史鑫磊， 張貞凱

(江蘇科技大學(xué)，江蘇 鎮(zhèn)江 212000)

0 引言

DOA(Direction Of Arrival)估計是陣列信號處理研究的一個重要問題，近幾十年發(fā)展迅速，在通信、雷達、聲吶、軍事、天文等多個領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用且效果良好[1-3]。有關(guān)DOA估計的研究大致可以分成兩類：陣列結(jié)構(gòu)優(yōu)化，即稀疏陣列，是近年來提出的一種新型陣列流型，其中包括了互質(zhì)陣列[4-5]、嵌套陣列[6]和最小冗余陣列[7]，與傳統(tǒng)的均勻陣列相比，稀疏陣列有著更高的自由度，可估計的信源數(shù)大于實際的陣元數(shù)[8]；測向算法優(yōu)化，是針對稀疏陣列的虛擬化算法[9-11]，也是近年來DOA估計中的一個研究熱點。

伴隨著壓縮感知技術(shù)的崛起，學(xué)者們提出了許多性能較好的稀疏信號重構(gòu)算法，其中最經(jīng)典的是L1范數(shù)方法[12]，但由于其極高的計算復(fù)雜度，該算法的實用性不強。隨后提出的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(Sparse Bayesian Learning,SBL)方法[13]，在降低算法復(fù)雜度的同時擁有與L1范數(shù)方法相近的性能。

傳統(tǒng)的DOA估計方法都是假設(shè)遠場信號的波達角落在事先定義好的離散角度網(wǎng)格上，如果網(wǎng)格間距過大會導(dǎo)致算法的性能顯著下降，網(wǎng)格間距過小則會導(dǎo)致算法復(fù)雜度增加，針對這一問題，有學(xué)者提出了離格稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(Off-Grid Sparse Bayesian Learning,OGSBL)方法[14]，有效解決了網(wǎng)格劃分問題，從而提高了算法的角度估計性能。

目前，一些基于UCA的DOA估計算法已經(jīng)發(fā)展得比較成熟，如基于波束空間的UCA-RB-MUSIC算法[15]，基于波束空間的二維秩損算法[16]，基于大規(guī)模UCA的互相關(guān)算法[17]，以及基于UCA的ESPRIT算法[18]等。這些算法在理想情況下能取得較好的效果，但實際中往往存在許多非理想因素[19]，比如陣元數(shù)有限、陣元間距小引起互耦效應(yīng)、噪聲誤差等，導(dǎo)致這些理想模型下的算法得不到高精度的角度估計性能，而且無法實現(xiàn)欠定的DOA估計。

近年來，有學(xué)者將稀疏的思想引入到圓陣中。BASI-KOLO等在2016年提出了一種嵌套稀疏圓陣(Nested Sparse Circular Array,NSCA)結(jié)構(gòu)[20]，在2019年又提出了一種超嵌套稀疏圓陣(Super Nested Sparse Circular Array,S-NSCA)結(jié)構(gòu)[21]。目前，針對嵌套稀疏圓陣DOA估計的研究還處于起步階段，文獻[22]提出了一種稀疏信號恢復(fù)算法，文獻[23]在此基礎(chǔ)上提出了一種基于矩陣填充的稀疏信號恢復(fù)算法以提高精度。然而，目前的算法主要還是建立在L1-SVD 的基礎(chǔ)上，求解這種凸優(yōu)化問題時會引起極高的復(fù)雜度，且存在超參數(shù)的快速取值問題[24-25]。

針對以上問題，本文采用離格稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法實現(xiàn)了改進嵌套稀疏圓陣下的欠定DOA估計，與現(xiàn)有方法相比，所提方法提升了陣列稀疏性，降低了計算復(fù)雜度，模型超參數(shù)可自適應(yīng)調(diào)整，且能獲得較好的角度估計性能。

