何翻譯．

例3(平行問(wèn)題)求證：梯形ABCD的兩對(duì)角線的中點(diǎn)的連線平行于底邊且等于兩底差的一半．

圖2

圖3

圖4

點(diǎn)評(píng)：平面圖形與向量表示之間有著幾何的內(nèi)在聯(lián)系，因此四步曲的第一步分析是必不可少的，借助平面幾何知識(shí)與正余弦定理等工具分析清楚圖形，有助于解決問(wèn)題．

圖5

例6(長(zhǎng)度問(wèn)題)如圖5，AB為⊙O的直徑，C為圓上(除A,B外)一點(diǎn)，∠ACB的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，若AC=6，BC=2，求CD的長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng)：本解法是典型的向量法四步曲，選擇基底并用它將幾何圖形中的對(duì)象表示出來(lái)，通過(guò)向量運(yùn)算求解，并對(duì)向量結(jié)果進(jìn)行幾何翻譯，求線段長(zhǎng)度往往與向量模長(zhǎng)的平方有關(guān)．

圖6

例7 如圖6，扇形OAB的半徑OA=3，∠AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上異于A,B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，作CE⊥OB于點(diǎn)E，連結(jié)DE，點(diǎn)G,H在線段DE上，且DG=GH=HE，求證：CD2+3CH2是定值．

圖7

例8(角度問(wèn)題)如圖7，直角△OAB中，∠AOB=90°,OA=3,OB=2，點(diǎn)M在OB上，且OM=1，點(diǎn)N在OA上，且ON=1，P為AM與BN的交點(diǎn)，求∠MPN．

圖8

點(diǎn)評(píng)：平面幾何問(wèn)題中求角度的問(wèn)題，可以利用向量夾角公式來(lái)求解．建系坐標(biāo)法也是向量法的一種形式．

圖9

分析：要證的對(duì)象是長(zhǎng)度之比，故考慮用向量共線來(lái)解決．

點(diǎn)評(píng)：不添輔助線，只是進(jìn)行向量的表示轉(zhuǎn)化，向量法處理平面幾何問(wèn)題可以變得如此簡(jiǎn)單．

圖10

點(diǎn)評(píng)：利用平面向量基本定理里向量基底表示的唯一性，可以將一個(gè)向量分別表示為在兩個(gè)共線向量上的分量的兩種表示，從而求出分比．

例11(向量投影)圓O過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A，且分別與AB,AC及BC邊上得中線AD交于B1,C1,D1，求證：AB1·AB,AD1·AD,AC1·AC成等差數(shù)列．

圖11

點(diǎn)評(píng)：本解法巧妙地利用了向量數(shù)量積中的投影視角，將兩段共線的線段之積轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算．

向量在整個(gè)高中代數(shù)與幾何版塊中起著統(tǒng)領(lǐng)作用，在其他知識(shí)模塊中都有很多的應(yīng)用，具有工具性的特征．經(jīng)過(guò)本文的梳理，相信大家對(duì)用向量法解決平面幾何問(wèn)題有了更深的認(rèn)識(shí)．平面幾何問(wèn)題，要學(xué)會(huì)遵循“先幾何直觀，再向量表示和運(yùn)算”的順序，對(duì)平面幾何圖形進(jìn)行必要的幾何分析，深刻領(lǐng)會(huì)向量法的關(guān)鍵在于選好“基底”，核心在于基于基本定理的表示，實(shí)質(zhì)就是利用向量運(yùn)算實(shí)現(xiàn)以數(shù)解形．