羅忠濤 夏杭 詹燕梅 張?zhí)祢U

（重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院/信號(hào)與信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065）

1 引言

一般地，信號(hào)處理的數(shù)據(jù)是位于實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域，例如加性噪聲影響下信號(hào)可建模為z=As+n，其中s為有用信號(hào)，A為信號(hào)幅度，n為高斯噪聲，所有參量為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)［1］。此類(lèi)信號(hào)是傳統(tǒng)信號(hào)處理的經(jīng)典問(wèn)題，已得到了充分研究。不過(guò)，對(duì)于某些場(chǎng)景的信號(hào)模型，有用信號(hào)s會(huì)存在于復(fù)數(shù)相位中，例如通信系統(tǒng)中的相位鍵控調(diào)制［2］，雷達(dá)中的多普勒頻率［3］。由于以往此類(lèi)情況涉及的有用信號(hào)形式常常比較簡(jiǎn)單，采用基于復(fù)數(shù)域的傳統(tǒng)方法也可解決問(wèn)題。

當(dāng)有用信號(hào)變得復(fù)雜且處于相位域時(shí)，其信號(hào)處理方法需要展開(kāi)新的討論。例如，2018 年出現(xiàn)的跨介質(zhì)通信系統(tǒng)［4-5］中接收信號(hào)建模為z=Aexp（jBs）+n，有用信號(hào)s存在于復(fù)數(shù)相位中，且其幅度B未知。傳統(tǒng)信號(hào)處理方法難以在復(fù)數(shù)域?qū)崿F(xiàn)對(duì)信號(hào)s的檢測(cè)。對(duì)數(shù)據(jù)z求取相位時(shí)會(huì)產(chǎn)生相位模糊問(wèn)題，并且復(fù)數(shù)域噪聲會(huì)轉(zhuǎn)化到相位中，形成相位噪聲［6］，繼續(xù)干擾對(duì)有用信號(hào)的檢測(cè)。

截至目前，人們對(duì)相位噪聲的研究尚未詳盡，雖然復(fù)高斯噪聲影響下的變量分析已持續(xù)多年。Rice早在1948年研究了關(guān)于正弦波與加性高斯噪聲之和的模與相位分布，后來(lái)提出了變量的模與相位概率密度函數(shù)，即萊斯分布和萊斯相位分布［7-8］。Bennett推導(dǎo)了廣泛使用的萊斯相位分布概率密度函數(shù)［9］。近期，羅忠濤等人研究了萊斯相位分布的分布函數(shù)與數(shù)字特征，分析了相位模糊效應(yīng)下的相位分布［10］。

目前萊斯相位分布主要應(yīng)用于研究相位初相測(cè)量及影響評(píng)估。比如，通信系統(tǒng)中的誤碼率分析［11］，相干脈沖相位測(cè)量系統(tǒng)［12］，遠(yuǎn)程無(wú)源無(wú)線(xiàn)地面聲波傳感［13］，差分相移鍵控通信誤碼率［14］，相位邊界的影響［15］等。關(guān)于通信信道中檢測(cè)性能，文獻(xiàn)［16］評(píng)估了數(shù)字通信系統(tǒng)在一般化的衰落信道中的通信誤碼率性能。不過(guò)，目前還缺少基于萊斯相位分布和統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理的檢測(cè)分析。

本文關(guān)注相位中較弱有用信號(hào)的檢測(cè)問(wèn)題。首先，考慮信號(hào)幅度較弱|Bs|＜1，復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)求取相位時(shí)信號(hào)本身不存在模糊效應(yīng)，但是噪聲存在模糊效應(yīng)；然后，給出噪聲分布和特征的理論公式和近似計(jì)算；之后，考慮基于多樣本數(shù)據(jù)的信號(hào)檢測(cè)，推導(dǎo)檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量及檢測(cè)信噪比公式；最后考慮衰落信道問(wèn)題，以瑞利衰落信道下二進(jìn)制相移鍵控（Binary Phase Shift Keying，BPSK）調(diào)制為例，推導(dǎo)平均信噪比和平均誤碼率公式。由于上述理論公式含有不可積分式導(dǎo)致計(jì)算上的困難，本文研究給出它們的近似計(jì)算方法，既提高運(yùn)算效率，又方便分析參量間的關(guān)系。

