黃澳 柏正堯，2 周 雪

（1.云南大學信息學院，云南昆明 650500；2.云南大學-云南天文臺信息技術聯合實驗室，云南昆明 650500）

1 引言

在過去的幾十年里，數字處理技術的發(fā)展刺激了對更大帶寬信號和更高分辨率圖像和視頻的數字化需求的快速增長。然而，傳統(tǒng)ADC 設備無法滿足這種帶寬數字化的需求。為了解決這個問題，一種不同的數據采集框架，即壓縮感知（Compressed Sensing，CS）出現了，基于CS 提出的顯著性圖像可以廣泛應用于許多計算機視覺領域的應用，CS利用信號的稀疏特征，能用數目顯著低于奈奎斯特采樣定理要求的樣本準確地重構出稀疏信號。

目前，壓縮感知理論在諸多領域都取得了很好的研究成果，但是壓縮感知要想從理論走向實際還需要考慮存儲、傳輸和處理等過程。為了降低硬件的復雜性、成本、數據傳輸帶寬和能量，需要用少量的比特來量化測量。因此，一些學者提出了1位CS，利用每個被測符號進行1 bit量化，恢復稀疏信號，提高信號采樣效率。2007 年，Boufouno 和Baraniuk 等人［1］提出了一種基于不定點迭代（Fixed-Point Continuation，FPC）的算法--重正規(guī)化不動點迭代算法（Renormalized Fixed Point Iteration，RFPI），該算法利用單邊的l2范數來強制一致性。該算法是有效的，但出現符號跳變時表現不佳。除了基于FPC的方法外，還提出了其他一些1位CS算法，包括二進制迭代硬閾值（Binary Iterative Hard Thresholding，BIHT）［2］、匹配符號追蹤（Matching Sign Puisit，MSP）［3］、基于正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）［4］的量化子空間追蹤（Quantization Subspace Pursuit，QSP）與量化壓縮采樣（Quantization Compressive Sampling Matching Pursuit，QCaSamp）［5］、基于l1最小化線性回歸（Linear Programming，LP）［6］、歷史（HISTORY）算法［7］、被動（passive）算法［8］和類似于信賴域的限制步長收縮算法RSS［9］。這些算法或多或少都有缺陷。QSP、QCasamp、QMP、BIHT、MSP 和HISTORY 這些需要稀疏性水平作為先驗信息，而RFPI、passive 和RSS 則不需要。另外，BIHT 在重建誤差和一致性方面優(yōu)于MSP和RSS。

對1 bit 壓縮感知的另一個挑戰(zhàn)是噪聲環(huán)境下的魯棒性。在有噪聲的情況下，二進制測量值是隨機擾動的，符號跳變嚴重降低了恢復性能。文獻［10］提出的自適應異常值追蹤（Adaptive Outlier Pursuit，AOP）算法，以及基于RFPI 與自適應異常值追蹤的NARFPI［11］算法在噪聲環(huán)境中具有魯棒性。盡管這些信號重構算法具有良好的性能，但無一例外都需要信號稀疏性這一先驗信息。因此，一些研究者致力于通過克服稀疏依賴性來提高信號恢復的精度，文獻［12］提出一種基于AOP 思想的改進不動點的FPC-AOP-算法，它雖然不需要信號稀疏度的先驗知識，但性能不理想。另外，用于處理符號跳變錯誤的魯棒的1 bit 貝葉斯壓縮感知（Bayesian Compressed Sensing，BCS）［13］，信號重構性能良好且不需要信號的稀疏度先驗信息，但是卻需要稀疏信號與噪聲的高斯逆伽馬先驗信息。文獻［14］提出分塊稀疏信號重構算法，性能優(yōu)于BIHT 算法，但由于需要計算Toeplitz 矩陣，計算效率不高，適用于維度比較低的稀疏信號重構。文獻［15］考慮超定與欠定條件下的最小二乘法，引入一種原始對偶活動集算法，提出原對偶連續(xù)主動集算法（A primal dual active set algorithm with continuation，Pdasc）算法來解決非平滑問題，對噪聲和符號跳變具有一定魯棒性，然而只對稀疏度較低有效，但對于稀疏度高的問題重構性能不佳。文獻［16］提出非凸稀疏性的誘導懲罰型算法，極大最小的凸懲罰項（Minimax Concave Penalty，MCP），求解對偶問題，來求得解析解。能夠獲得較好的結果并提高恢復性能。但對噪聲魯棒性不高，而且對于低維信號性能不佳?？傊@些算法要么需要稀疏性水平的先驗信息，要么信號重構性能有限。

