裘江杰

初等類是模型論中的一個(gè)核心概念。對(duì)于任意的結(jié)構(gòu)類K，K是初等類，當(dāng)且僅當(dāng)它對(duì)初等等價(jià)與超積封閉。這是關(guān)于初等類的一個(gè)基本刻畫定理，在許多模型論教材中都有介紹。國內(nèi)模型論方面的專著偏少，姚寧遠(yuǎn)的《初等模型論》是新近的一部優(yōu)秀的著作，除了對(duì)基本結(jié)果的介紹，對(duì)Morley 定理以及穩(wěn)定理論等相對(duì)現(xiàn)代的內(nèi)容也作了細(xì)致的梳理?！冻醯饶Ｐ驼摗吩诮榻B了關(guān)于初等類的上述基本刻畫定理后，還給出了初等類閉包的構(gòu)造，這種構(gòu)造的思路清晰，并且似乎在其他的模型論教材中未見討論，因此比較新穎，也有益于初學(xué)者理解初等類這一概念；但是書中給出的構(gòu)造方法似有漏洞，這一問題可能是作者疏忽了“共尾”現(xiàn)象造成的，而一旦注意到這一點(diǎn)就容易對(duì)之修補(bǔ)。筆者在給出修補(bǔ)的過程中發(fā)現(xiàn)或許可以引入一個(gè)自然的概念“取κ超積閉”，利用這個(gè)概念，可以“優(yōu)化”上述的刻畫定理，完成對(duì)構(gòu)造的修補(bǔ)，而且也得到了一些小的結(jié)果，特別是對(duì)“初等等價(jià)”有了更多的認(rèn)識(shí)；在嚴(yán)格的意義上，這些小結(jié)果不能算是新的，因?yàn)槔靡呀?jīng)有的命題可以相對(duì)直接地推出它們，不過，它們可能在別處未出現(xiàn)過1筆者搜索了幾本常見的模型論教材，未發(fā)現(xiàn)有相關(guān)的討論；這些都是微小的結(jié)果，不過發(fā)表出來對(duì)模型論學(xué)習(xí)者或有幫助。，因此筆者寫此小文作此介紹。

本文里使用的記號(hào)與概念都取自《初等模型論》等常見的模型論作品，不過為了完整性，也會(huì)在合適的地方論述它們。本文的具體安排如下：首先，我們會(huì)重述初等類的這一刻畫定理以及《初等模型論》中據(jù)此給出的對(duì)初等類閉包的構(gòu)造方法，并指出該構(gòu)造方法的問題；然后引入那個(gè)自然的概念，利用它進(jìn)行修補(bǔ)；同時(shí)給出有關(guān)的幾個(gè)結(jié)果。

先引入一些要用到的記號(hào)和概念。

定義1.

(1) 用L表示一個(gè)一階語言；用T表示一個(gè)一致的理論，理論是對(duì)后承封閉的句子集，一致指其推不出矛盾；用M,N表示結(jié)構(gòu)，相應(yīng)的論域記為M,N；用K表示結(jié)構(gòu)類。

(2) 對(duì)于一個(gè)對(duì)象S，用|S|表示它的基數(shù)，比如，|L|表示的是語言L的基數(shù)，反映的是L的公式的個(gè)數(shù)。

(3) 對(duì)于結(jié)構(gòu)M，|M|=|M|，即用一個(gè)結(jié)構(gòu)的論域的基數(shù)來代表相應(yīng)結(jié)構(gòu)的大小。

(4) 對(duì)給定的L結(jié)構(gòu)類K，用Th(K)表示K的理論，即Th(K)={φ為L句子|對(duì)任意的M ∈K，M|=φ}；當(dāng)K={M}為單元集時(shí)，也用Th(M)表示。

(5) 對(duì)給定的L句子集Σ，用Mod(Σ)表示Σ 的模型類，即Mod(Σ)={M為L結(jié)構(gòu)|M|=Σ}。

定義2.

(1) 稱一個(gè)L理論T是完全的，如果對(duì)任意的L句子φ，φ與它的否定?φ中恰好有一個(gè)在T中。

(2) 設(shè)M,N是結(jié)構(gòu)，稱它們是初等等價(jià)的，記為M ≡N，若Th(M)=Th(N)。

(3) 設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，稱K為初等類，若有L句子集Σ 使得K=Mod(Σ)。

(4) 設(shè)K1,K2為L結(jié)構(gòu)類，稱K2為K1的初等類閉包，若K2 是初等類，K1?K2并且對(duì)任意包含K1的初等類K3，K2?K3。

首先可以給出一些簡單的相關(guān)的結(jié)果，它們根據(jù)定義就可以得到。

命題3.