1 改進嵌套稀疏圓陣

考慮一個如圖1所示的嵌套線陣。

圖1 嵌套線陣Fig.1 Nested linear array

圖1中，兩個子陣的陣元數(shù)分別為N1，N2，總陣元數(shù)N=N1+N2，陣元間距分別為d1=d，d2=(N1+1)d，令d=λ，λ表示波長，并將其首尾相接成一個圓，圓的半徑為R，以增強稀疏性，降低陣元間的互耦效應(yīng)，如圖2所示。

圖2 改進嵌套稀疏圓陣Fig.2 The improved nested sparse circular array

陣元位置用d歸一化后的實際陣元位置矢量為

(1)

假設(shè)空間中有K個窄帶信源從遠場輻射到改進嵌套稀疏圓陣上，第k(k=1,2,…,K)個信源的角度為(θk,φk)。假設(shè)俯仰角θk固定為90°，則該陣列的導(dǎo)向矢量a(φk)可以表示為

(2)

x(t)=As(t)+n(t)

(3)

式中：A=[a(φ1)…a(φk)]，為該陣列的方向矩陣；n(t)為陣列接收到的噪聲。接收信號x(t)的協(xié)方差矩陣為

Rxx=E[x(t)xH(t)]

(4)

將該協(xié)方差矩陣向量化可以得到

(5)

(6)

圖3展示了N1=N2=3，Nv=23的改進嵌套稀疏圓陣的虛擬陣列陣元位置。

圖3 改進嵌套稀疏圓陣虛擬陣元位置Fig.3 The position of virtual array elements of theimproved nested sparse circular array

由圖3可知，改進嵌套稀疏圓陣虛擬陣列陣元數(shù)與傳統(tǒng)均勻圓陣相比大大增加，有更多自由度，且注意到，改進嵌套稀疏圓陣的虛擬陣元位置隨空間入射信號方向變化，但其自由度始終遠大于6，因此，在多信源情況下對改進嵌套稀疏圓陣運用相關(guān)測向方法能獲得更好的角度估計性能，且能估計的信源數(shù)也更多。

2 基于離格的DOA估計模型

為了有效解決網(wǎng)格劃分問題，將式(5)改寫為

Z=ΦS+E

(7)

(8)

(9)

(10)

3 離格稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法

噪聲模型為

(11)

式中，α0=σ-2，代表噪聲精度。均值為μ、協(xié)方差為Σ的(圓對稱)復(fù)高斯分布隨機變量u的概率密度函數(shù)為

(12)

式中，(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置，由此可得

(13)

假設(shè)噪聲精度α0=σ-2未知，有一個超先驗是高斯分布的共軛先驗

p(α0;c,d)=Γ(α0|c,d)

(14)

離網(wǎng)格距離模型：假設(shè)β的一個統(tǒng)一先驗為

(15)

通過結(jié)合分層貝葉斯模型的階段，聯(lián)合概率密度函數(shù)是

p(S,Z,α0,α,β)=
p(Z|S,α0,β)p(S|α)p(α)p(α0)p(β)。

(16)

很容易看出S的后驗分布是復(fù)雜的高斯分布

p(S|Z,α0,α,β)=CN(S|μ,Σ)

(17)

μ=α0ΣAv(β)Hz

(18)

Σ=(α0Av(β)HAv(β)+Λ-1)-1

(19)

計算Σ和μ需要知道超參數(shù)α,α0,β的估計值，它們可以通過最大化概率密度函數(shù)p(α0,α,β|Z)來估計。由于p(Z)與超參數(shù)統(tǒng)計獨立，因此，最大化p(α0,α,β|Z)等價于最大化概率密度函數(shù)p(Z,α0,α,β)=p(α0,α,β|Z)p(Z)。有一種期望最大化算法可以將該問題轉(zhuǎn)化為最大化E{lnp(S,Z,α0,α,β)}問題，它將S當(dāng)成隱藏變量，E{·}代表S的后驗期望。由此可以更新α,α0，即

