朱永寧， 李曉航

(上海工程技術(shù)大學(xué)，上海 201000)

0 引言

馬爾可夫跳變系統(tǒng)(MJS)是一種具有多個(gè)模態(tài)或子系統(tǒng)的混雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng),在過(guò)去幾十年中,MJS已經(jīng)在工業(yè)生產(chǎn)[1]、航空航天[2]、網(wǎng)絡(luò)通訊、社會(huì)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。與要求駐留時(shí)間服從指數(shù)分布的MJS不同,半馬爾可夫跳躍系統(tǒng)(S-MJS)的駐留時(shí)間分布更具一般性，比如Weibull分布。由于放松了駐留時(shí)間的分布條件，半馬爾可夫跳變系統(tǒng)在工程應(yīng)用中具有更廣闊的應(yīng)用場(chǎng)景。

執(zhí)行器故障和傳感器故障在實(shí)際工程的控制系統(tǒng)中經(jīng)常出現(xiàn)，現(xiàn)階段，控制領(lǐng)域針對(duì)MJS的故障檢測(cè)和容錯(cuò)控制[3-5]、狀態(tài)和故障估計(jì)[6-9]的研究獲得了很大進(jìn)展。其中，基于狀態(tài)觀測(cè)器的故障診斷方法是指在獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型情況下，通過(guò)輸出的估計(jì)值與測(cè)量值生成殘差信號(hào)判斷系統(tǒng)是否存在故障。文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)一種滑模觀測(cè)器，研究了Lipschitz MJS傳感器故障估計(jì)和容錯(cuò)控制問(wèn)題。針對(duì)一類(lèi)考慮執(zhí)行器故障的MJS，文獻(xiàn)[7]利用滑?？刂萍夹g(shù)研究了有限時(shí)間有界性問(wèn)題。然而，實(shí)際應(yīng)用中執(zhí)行器和傳感器故障往往同時(shí)發(fā)生，因此，針對(duì)執(zhí)行器和傳感器故障同時(shí)估計(jì)的研究具有更實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值。同時(shí)，由于對(duì)MJS或S-MJS的研究大多數(shù)都假設(shè)其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率(TRS)是完全已知的[10]，這在實(shí)際應(yīng)用中具有很大的局限性，因此，將現(xiàn)有的故障估計(jì)理論推廣到更為一般的不確定轉(zhuǎn)移概率S-MJS中，具有更實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值。

另一方面，故障估計(jì)理論在實(shí)際非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用具有一定的局限性。Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型基于一組IF-THEN的規(guī)則，其方便簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，可以使現(xiàn)有的故障估計(jì)方法在非線性系統(tǒng)中得到較好的應(yīng)用。目前，針對(duì)T-S模糊系統(tǒng)的故障估計(jì)研究取得了很多成果。例如，文獻(xiàn)[11]利用T-S模糊模型，設(shè)計(jì)了一種比例積分觀測(cè)器(PIO)，能夠?qū)σ活?lèi)不確定非線性系統(tǒng)進(jìn)行執(zhí)行器故障估計(jì)和容錯(cuò)控制；文獻(xiàn)[12]針對(duì)一類(lèi)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率已知的T-S模糊MJS故障估計(jì)問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)觀測(cè)器；文獻(xiàn)[13]針對(duì)一類(lèi)一般不確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的MJS，設(shè)計(jì)了一種能夠同時(shí)估計(jì)執(zhí)行器和傳感器故障的降維觀測(cè)器，然而，該觀測(cè)器并不能完全消除外部干擾造成的影響。

綜上所述，本文針對(duì)一類(lèi)T-S模糊S-MJS設(shè)計(jì)了一種降維觀測(cè)器。該觀測(cè)器具有以下優(yōu)點(diǎn)：在較為寬松的前提下，能夠完全解耦外部干擾，有效避免了外部干擾造成的影響；能夠同時(shí)估計(jì)執(zhí)行器和傳感器故障，且不用獲取故障及其導(dǎo)數(shù)上界[6]，并保證誤差系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定；部分已知轉(zhuǎn)移概率的S-MJS，更具有一般性。