針對上述方法的局限性，本文提供出一種簡單而有效的算法，在稀疏性未知的情況下，借鑒稀疏度自適應匹配追蹤（Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP）［17］自適應稀疏度思想，結合自適應異常值追蹤與自適應稀疏度的思想實現最優(yōu)的信號重構性能。自適應異常值追蹤能夠檢測出大部分的符號跳變，并且在符號跳變被糾正后，測量結果更加準確，因此能夠提高這算法的性能。本文方法利用彈球損失函數，提高對符號跳轉的檢測，此外，還設置了正則化參數，以加快運算速度。與現有算法相比，該算法的性能有顯著提高。數值結果表明了該算法的有效性和優(yōu)越性。

2 壓縮感知理論

2.1 一位壓縮感知理論

壓縮感知是稀疏可壓縮信號采樣和重構的一種方法。不失一般性，假設信號x是N 維向量，稀疏度為K，通過采樣，得到信號y=Φx，要從y中重構信號x：

一位壓縮感知問題變?yōu)椋?/p>

信號的幅度通過一位量化丟失，將稀疏信號限制在超球面上，

二進制迭代硬閾值算法（BIHT）是在迭代硬閾值算法（IHT）的基礎上提出的。在經典壓縮感知中，引入IHT對稀疏信號進行迭代重構。

IHT 方法用于解決壓縮感知中的類似以下的問題：

IHT迭代公式有：

其中ηK(x)，通過保持K個最大的項的大小為x，suppK(x)其余設置為0。

類似地，在1 位壓縮感知中，BIHT 修改IHT 中的梯度步驟，迭代計算如下：

BIHT算法可以看做是解決這樣一個問題：

[·]-是負值函數，大于零的元素取零，負數不變（單邊l1范數）。

BIHT 算法在無噪聲的情況下能得到更好的可行解。但是如果有許多測量信號值發(fā)生跳變，BIHT的效果變得很不理想。

假設噪聲級別（發(fā)生跳變的信號所占比例）給定，我們可以選擇一個合適的整數L，整個測量值中最多有L個信號被錯誤地采集（發(fā)生跳變）。比如測量值y∈{-1，+1}M，Λ∈RM是一個二值矢量表示數據的對錯：

我們可以把我們的問題表述為：

自適應離群點追蹤的求解，采用交替極小化方法［10］求解：

（1）固定Λ，求解x：

（2）固定x，求解Λ：

這個問題可以從[y·(Φx)]-的M個元素中選擇M-L個元素，這些元素滿足和最小。對于問題一中估計出來的x，我們在一步中更新Λ：

T是[y·(Φx)]-中的第L大的元素值。

BIHT-AOP算法的是為了找到ΦT(y-sign(Φx))的最小值。采用梯度下降法求出最小值，通過硬閾值函數映射到單位球面上。交替極小化法，求解原稀疏信號。

本文首先使用高斯稀疏信號作為原始信號進行仿真實驗。信號長度N=1000，M=500，信號噪聲比例50 dB，跳變次數L從10到100，間隔為10，感知矩陣Φ為隨機高斯矩陣。使用BIHT-AOP重構。在不同稀疏度下，L從10 到100 時，進行100 次實驗。實驗結果如圖1 所示，在信號跳變固定下，稀疏度K未知下，不同稀疏度對重構信號的精度影響較大。相同稀疏度下，信號跳變越多，重構信號信噪比也就越低。通過上述實驗結果分析，稀疏度K與噪聲是影響重構效果的兩個重要因素，為了提高重構信號信噪比，有必要去解決對稀疏信號的稀疏度K的依賴以及提升對信號噪聲魯棒性。