2 信號(hào)模型與噪聲分布

本節(jié)將給出復(fù)數(shù)信號(hào)模型與相位信號(hào)模型，分析相位噪聲分布及其數(shù)字特征，研究微弱信號(hào)下的數(shù)字特征近似計(jì)算方法。

2.1 復(fù)數(shù)與相位信號(hào)模型

考慮有用信號(hào)在相位域傳輸，接收復(fù)數(shù)信號(hào)建模為

其中s為有用信號(hào)，B為信號(hào)s的實(shí)數(shù)幅度，A為exp（jBs）的復(fù)數(shù)幅度，n為加性復(fù)高斯噪聲定義為復(fù)信噪比。由于零均值復(fù)高斯噪聲具有循環(huán)對(duì)稱(chēng)性，為方便討論，后文均考慮A≥0。

為檢測(cè)有用信號(hào)s，信號(hào)處理問(wèn)題將從復(fù)數(shù)域轉(zhuǎn)變?yōu)橄辔挥颍诖宿D(zhuǎn)換過(guò)程中，信號(hào)可能會(huì)出現(xiàn)纏繞或者模糊的情況。

考慮微弱信號(hào)情況即|Bs|＜1，?z表示未經(jīng)解模糊處理的測(cè)量相位，對(duì)應(yīng)相位信號(hào)及其噪聲為

其中ψ表示z的測(cè)量相位，φ表示模糊相位噪聲。為了方便討論令?=Bs表示有用信號(hào)。

2.2 模糊相位噪聲分布與數(shù)字特征

由于無(wú)模糊相位噪聲的分布與特性是分析模糊相位噪聲的基礎(chǔ)，因此可以根據(jù)無(wú)模糊相位噪聲的概率密度函數(shù)（Probability Density Function，PDF）與累積分布函數(shù)（Cumulative Distribution Function，CDF）來(lái)分析模糊相位噪聲的分布與特性。

考慮有用信號(hào)|?|＜1，根據(jù)相位模糊效應(yīng)的特點(diǎn)，可基于復(fù)數(shù)模和相位的聯(lián)合分布，推導(dǎo)出模糊相位噪聲的PDF為［10］

其中K為上文已定義的復(fù)信噪比，且

表示無(wú)模糊相位噪聲分布的PDF，其中f（0x，K）是關(guān)于自變量x的偶函數(shù)。當(dāng)|?|=0 時(shí)，噪聲為對(duì)稱(chēng)分布；否則為非對(duì)稱(chēng)分布。

根據(jù)PDF 表達(dá)式（4），可計(jì)算模糊相位噪聲的均值為

利用xf（0x，K）在零對(duì)稱(chēng)區(qū)間內(nèi)積分為零的性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化公式。分?≥0和?＜0兩個(gè)情況討論，經(jīng)過(guò)計(jì)算與總結(jié)，得到模糊分布均值計(jì)算式為

其中sgn（.）為符號(hào)函數(shù)，F(xiàn)0（x，K）為對(duì)稱(chēng)分布的CDF，可以表示為

其中

由于x2f（0x，K）是偶函數(shù)，區(qū)間［-π+?，π+?］與［-π?，π-?］關(guān)于零對(duì)稱(chēng)，所以能量函數(shù)P（K，?）是關(guān)于?的偶函數(shù)，因此僅需推導(dǎo)?＞0 的情況。再次利用xf（0x，K）的奇函數(shù)性質(zhì)，最終可得到模糊相位噪聲能量表達(dá)式為

二階中心矩可視為模糊相位噪聲分布的方差，可由一階原點(diǎn)矩和二階原點(diǎn)矩計(jì)算得到

可以看出其所需的數(shù)值積分運(yùn)算與二階原點(diǎn)矩是一樣的。

2.3 數(shù)字特征近似計(jì)算

相位噪聲分布的數(shù)字特征中含有多個(gè)不可積分表達(dá)式，能量和方差的計(jì)算尤其復(fù)雜。為了簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，下面考慮微弱信號(hào)情況下，對(duì)數(shù)字特征進(jìn)行近似計(jì)算。注意，這里說(shuō)的信號(hào)微弱指|?|較小，與復(fù)信噪比K沒(méi)有直接聯(lián)系。

首先，引入泰勒級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)化對(duì)稱(chēng)分布的CDF 計(jì)算表達(dá)式。當(dāng)x≈0時(shí)，有