1 系統(tǒng)描述

考慮帶有執(zhí)行器和傳感器故障的S-MJS，用如下T-S模糊模型表示。

規(guī)則α：若θ1(t)是να1，且θq(t)是νaq，則

(1)

(2)

基于標(biāo)準(zhǔn)模糊規(guī)則，S-MJS模糊系統(tǒng)為

(3)

轉(zhuǎn)移概率矩陣Π可以表示為

(4)

式中,“？”表示不可測(cè)元素。

(5)

定義1對(duì)于式(3)系統(tǒng),如果u(t)≡0,d(t)=0,存在常數(shù)c1,c2,T>0，以及正定矩陣Hi，有

Ε{xT(0)Hix(0)}≤c1?Ε{xT(t)Hix(t)}≤c2?t∈[0，T]

(6)

成立。式中，00,則稱式(3)系統(tǒng)相對(duì)于c1,c2,Hi,T為有限時(shí)間隨機(jī)穩(wěn)定的。

假設(shè)1 假設(shè)Gi和Ki是列滿秩，Ci是行滿秩。

假設(shè)2

(7)

引理1假設(shè)ε代表任意實(shí)數(shù)，C代表任意矩陣，當(dāng)D>0時(shí)，不等式

ε(C+CT)≤ε2D+CD-1CT

(8)

成立。

引理2假設(shè)ν(t)為非負(fù)函數(shù)，若

(9)

那么對(duì)于常數(shù)a,b≥0，可得

ν(t)≤aebt0≤t≤T。

(10)

(11)

(12)

(13)

2 降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)

式(3)系統(tǒng)等價(jià)于

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

式中：

(21)

(22)

(23)

設(shè)計(jì)降維觀測(cè)器為

(24)

式中：

(25)

3 主要結(jié)論

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

根據(jù)引理1，可得

(33)

最終得到

(34)

對(duì)于?i,j∈S，當(dāng)i≠j,λi j(h)≥0,i=j,λi j(h)<0，討論下面兩種情況：

所以存在α>0，使得

(35)

對(duì)式(35)使用Dynkin’s公式，得到

(36)

根據(jù)引理2，可以得到

(37)

(38)

由此可以得到式(25)誤差系統(tǒng)是有限時(shí)間隨機(jī)穩(wěn)定的，定理1的證明結(jié)束。

根據(jù)定理1，可以得到如下?tīng)顟B(tài)和故障估計(jì)

(39)

4 仿真

為了證明本文所提方法的有效性，考慮如下具有3個(gè)模態(tài)的數(shù)值T-S模糊半馬爾可夫跳變系統(tǒng)，相關(guān)參數(shù)如下：

圖1為系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)和估計(jì)狀態(tài)的對(duì)比曲線，圖2(a)和圖2(b)分別為執(zhí)行器故障和傳感器故障估計(jì)曲線,圖2(c)為系統(tǒng)狀態(tài)x的估計(jì)誤差曲線，圖2(d)為執(zhí)行器和傳感器故障的估計(jì)誤差曲線。綜合圖1～2，本文所設(shè)計(jì)的降維觀測(cè)器能夠同時(shí)估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)、執(zhí)行器故障、傳感器故障，消除外部擾動(dòng)的影響，保證誤差系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)及其估計(jì)值Fig.1 System states and their estimations

圖2 仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results

5 總結(jié)

本文針對(duì)一類(lèi)具有一般不確定轉(zhuǎn)移速率的T-S模糊半馬爾可夫跳變系統(tǒng)的執(zhí)行器故障和傳感器故障同時(shí)估計(jì)問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一個(gè)降維觀測(cè)器。該觀測(cè)器在較為寬松的前提下，可以完全解耦外部擾動(dòng)，同時(shí)估計(jì)執(zhí)行器故障和傳感器故障。借助線性矩陣不等式給出觀測(cè)器存在的充分條件，進(jìn)一步證明其有限時(shí)間穩(wěn)定性。最后，通過(guò)一個(gè)數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性。