2.2 自適應稀疏度的一位壓縮感知算法

我們將固定步長自適應方法與自適應異常值追蹤引入PIHT 算法中，提出了一種自適應稀疏度的AOP-ASPIHT算法，用于解決未知信號稀疏度與符號跳變導致的重構效果不理想的問題。其中，固定步長法主要是通過計算得到信號稀疏度的估計數，然后將估計數輸入到算法中，進行下一步的信號部分恢復。

首先定義彈球損失：

文獻［18］給出了以下關于一位壓縮感知的凸模型：

在無噪聲情況下，PIHT 算法相對BIHT 有所提高。但如果有信號跳變，兩種算法效果都變得不理想。為此加入自適應異常值追蹤。變?yōu)橄率鰡栴}：

首先設定初始步長m＜K作為迭代的初始硬閾值參數，然后判斷相鄰兩次迭代信號的能量差和殘差大小，確保迭代向收斂方向發(fā)展。

當相鄰兩次迭代信號的能量差小于ε時，此時的硬閾值大?。ü烙嬒∈瓒萐）最接近信號稀疏度，再利用S恢復原信號。步驟（1）到步驟（3），實現了稀疏度的粗估計和迭代變量的初始化。詳細如表1所示算法1。

表1 本文提出算法偽代碼Tab.1 The pseudo-code of the proposed algorithm in this paper

（1）確定固定步長m，使其滿足m＜K。

（2）采用步長m值的大小作為硬閾值的初始值在球面映射重建。通過計算相鄰兩次迭代過程中信號估計值的能量差和殘差，判斷殘差是否隨迭代次數的增加而減小，計算出兩個信號的能量差小于ε。

（3）記錄此時硬閾值的大小，并將其用作估計的信號稀疏度以用于信號恢復。

3 實驗仿真與結果分析

3.1 對AOP-ASPIHT仿真

我們在i5-7500，GTX750ti 電腦上用Matlab R2020a軟件進行仿真實驗，比較了有（無）噪聲影響下算法的信號重構性能。實驗中的信號恢復性能指標主要基于主流的評價指標，信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）和均方誤差（Mean Square Error，MSE），絕對均方誤差（Absolute Mean Square Error，AMSE）與漢明誤差（Hamming Error），其中信噪比定義如下：

均方誤差（MSE）定義如下：

絕對均方誤差（AMSE）定義如下：

漢明誤差（HE）定義如下：

3.2 無噪聲影響下算法性能比較

感知矩陣Φ全部使用隨機高斯矩陣。其中，模擬信號的長度固定在N=256，觀測次數M=100，稀疏度K=10，AOP-ASPIHT 參數步長m=5。比較在符號跳變率為0%（無符號跳變），無噪聲，稀疏度為10時，BIHT 重構算法，歸一化二進制迭代硬閾值（Normalized Binary Iterative Hard Thresholding，NBIHT）［19］，PIHT［3］，以及本文提出的AOP-ASPIHT 的均方誤差（MSE），信噪比（SNR）以及運行時間。進行了100次蒙特卡洛實驗。

文獻［19］證明了最佳誤差衰減率取參數μ=得到歸一化二進制迭代硬閾值NBIHT 算法，將BIHT 中損失函數換為彈球損失函數，得到PIHT。仿真實驗結果如表2 所示，在無噪聲，無符號跳變下，NBIHT 算法性能相對BIHT 算法并沒有提高，但是運行時間少于BIHT算法。PIHT算法信號重構性能是優(yōu)于BIHT 算法，MSE 減低2.1%，信噪比提高5.13%，運行時間減少約BIHT 的1/6。PIHT（α=，將BIHT 算法中μ值設置為μ=性能相對PIHT（α=0.05）有所提升，本文提出的AOP-ASPIHT算法重構性能明顯優(yōu)于PIHT，BIHT。相對BIHT，MSE 降低9.72%，信噪比提高17.09%，運行時間減少約BIHT 的1/3。在無噪聲情況下，PIHT 相對BIHT 算法重構性能有所提升，NBIHT 算法相對BIHT 運行時間有所降低。為此考慮在下一步有噪聲實驗中加入歸一化參數。