(1) 設(shè)K1,K2為L結(jié)構(gòu)類，并且K1?K2，那么Th(K2)?Th(K1)。

(2) 設(shè)Σ1,Σ2為L句子集，并且Σ1?Σ2，那么Mod(Σ2)?Mod(Σ1)。

(3) 設(shè)K為初等類，那么K=Mod(Th(K))。

后文要用到的超積與超冪稍復(fù)雜一點(diǎn)，但它們也是基本的概念，一方面為了完整性，另一面為了簡潔，下面不給出證明地列出后文要用到的定義與結(jié)果。

定義4.設(shè)I為一個(gè)指標(biāo)集，U為I上的超濾，Mi（i ∈I）為一族L結(jié)構(gòu)，它們模U的超積，也是一個(gè)L結(jié)構(gòu)，記為∏稱為這族結(jié)構(gòu)的超積；當(dāng)所有的結(jié)構(gòu)Mi都是同一個(gè)結(jié)構(gòu)M時(shí)，則記為∏稱為M的超冪。

命題5.

(1) 設(shè)I為一個(gè)指標(biāo)集，U為I上的超濾，Mi（i ∈I）為一族L結(jié)構(gòu)，那么對(duì)任意的L句子當(dāng)且僅當(dāng){i ∈I |Mi |=φ}∈U。

(2) 設(shè)I為一個(gè)指標(biāo)集，U為I上的超濾，M為結(jié)構(gòu)，那么M初等嵌入到進(jìn)而

(3) 設(shè)I為一個(gè)指標(biāo)集，若Σ 對(duì)取有窮交封閉，即對(duì)Σ 的任意的非空有窮子集那么有I上的超濾U，使得Σ?U。

如果把（是）初等類看作為結(jié)構(gòu)類的性質(zhì)，那么對(duì)照的，還有一些自然的性質(zhì)，我們羅列在下面，在后文中會(huì)討論它們之間的關(guān)系。

定義6.

(1) 設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，稱K對(duì)初等等價(jià)封閉，若對(duì)任意的L結(jié)構(gòu)M,N，如果M ≡N，并且M ∈K，那么N ∈K。

(2) 設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，稱K對(duì)超積封閉，若對(duì)任意的指標(biāo)集I，對(duì)I上任意的超積U，對(duì)任意的

(3) 設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，稱K對(duì)超冪封閉，若對(duì)任意的指標(biāo)集I，對(duì)I上任意的超積U，對(duì)任意的L結(jié)構(gòu)M，如果M ∈K，那么∏

(4) 設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，稱K對(duì)超冪反向封閉，若對(duì)任意的指標(biāo)集I，對(duì)I上任意的超積U，對(duì)任意的L結(jié)構(gòu)M，如果∏那么M也在K中。

(5) 設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，稱K對(duì)同構(gòu)封閉，若對(duì)任意的L結(jié)構(gòu)M,N，如果M ～=N，并且M ∈K，那么N ∈K。

(6) 設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，稱K對(duì)子結(jié)構(gòu)封閉，若對(duì)任意的L結(jié)構(gòu)M ∈K，M的所有子結(jié)構(gòu)也都在K中。

可以從蘊(yùn)含關(guān)系來看這些結(jié)構(gòu)類上的性質(zhì)之間的關(guān)系，那么，對(duì)初等等價(jià)封閉是相對(duì)強(qiáng)的性質(zhì)。

命題7.

(1) 設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，如果K對(duì)初等等價(jià)封閉，那么K對(duì)同構(gòu)封閉。

(2) 設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，如果K對(duì)初等等價(jià)封閉，那么K對(duì)超冪封閉。

(3) 設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，如果K對(duì)初等等價(jià)封閉，那么K對(duì)超冪反向封閉。

關(guān)于初等類，有一個(gè)基本的刻畫定理，它相當(dāng)于說，（是）初等類是結(jié)構(gòu)類上強(qiáng)的性質(zhì)，我們也不給證明地給出它的表述。

命題8([4]，引理2.3.1).