其中

將式（14）代入均值計(jì)算公式（7），則模糊相位噪聲均值的近似計(jì)算表達(dá)式為

3.SVM模型的輸出結(jié)果。為確定SVM模型的最佳訓(xùn)練集大小，本文以200個(gè)樣本為步長(zhǎng)有放回地從訓(xùn)練集中分層隨機(jī)抽取訓(xùn)練樣本，得到各指標(biāo)隨訓(xùn)練樣本大小變化的曲線(xiàn)圖，如圖3、圖4所示。

其次，能量計(jì)算公式（11）中關(guān)于對(duì)稱(chēng)分布CDF的積分運(yùn)算，采用梯形方法近似為

再借助CDF 近似計(jì)算式（13），可得能量的近似計(jì)算公式為

最后，根據(jù)噪聲均值和能量的近似表達(dá)式，可以得到方差的近似計(jì)算公式為

（i）在低信噪比0≤K≤1 區(qū)間積分公式進(jìn)行近似計(jì)算。

（ii）在高信噪比K≥10區(qū)間，認(rèn)為相位噪聲近似于高斯分布。

本節(jié)給出的相位噪聲分布數(shù)字特征的近似計(jì)算方法均為閉合解析式，可實(shí)現(xiàn)快速高效的計(jì)算。對(duì)于弱信號(hào)|?|＜0.5時(shí)近似計(jì)算的歸一化誤差，均值誤差小于7%，能量和方差誤差均小于1%。對(duì)于弱信號(hào)|?|＜1 時(shí)近似計(jì)算的歸一化誤差，在低信噪比下，均值誤差小于3%，能量和方差的誤差均小于1%；在中信噪比下，均值誤差小于8%，能量和方差的誤差均小于4%。可見(jiàn)本文的近似計(jì)算方法對(duì)能量和方差近似比較精確，對(duì)于均值稍差一點(diǎn)。

3 平坦衰落信道的分析

本節(jié)考慮信號(hào)幅度A和B均為確定性參量的情況，分析相位噪聲影響下的信號(hào)檢測(cè)信噪比計(jì)算公式，然后提出針對(duì)弱信號(hào)檢測(cè)的信噪比近似計(jì)算方法。

3.1 檢測(cè)信噪比推導(dǎo)

考慮基于多樣本的信號(hào)檢測(cè)，采樣序列為m=1，2，…，M，接收信號(hào)的復(fù)數(shù)模型為

對(duì)應(yīng)的相位信號(hào)模型為

對(duì)于相位信號(hào)模型，按照能量計(jì)算的信噪比為

但是，由于相位噪聲的均值不為零，此信噪比與檢測(cè)性能沒(méi)有直接關(guān)系。

考慮匹配濾波器，輸出的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量可表示為

推導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)量的均值和方差分別為

因此輸出信噪比可寫(xiě)為

式（26）為檢測(cè)信噪比的理論計(jì)算公式，含有多個(gè)不可積分表達(dá)式。

3.2 檢測(cè)信噪比近似計(jì)算

考慮微弱信號(hào)檢測(cè)，根據(jù)表達(dá)式（13）和（18），可以將檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量的均值和方差簡(jiǎn)化為

因此微弱信號(hào)檢測(cè)的輸出信噪比可近似為

進(jìn)而可得Dw(B，K，s) ≈結(jié)合式（27），弱信號(hào)檢測(cè)信噪比近似等于

最后，考慮弱信號(hào)|Bs(m)|＜1，可將檢測(cè)信噪比近似為

該近似方法的推導(dǎo)可分為如下3步。為方便分析，令Gsnr(K)=

（i）對(duì)于低信噪比0≤K≤1，利用式（14）可以得到

（ii）對(duì)于高信噪比K≥10，可以得到

此外高信噪比下相位噪聲可認(rèn)為近似為高斯分布，其方差可近似為1/2K，因此可得

（iii）對(duì)于中信噪比1＜K＜10，信噪比近似采用多項(xiàng)式擬合的思路。仿真表明：低信噪比近似方法在0≤K≤1區(qū)域內(nèi)表現(xiàn)良好；高信噪比近似方法在K≥10 時(shí)表現(xiàn)良好；在中信噪比區(qū)域lgSNRw（B，K，s）與lgK近似線(xiàn)性關(guān)系。因此，設(shè)lgSNRw（B，K，s）與lgK滿(mǎn)足一次線(xiàn)性方程，可表示為lgSNRw（B，K，s）=algK+b。該方程經(jīng)過(guò)兩個(gè)固定點(diǎn)：當(dāng)K=1 時(shí)，lgK=0，lgSNRw（B，K，s）=0；當(dāng)K=10 時(shí)，lgK=1，lgSNRw（B，K，s）=lg20。當(dāng)b=0時(shí)，a=lg20。因此，有

