辜家吉

雙曲線是圓錐曲線中的一種特殊曲線.一般地，雙曲線的標準方程有兩種：（1）若實軸或焦點在x 軸要求得雙曲線的標準方程，需明確實軸或焦點的位置，以及a、b、c 的取值.下面主要介紹兩種求雙曲線標準方程的常用方法.

一、定義法

利用定義法求雙曲線的標準方程，首先要找出兩個定點（即焦點）的位置或者坐標，然后根據(jù)已知條件判斷是否有一動點到這兩個定點的距離的差為常數(shù)，且動點到兩定點的距離的差值小于兩定點間的距離，則可根據(jù)雙曲線的定義斷定該動點的軌跡為雙曲線，從而確定 c和a 的值，再由 b2=c2-a2求出 b2，進而求

出雙曲線的標準方程.

例1.已知兩定點的坐標分別為 F1-5，0，F(xiàn)25，0，動點 P 到定點 F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值為6，求 P? 點的軌跡方程.

分析：由題意可知動點 P 到定點 F1，F(xiàn)2距離的差的絕對值為常數(shù)，即PF1-PF2=2a =6，且動點P 到兩定點 F1，F(xiàn)2距離的差值小于兩定點間的距離，則 P 點的軌跡為雙曲線，根據(jù)雙曲線的定義可分別求得a 、b 的值，從而求得雙曲線的標準方程.

解：由題意F1F2=10> 6，PF1-PF2=6，由雙曲線的定義可知，P 點的軌跡是一條雙曲線.因為雙曲線兩焦點的坐標在 x 軸上，所以可設其標準方程為：x2- y2= 1a >0，b >0，因為 F1-5，0，F(xiàn)25，0，所以 c =5 ，又因為PF1-PF2=2a =6 <2c =10，所以 a =3，則 b2=c2-a2= 16，所以雙曲線的標準方程為：x2- y2= 1.

二、待定系數(shù)法

利用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程，先要明確雙曲線的焦點在x 軸還是y 軸上，然后設出雙曲線的標準方程，根據(jù)題意建立方程組求得a，b 的值，進而求出雙曲線的標準方程.如果雙曲線焦點的位置不易確定，也可以設雙曲線方程為 -? =1（m、n ≠0）進行求解.若 a =b ，可設雙曲線的方程為：x2-y2= λλ≠0;若已知雙曲線的漸近線方程為± =0，可設雙曲線的方程為：x2- y2= λλ≠0.

例2.雙曲線經(jīng)過點 P2， ，且它的一條漸近線方程為y =x ，求該雙曲線的標準方程.

分析：由雙曲線的漸近線方程： y =± x 可知，a =b，所以可設雙曲線方程為 x2-y2= λλ≠0，將已知點的坐標代入，建立關于λ 的方程，便可解題.

解：由雙曲線的一條漸近線方程為y =x，可設雙曲線的方程為 x2-y2= λλ≠0，

又因為雙曲線經(jīng)過點 P2， ，可得：λ =2，

則雙曲線的方程為：x2-y2=2，

所以其標準方程為 x2- y2= 1.

例3.求經(jīng)過點 P4? ，3和Q4? ，6兩點，中心在原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線的標準方程.

分析：根據(jù)已知條件可設雙曲線的方程為 mx2-ny2= 1mn >0，再將兩個點的坐標代入方程中，建立關于 m、n 的方程，通過解方程求得 m、n 的值，即可求得雙曲線的方程.

解：由題意可設雙曲線的方程為：

mx2-ny2= 1mn>0，

因為 P4? ，3和Q4? ，6在曲線上，所以? m（m）? n（n）

解得

所以雙曲線的標準方程為 y2- x2= 1.

雙曲線的標準方程與其定義、幾何性質(zhì)以及a、b、 c 之間的關系聯(lián)系緊密，因此在求雙曲線的方程時，要靈活運用雙曲線的定義、幾何性質(zhì)以及a、b、c 之間的關系.

（作者單位：江西省橫峰中學）