(20)

(21)

(22)

式中：tr表示矩陣的跡；C是獨立于β的常數(shù)；P是一個正半定矩陣，即

(23)

(24)

式中：Re{·}表示取實部；⊕代表哈達瑪乘積。由此可得

(25)

容易知道，β和s(t)是聯(lián)合稀疏的，它的非零項對應(yīng)于K個信源的位置，只計算β的項中對應(yīng)于α中K個最大項的位置，并將其他的設(shè)為零。然后β，P，v可以被截短為K維或K×K維。

(26)

(27)

最后通過尋找α譜峰位置來得到DOA估計，假設(shè)K個峰值的網(wǎng)格索引為ζk，k=1,…,K，則信源方位角估計值為

(28)

將上述所提嵌套稀疏圓陣欠定DOA估計的基于虛擬化的離格稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法實現(xiàn)步驟總結(jié)如下:

2) 根據(jù)式(6)和式(8)構(gòu)造擴展的過完備字典Φ，根據(jù)式(10)構(gòu)造觀測矩陣Av(β)；

3) 根據(jù)式(20)和式(27)更新α和β；

5) 對α進行譜峰搜索，根據(jù)式(28)得到信源方位角估計值。

4 仿真分析

為驗證算法的有效性、描述算法的角度估計性能，通過1000次的蒙特卡羅仿真來評估改進嵌套稀疏圓陣下基于虛擬化的離格稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法的角度估計性能。定義均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)為

(29)

假定空間有K個信源；N1，N2分別表示子陣1和子陣2的陣元數(shù)，d1=λ，d2=(N1+1)d1，分別表示子陣1和子陣2的陣元間距，J表示快拍數(shù)，最大迭代次數(shù)設(shè)置為2000，噪聲容限設(shè)置為τ=10-4，ρ=0.01。

1) 仿真1，算法有效性驗證。

考慮有K=7個不相關(guān)窄帶信號入射至N1=N2=3的改進嵌套稀疏圓陣中，信號的俯仰角固定為90°，方位角在10°～130°之間均勻分布，J=100，SNR為0 dB，圖4展示了所提算法的空間譜，由圖4可知，本文算法能有效且精確地估計信源角度。

圖4 本文算法估計結(jié)果

2) 仿真2，不同快拍數(shù)下算法性能比較。

考慮有K=3個不相關(guān)窄帶信號入射至N1=N2=3的改進嵌套稀疏圓陣中，信號的俯仰角固定為90°，方位角在10°～50°之間均勻分布。圖5展示了本文算法的性能隨快拍數(shù)變化的趨勢。由圖5可得，參數(shù)估計誤差隨信噪比的增加呈下降趨勢，快拍數(shù)越大意味著協(xié)方差矩陣越精確，因此算法性能隨著快拍數(shù)的增加而提升。

圖5 所提算法性能隨快拍數(shù)變化的趨勢Fig.5 Performance of the proposed algorithm changing with the number of snapshots

3) 仿真3，不同信源數(shù)下算法性能比較。

考慮有K個不相關(guān)窄帶信號入射至N1=N2=3的改進嵌套稀疏圓陣中，信號的俯仰角固定為90°，當(dāng)K=2時，信號的方位角為(10°，30°)；當(dāng)K=3時，信號的方位角為(10°，30°，50°)；當(dāng)K=5時，信號的方位角為(10°，30°，50°，70°，110°)。J=200，圖6展示了本文算法的性能隨信源數(shù)變化的趨勢，由圖6可知，信源數(shù)的增多會導(dǎo)致算法性能的降低。

圖6 本文算法性能隨信源數(shù)變化的趨勢Fig.6 Performance of the proposed algorithm changing with the number of sources