設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，那么K為初等類，當(dāng)且僅當(dāng)K對(duì)初等等價(jià)封閉并且K對(duì)超積封閉。

推論9.

(1) 設(shè)K為初等類，那么K對(duì)初等等價(jià)封閉。

(2) 設(shè)K為初等類，那么K對(duì)超積封閉。

(3) 設(shè)K為初等類，那么K對(duì)同構(gòu)封閉。

(4) 設(shè)K為初等類，那么K對(duì)超冪封閉。

(5) 設(shè)K為初等類，那么K對(duì)超冪反向封閉。

給定任意的結(jié)構(gòu)類K，一定有它的初等類閉包。

命題10([2]，第12 頁).設(shè)K為結(jié)構(gòu)類，那么Mod(Th(K))是K的初等類閉包。

利用命題3 容易證明這個(gè)命題。首先，Mod(Th(K))是包含K的初等類；其次，假設(shè)Θ 也是包含K的初等類，那么據(jù)命題3(1)有Th(Θ)?Th(K)，再據(jù)命題3(2)有Mod(Th(K))?Mod(Th(Θ))，而Θ 為初等類，因此Mod(Th(Θ))=Θ，這樣保證Mod(Th(K))?Θ。

文獻(xiàn)[4]利用命題8，試圖給出求取一個(gè)結(jié)構(gòu)類的初等類閉包的“構(gòu)造性”的方法，這一構(gòu)造進(jìn)路基于一種一般性的思路，概言之，它們有著這樣的統(tǒng)一架構(gòu)：對(duì)于具有某種特征的結(jié)構(gòu)類（在這里是初等類），先確定可以進(jìn)行構(gòu)造“操作”的作為必要條件的特征（在這里是對(duì)初等等價(jià)封閉以及對(duì)超積封閉，當(dāng)然還有別的，比如對(duì)取同構(gòu)封閉等），然后確定其中的一些必要條件組合起來可以構(gòu)成充分條件（在這里是，對(duì)初等等價(jià)封閉以及對(duì)超積封閉這兩個(gè)必要條件組合起來構(gòu)成了（是）初等類的充分條件）。最后，利用這種組合確定相應(yīng)的，獲得該特征的閉包的“構(gòu)造性”的方法（這里是初等類閉包），它們通常是分解為若干個(gè)步驟實(shí)施的，在每一步“部分”落實(shí)某個(gè)必要條件，對(duì)幾個(gè)組合成為充分條件的必要條件，進(jìn)行交替的“部分”落實(shí)，最后綜合起來，使得所有的必要條件最終都被落實(shí)，從而完成工作。

這種架構(gòu)與思路具有方法論的意趣，因此它們本身就有著被獨(dú)立探討的意義，那么就本文的主題，初等類與初等類閉包而言，盡管我們已經(jīng)有命題10 這一結(jié)果，但是，基于命題8，在這種架構(gòu)與思路下發(fā)展相應(yīng)的“構(gòu)造性”的方法，仍然是值得討論的。

文獻(xiàn)[4]中給出了如下的求取一個(gè)結(jié)構(gòu)類的初等類閉包的“構(gòu)造性”的方法。

注記11([4]，注2.3.1).

設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，如下構(gòu)造一個(gè)結(jié)構(gòu)類的序列Ki，i ∈N：

(1)K0=K；

(2) 若i為奇數(shù)2n+1，那么使Ki={N是L結(jié)構(gòu)|有L結(jié)構(gòu)M ∈K2n使得M ≡N}；

(3) 若i為偶數(shù)2n+2，那么使Ki={N是L結(jié)構(gòu)|N是K2n+1中一族結(jié)構(gòu)的超積}；

首先需要說明，這一構(gòu)造方法在一些情況下是有效的。

注記12.當(dāng)K={M}為單元集時(shí)，據(jù)命題10，K的初等類閉包為Mod(Th(M))={N | N ≡M}，這意味著注記11 中的構(gòu)造只需要走一步就可以了，因此這時(shí)注記11 的方法無問題。

受到注記12 的啟發(fā)，我們可以確定一類特殊的結(jié)構(gòu)類，它們作為初等類的充分條件。

命題13.設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，并且Th(K)是完全的，如果它對(duì)初等等價(jià)封閉，那么它是初等類。