表2 四種算法性能比較Tab.2 Performance comparison of four algorithms

3.3 有噪聲影響下算法性能比較

采用AMSE，SNR，HE 與運行時間等指標對PIHT［3］，BIHT-AOP［10］，PIHT-AOP［3］及本文提出的AOP-ASPIHT 算法重構性能進行比較。模擬信號采用經典的高斯稀疏信號。稀疏信號固定長度N=1000，觀測次數M從200 到700，間隔為100。稀疏度設置K為10，符號跳變比例5%～10%（稀疏信號中有M× 10%個符號跳變）。PIHT，BIHT-AOP，PIHTAOP以及本文提出的AOP-ASPIHT步長參數均設置為

為驗證AOP-ASPIHT 算法性能重構性能，利用BIHT 算法，BIHT-AOP 算法，PIHT-AOP 以及本文提出的AOP-ASPIHT對信號進行重構，比較其絕對均方誤差，信噪比，漢明誤差以及運行時間。由圖2（a），（b）以及圖3 四種算法漢明誤差，運行時間的對比，可以看出本文提出的算法信號重構性能要優(yōu)于PIHT，BIHT-AOP，PIHT-AOP，在測量值M=300 時，相對PIHT-AOP 算法本文提出算法絕對均方誤差降低約0.15，信噪比提高約5 dB，漢明誤差降低約0.04。這說明本文提出方法可以有效地降低符號跳變對重構信號的性能的影響。M值超過600之后本文提出方法重構性能SNR 隨著測量值增加，增長變緩慢。由圖3（b）看出，BIHT-AOP 算法由于在算法過程中增加了對符號跳變位置的檢測，消耗了時間，其運行時間增加。在M=400 時，運行時間超過本文提出的AOP-ASPIHT。PIHT 算法可以降低符號跳變的影響，加入自適應異常值追蹤方法后，可以進一步降低符號跳變的影響使得算法收斂速度快。本文提出的AOP-ASPIHT算法利用了相鄰殘差能量信息，雖然增加了對稀疏度的估計，但是可以使得迭代次數降低，算法收斂速度相對BIHT-AOP加快。

為驗證符號跳變比例對信號重構性能的影響，本文考慮M=500，N=1000，K=10。符號跳變比例為5%到10%，每次增長1%。實驗結果如圖4 跳變對信噪比的影響所示，跳變比例在5%四種算法SNR差別不大。隨著跳變比例增加，四種算法SNR 均降低，AOP-ASPIHT 信噪比下降最慢，其次是PIHTAOP，再其次是BIHT-AOP，說明PIHT 算法本身就能減小符號跳變的影響，主要是因為PIHT 通過設計邊緣距離來抑制符號跳變對信號稀疏重構的影響。本文所提出的AOP-ASPIHT 利用回溯思想，來估計信號稀疏度的有助于檢測符號跳變的位置，其性能提高。從圖4可以看出，符號跳變比例10%時，AOP-ASPIHT 信噪比相對提高3 dB。說明本文提出的方法可以更好的抗符號跳變引起的噪聲。

3.4 與其他先進算法性能比較

采用MSE 與運行時間等指標對其他先進算法如BIHT［1］，BIHT-AOP［10］，LP［26］，Passive［8］，Pdasc［15］等及本文提出的AOP-ASPIHT算法重構性能進行比較。其中BIHT，BIHT-AOP，LP 均需要稀疏度先驗信息，Pdasc，Passive 以及本文提出的方法均不需要稀疏度水平。模擬信號采用經典的高斯稀疏信號。稀疏信號固定長度N=1000，觀測次數M從300 到600，間隔為50。稀疏度設置K為10，符號跳變比例分別為1%～10%與2%到14%（稀疏信號中有M×符號跳變比例個符號跳變）。其中BIHT，BIHTAOP，以及本文提出的AOP-ASPIHT 步長參數均設置為