4) 仿真4，與傳統(tǒng)均勻圓陣相比的角度估計性能。

考慮有K=3個不相關(guān)窄帶信號分別入射至N1=N2=3，d1=λ，d2=(N1+1)d1的改進嵌套稀疏圓陣和陣元數(shù)N=6，d=λ/2的均勻圓陣中，信號的俯仰角固定為90°，方位角在10°～50°之間均勻分布，J=200。

由圖7可知，在低信噪比、小快拍數(shù)、多信源情況下，本文算法的角度估計性能優(yōu)于均勻圓陣下的MUSIC算法和OGSBL算法。

圖7 與傳統(tǒng)均勻圓陣相比的角度估計性能Fig.7 Angle estimation performance compared with traditional uniform circular array

5) 仿真5，與文獻[20]中L1-based方法相比的角度估計性能。

考慮有K=3個不相關(guān)窄帶信號分別入射至N1=N2=3，d1=λ，d2=(N1+1)d1的改進嵌套稀疏圓陣和N1=N2=3，d1=λ/2，d2=(N1+1)d1的嵌套稀疏圓陣中，信號的俯仰角固定為90°，方位角在10°～50°之間均勻分布。從圖8可以得知，在低信噪比、小快拍數(shù)情況下，改進嵌套稀疏圓陣下，本文算法的角度估計性能優(yōu)于文獻[20]中l(wèi)1-based方法。

圖8 與原嵌套稀疏圓陣相比的角度估計性能Fig.8 Angle estimation performance compared with the original nested sparse circular array

6) 仿真6，算法運行時間隨快拍數(shù)變化曲線。

考慮有K=3個不相關(guān)窄帶信號分別入射至N1=N2=3，d1=λ，d2=(N1+1)d1的改進嵌套稀疏圓陣和N1=N2=3，d1=λ/2，d2=(N1+1)d1的嵌套稀疏圓陣中，信號的俯仰角固定為90°，方位角在10°～50°之間均勻分布，SNR為15 dB。由圖9可知，本文算法在相同快拍數(shù)下比現(xiàn)有算法具有更低的復(fù)雜度，隨著快拍數(shù)的增加，本文算法的角度估計性能提升，算法迭代次數(shù)減少，因此算法運行時間隨快拍數(shù)變化曲線呈下降趨勢。

圖9 算法運行時間隨快拍數(shù)變化曲線Fig.9 Running time of the algorithm vs thenumber of snapshots

7) 仿真7，算法運行時間隨信噪比變化曲線。

考慮有K=3個不相關(guān)窄帶信號分別入射至N1=N2=3，d1=λ，d2=(N1+1)d1的改進嵌套稀疏圓陣和N1=N2=3，d1=λ/2，d2=(N1+1)d1的嵌套稀疏圓陣中，信號的俯仰角固定為90°，方位角在10°～50°之間均勻分布，J=300。

由圖10可知，本文算法在相同的信噪比下比現(xiàn)有算法具有更低的復(fù)雜度，隨著信噪比的增加，本文算法的角度估計性能提升，算法能夠更快收斂，運行時間隨信噪比增加而縮短。

圖10 算法運行時間隨信噪比變化曲線

5 結(jié)論

針對現(xiàn)有基于嵌套稀疏圓陣DOA估計方法計算復(fù)雜度高，超參數(shù)無法快速選取問題，本文提出了一種基于改進嵌套稀疏圓陣的離格稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(OGSBL)方法。該方法給出了改進嵌套稀疏圓陣模型，增強了稀疏性，并且結(jié)合離格模型與稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法實現(xiàn)欠定的DOA估計，有效提高了原嵌套稀疏圓陣的測向性能。仿真實驗結(jié)果表明，本文算法降低了計算復(fù)雜度，模型超參數(shù)可自適應(yīng)調(diào)整，且在低信噪比、小快拍數(shù)和多信源情況下的均方根誤差性能優(yōu)于原嵌套稀疏圓陣和傳統(tǒng)均勻圓陣的測向算法。