進(jìn)而有

綜上，可得檢測(cè)信噪比的近似表達(dá)式（32）。為了方便書(shū)寫(xiě)和討論，令檢測(cè)信噪比中K與Es的相關(guān)量為

總的來(lái)說(shuō)，在低信噪比和高信噪比下，檢測(cè)信噪比與復(fù)數(shù)信噪比呈線(xiàn)性關(guān)系；在中信噪比區(qū)域，二者的非線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系非常明顯。檢測(cè)信噪比與信號(hào)能量B2Es成正比關(guān)系。

4 瑞利衰落信道的分析

本節(jié)考慮信號(hào)幅度B服從瑞利衰落信道時(shí)，推導(dǎo)檢測(cè)信噪比的理論信噪比表達(dá)式和近似計(jì)算表達(dá)式。然后以二進(jìn)制相移鍵控BPSK為例，給出理論誤碼率的計(jì)算方法，并提出簡(jiǎn)單快捷的近似計(jì)算方法。

4.1 平均信噪比

瑞利衰落信道（Rayleigh Fading Channel）是一種無(wú)線(xiàn)電信號(hào)傳播環(huán)境的統(tǒng)計(jì)模型。瑞利信道常用于從發(fā)射機(jī)到接收機(jī)不存在直射信號(hào)的情況，屬于小尺度的衰落效應(yīng)，適合用于跨界傳輸?shù)膱?chǎng)景。

當(dāng)B服從瑞利分布時(shí)，其PDF可表示為

其中σB為瑞利信道參數(shù)。

瑞利衰落信道的平均檢測(cè)信噪比可定義為

即為固定幅度B的信噪比的積分。不過(guò)，結(jié)合式（24）和（25）可以發(fā)現(xiàn)信噪比積分公式很復(fù)雜，難以簡(jiǎn)化。

考慮弱信號(hào)下的近似，利用信噪比近似公式（32）和（39），將平均檢測(cè)信噪比近似為

4.2 平均誤碼率

相位噪聲中通信信號(hào)的誤碼率，既依賴(lài)于通信體制和信號(hào)調(diào)制方式，也跟信道參數(shù)關(guān)系很大。本文考慮基于多樣本的通信檢測(cè)問(wèn)題，以BPSK 為例推導(dǎo)理論誤碼率的計(jì)算方法。其他調(diào)制方式的誤碼率推導(dǎo)采用類(lèi)似的方法。

從二元假設(shè)角度考慮，設(shè)BPSK 信號(hào)s（m）傳輸后接收的復(fù)數(shù)信號(hào)模型為

對(duì)應(yīng)的相位信號(hào)為y(m)=?z(m)。檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量漸近服從高斯分布，可表示為

BPSK信號(hào)檢測(cè)的判決準(zhǔn)則為

該檢測(cè)器所得的BPSK調(diào)制的理論誤碼率為

采用檢測(cè)信噪比的近似計(jì)算式（32）和式（39），可將誤碼率近似計(jì)算為

可見(jiàn)，此表達(dá)式計(jì)算簡(jiǎn)單。

瑞利衰落信道下的誤碼率，可通過(guò)固定信號(hào)幅度下的誤碼率積分得到，即

此公式無(wú)解析式，只能通過(guò)數(shù)值計(jì)算。由前文可見(jiàn)，誤碼率式（48）和方差式（12）均含有不可積分表達(dá)式，檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量方差式（25）需要累加求和，運(yùn)算量非常大。