為驗證AOP-ASPIHT 算法性能重構性能，利用BIHT，BIHT-AOP，LP，Passive，MCP，Pdasc 以及本文提出的AOP-ASPIHT 對信號進行重構，比較其均方誤差與信噪比。稀疏信號固定長度N=1000，觀測次數M從300 到600，間隔為50。稀疏度設置K為10，符號跳變比例1%，噪聲比例為0.1。由圖5（c），（d）看出，本文提出的算法信號重構性能要優(yōu)于BIHT，BIHT-AOP，LP，Passive，MCP，Pdasc，在測量值M=450時，相對BIHT-AOP算法本文提出算法絕對均方誤差降低約0.02，信噪比提高約5 dB。這說明本文提出算法可以有效地降低符號跳變對重構信號的性能的影響且對低M值的稀疏信號有較好的恢復特性。M值超過600 之后本文提出算法重構性能SNR 達到51 dB，其余各種算法隨著M的增大，恢復效果逐漸增強，可以最高達到45 dB。原因是PIHT算法本身就能減小符號跳轉的影響，加入自適應異常值追蹤方法后，可以進一步降低符號跳變，此外利用回溯思想，來估計信號稀疏度的有助于檢測符號跳變的位置，其性能提高。且本文算法不易受M值的影響，其余如LP，Passive，MCP，Pdasc 各種算法受M值影響較大，小M值甚至不能很好的恢復稀疏信號。說明本文提出的方法對噪聲具有較好的魯棒性。

為驗證符號跳變比例對信號重構性能的影響，本文考慮首先考慮小M值，M=300，N=1000，K=10符號跳變比例為1%到10%，每次增長1%。實驗結果如圖5（a）所示，跳變比例在1%，性能相對最好的PDASC 算法重構成功率約為0.75，此時本文所提算法重構成功率達到1。隨著跳變比例增加，七種算法重構成功率均降低，AOP-ASPIHT 算法重構成功率下降最慢，其次是BIHT-AOP。主要因為本文所提出的AOP-ASPIHT 利用回溯思想，來估計信號稀疏度的有助于檢測符號跳變的位置，此外還通過設計邊緣距離來抑制符號跳變對信號稀疏重構的影響，其性能相對BIHT-AOP 提高。其余算法都能一定程度抑制符號跳變引起的噪聲，但性能隨著跳變比例的增大，信號重構成功率逐漸降低，在4%時，幾乎其他算法信號重構成功率接近0。說明其他算法能一定抗符號跳變，但隨著符號跳變比例增大，性能逐步下降。本文所提算法能很好解決符號跳變引起的信號恢復性能不佳的問題。其次本文考慮M值對其他算法如LP，Passive，MCP，Pdasc 恢復性能影響較大，設計如下實驗。M=600，N=1000，K=10 符號跳變比例為2%到14%，每次增長2%。實驗結果如圖5（b）所示，LP，Passive，MCP，Pdasc，BIHT重構成功率都相對M=300 時的重構成功率有所提高，說明隨著M值增加，各類算法都具有一定的抗符號跳變能力，但隨著符號跳變比例增大，重構性能都下降。在12%時，幾乎其他算法信號重構成功率接近0，而本文算法信號重構成功率依然接近0.6。說明本文提出的算法對符號跳變引起的噪聲具有很好的魯棒性。

4 結論

我們提出了具有自適應稀疏性的1 bit壓縮感知算法。通過計算殘差能量大小，有效地學習了信號和噪聲，采用固定步長學習硬閾值參數，近似計算稀疏度，引入AOP 進一步降低符號跳變的影響，獲得了滿意的結果。通過均方誤差（MSE），信噪比，絕對均方誤差（AMSE）和重構成功率分析，說明本文提出的1 bit 壓縮感知重建算法是有效的，并具有對噪聲的魯棒性。本文重構算法很好地解決了重構算法稀疏度依賴性問題，顯著提升了重構效果。

在未來的工作中，我們計劃將算法應用于天文射電信號功率譜估計研究中。