證明是簡單的，設(shè)K對(duì)初等等價(jià)封閉且Th(K)完全，任取M ∈Mod(Th(K))，取一個(gè)結(jié)構(gòu)N ∈K，那么由于它們都是Th(K)的模型，并且由于Th(K)的完全性，N ≡M，進(jìn)而由K對(duì)初等等價(jià)封閉得M ∈K，因此K=Mod(Th(K))。

注記14.與注記12 中的理由一樣，對(duì)于給定的結(jié)構(gòu)類K，如果Th(K)是完全的，那么注記11 的方法對(duì)獲得K的初等類閉包也是有效的，并且同樣只需要實(shí)施一步即可。

與命題13 對(duì)偶的，也可以考慮另外一邊，對(duì)超積封閉，是否有類似的結(jié)果。

問題15.是否可以確定一類特殊的結(jié)構(gòu)類，使得對(duì)超積封閉是它們是初等類的充分條件？

我們稍偏題對(duì)這個(gè)問題作一點(diǎn)初步的討論。

首先，最平凡的一個(gè)答案是命題8 的一個(gè)變體：所有對(duì)初等等價(jià)封閉的結(jié)構(gòu)類都如此；那么有意思的是本身無法推出對(duì)初等等價(jià)封閉的性質(zhì)，下面的命題給出我們一個(gè)回答。

命題16([1]，推論6.1.16).設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，如果K對(duì)超積封閉、K對(duì)超冪反向封閉并且K對(duì)同構(gòu)封閉，那么K對(duì)初等等價(jià)封閉，從而K是初等類。

這個(gè)命題的證明依賴于所謂的Keisler–Shelah 同構(gòu)定理：對(duì)于任意的L結(jié)構(gòu)M,N，M ≡N當(dāng)且僅當(dāng)存在指標(biāo)集I，存在I上的超濾U使得∏對(duì)同構(gòu)定理感興趣的讀者可以參看文獻(xiàn)[3]第13 章。

命題16 給出了對(duì)問題15 的一個(gè)回答；利用它所依賴的同構(gòu)定理還可以得到對(duì)問題15 的一個(gè)回答。

命題17.設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，K對(duì)同構(gòu)封閉并且K對(duì)子結(jié)構(gòu)封閉，那么對(duì)超積封閉是它們是初等類的充分條件。

證明是簡單的，只需要說明這時(shí)K對(duì)初等等價(jià)封閉；任意取相互初等等價(jià)的L結(jié)構(gòu)M,N，設(shè)M ∈K，那么據(jù)同構(gòu)定理取到兩個(gè)同構(gòu)的L結(jié)構(gòu)∏與對(duì)超積封閉，那么對(duì)同構(gòu)封閉，那么；而N初等嵌入到∏那么N與的一個(gè)子結(jié)構(gòu)同構(gòu)，最終由K對(duì)同構(gòu)封閉以及它對(duì)子結(jié)構(gòu)封閉得到N ∈K。

注意，單單“子結(jié)構(gòu)封閉+同構(gòu)封閉”與“超冪反向封閉+同構(gòu)封閉”這兩個(gè)條件是不同的。2感謝匿名審稿專家指出這一點(diǎn)。另外，僅憑對(duì)“同構(gòu)封閉”以及對(duì)“子結(jié)構(gòu)封閉”不能推出對(duì)“初等等價(jià)封閉”，例如，令K={M是群結(jié)構(gòu)那么K對(duì)同構(gòu)封閉并且對(duì)子結(jié)構(gòu)封閉，但是K不對(duì)初等等價(jià)封閉，自然K也不是初等類。

我們再回到注記11 上來。假若按照注記11 中的方法，得到的序列Ki（i ∈N）滿足如下的條件：對(duì)任意非零的自然數(shù)那么這一構(gòu)造則可能會(huì)失效。

對(duì)每個(gè)零自然數(shù)的n，取Mn-1∈K2nK2n-1。那么Mi（i ∈N）為ˉK中的一族結(jié)構(gòu)，取U為N 上的非主超濾，那么∏U Mi不能保證一定在ˉK中，因此不能保證ˉK是初等類，這時(shí)注記11 中的方法失效。