采用誤碼率近似式（47），將瑞利衰落信道下的平均誤碼率近似為

給出的平均誤碼率與平均信噪比的關(guān)系很簡(jiǎn)單直接。

對(duì)于其他調(diào)制方式，如MSK、BFSK 等，可以用相似方法推導(dǎo)出其誤碼率與信噪比的近似關(guān)系。這里不再贅述。

5 仿真與分析

本節(jié)通過(guò)仿真驗(yàn)證本文所提信噪比與通信誤碼率的理論與近似計(jì)算方法的有效性。設(shè)傳輸信號(hào)為（sm）=sin（0.03πm），M=1000。接下來(lái)開(kāi)展4個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)。

（i）首先仿真固定衰落信道即B為定值時(shí)，理論檢測(cè)信噪比SNR（TB，K，s）式（26）及其近似計(jì)算方法SNR（AB，K，s）式（32）。檢測(cè)信噪比仿真結(jié)果如圖1，圖1 中是x 標(biāo)注虛線(xiàn)表示近似計(jì)算，黑色實(shí)線(xiàn)表示理論計(jì)算。可見(jiàn)，信噪比的近似計(jì)算與理論計(jì)算在B＜1 時(shí)很準(zhǔn)確；檢測(cè)信噪比與K在信噪比區(qū)域中為非線(xiàn)性關(guān)系，但與B近似成線(xiàn)性關(guān)系。

從兩個(gè)角度分析瑞利衰落信道的信噪比。由圖2（a）的曲線(xiàn)可見(jiàn)，近似計(jì)算的信噪比能夠很好地?cái)M合理論信噪比，除了σB＞0.5 區(qū)域，這一點(diǎn)從圖2（b）也容易看出。對(duì)于K＜1的曲線(xiàn)，σB＞0.5后的信噪比明顯與σB不是線(xiàn)性關(guān)系，而K＞10 的曲線(xiàn)基本上是一條直線(xiàn)。

由仿真可以看出，本文提出的檢測(cè)信噪比近似方法對(duì)于K＞10或σB≤0.5時(shí)的近似效果很好。

下面仿真BPSK 調(diào)制解調(diào)的誤碼率。根據(jù)信號(hào)模型（43）生成復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)（zm），然后求其相位得到數(shù)據(jù)y(m)=?z(m)，再根據(jù)判決式（45）進(jìn)行解碼。

（iii）仿真固定幅度B的誤碼率，結(jié)果如圖3（a）?？梢钥吹?，當(dāng)B較小時(shí)，理論誤碼率與近似誤碼率相同，也與仿真誤碼率吻合。當(dāng)B=1 時(shí)，理論誤碼率與仿真誤碼率吻合，但近似誤碼率有明顯差距。這說(shuō)明誤碼率的近似計(jì)算方法不適用于非弱信號(hào)檢測(cè)的情況。

（iv）然后，仿真幅度B經(jīng)過(guò)瑞利衰落的誤碼率。由于本文只討論有用信號(hào)無(wú)模糊的情況，故令仿真中0＜B＜π。經(jīng)過(guò)50 萬(wàn)次蒙特卡洛仿真，誤碼率統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖3（b）。可以看到，當(dāng)幅度參數(shù)σB較小時(shí)，仿真誤碼率與理論誤碼率吻合，近似計(jì)算的誤碼率也基本吻合，但較大σB時(shí)近似誤碼率不再準(zhǔn)確。

6 結(jié)論

本文分析了零均值復(fù)高斯噪聲影響下的復(fù)數(shù)相位中有用信號(hào)的檢測(cè)信噪比問(wèn)題?；谙辔恍盘?hào)模型和模糊相位噪聲分布，推導(dǎo)了平坦衰落信道和瑞利衰落信道下的信號(hào)檢測(cè)信噪比和誤碼率的理論公式。針對(duì)理論公式過(guò)于復(fù)雜且非解析的問(wèn)題，提出了具有閉合式的近似計(jì)算方法，可適用于信號(hào)幅度小于1 的情況。分析表明：信號(hào)檢測(cè)信噪比與復(fù)數(shù)信噪比K是非線(xiàn)性關(guān)系，分別在0≤K≤1、1＜K＜10、K≥10 區(qū)間與K、K1.3、2K成正比；瑞利衰落信道下該非線(xiàn)性關(guān)系依然成立，且所提信噪比能夠直接換算為平均誤碼率。本文研究的數(shù)據(jù)相位中信號(hào)檢測(cè)信噪比的理論值與近似計(jì)算方法，能夠?yàn)橄辔恍盘?hào)檢測(cè)類(lèi)問(wèn)題的分析提供參考作用。