問題18.有具體的結(jié)構(gòu)類，使得注記11 的方法（即進(jìn)行可數(shù)無窮步構(gòu)造）對(duì)它獲得初等類閉包失效？

注記11 中方法可能失效的問題出在構(gòu)造的“步數(shù)”太少了，使得無法保證一定能對(duì)取超積封閉，另一面，如果可以允許取任意“多”的結(jié)構(gòu)進(jìn)行超積構(gòu)造的話，那么，不管構(gòu)造的“步數(shù)”放多少長，都會(huì)遇到同樣的問題，因此修補(bǔ)的關(guān)鍵在于，是否可以在命題8 中放松對(duì)超積構(gòu)造的“規(guī)?！?，由此自然引出如下的概念。

定義19.設(shè)κ是一個(gè)基數(shù)，K為L結(jié)構(gòu)類，稱K是取κ超積閉的，如果，對(duì)任意的λ ≤κ，對(duì)任意的基數(shù)為λ的指標(biāo)集I，對(duì)I上任意的超積U，對(duì)任意的

依據(jù)這一定義，立即可以得到下面命題。

命題20.

(1) 設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，若K對(duì)超積封閉，則對(duì)任意的基數(shù)κ，K是取κ超積閉的。

(2) 設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，若K是取κ超積閉的，那么對(duì)任意的基數(shù)λ ≤κ，K是取λ超積閉的。

另一面，我們或許會(huì)懷疑，依基數(shù)的大小，取不同規(guī)模的對(duì)超積封閉，是否無法造成真正的差別？下面的例子表明，確實(shí)是有真正的差別的。

例21.令K={M是群結(jié)構(gòu)則K是取?0超積閉的，但是不對(duì)取(2?0)+超積閉。

注意K是真類。

易見這個(gè)例子里的K不是初等類，并且也不對(duì)初等等價(jià)封閉，不過如前面看到的，它對(duì)同構(gòu)封閉，也對(duì)子結(jié)構(gòu)封閉。

利用取κ超積封閉這個(gè)概念，首先可以“優(yōu)化”命題8。

命題22.設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，那么K為初等類，當(dāng)且僅當(dāng)K對(duì)初等等價(jià)封閉并且K對(duì)|L|超積封閉。

證明實(shí)質(zhì)上與命題8 的證明是一樣的，不過為了完整性，我們在這里再“復(fù)述”一遍。只需說明，從右到左也成立。

設(shè)|L|=κ，設(shè)L結(jié)構(gòu)類K對(duì)初等等價(jià)封閉并且K對(duì)κ超積封閉。

記T=Th(K)，只需要說明K=Mod(T)。K ?Mod(T)平凡成立，因此只需說明K ?Mod(T)。

任取結(jié)構(gòu)M ∈Mod(T)，記I是由Th(M)的所有的非空有窮子集組成的集合，注意這時(shí)有|I|=|Th(M)|=|L|=κ。

子命題.對(duì)任意的i ∈I，存在Mi ∈K，使得Mi |=i。

反證，假設(shè)有i ∈I，使得對(duì)任意的N ∈K，都有N |=?(∧i)，那么?(∧i)∈T，而T ?Th(M)，這將得?(∧i)∈Th(M)，矛盾。

對(duì)每個(gè)φ ∈Th(M)，令A(yù)φ={i ∈I |φ ∈i}；記Σ={Aφ |φ ∈Th(M)}，易見Σ 對(duì)取有窮交封閉，因此有I上的超濾U，使得Σ?U。

由于K對(duì)κ超積封閉，因此

注記23.設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，如下構(gòu)造一個(gè)結(jié)構(gòu)類的序列Kα，α<(|L|)+。

(1)K0=K；

(2)α是非零極限序數(shù)時(shí)，令Kα=∪β<α Kβ；

(3)α是后繼序數(shù)，并且α=β+2n+1，其中β為極限序數(shù)時(shí)，

令Kα={N是L結(jié)構(gòu)|有L結(jié)構(gòu)M ∈Kβ+2n使得M ≡N}；

(4)α是后繼序數(shù)，并且α=β+2n+2，其中β為極限序數(shù)時(shí)，

令Kα={N是L結(jié)構(gòu)|有指標(biāo)集I，|I| ≤|L|，有I上的超濾U，有Mi（i ∈I）為Kβ+2n+1中的結(jié)構(gòu)，使得

另一面，假設(shè)有初等類Θ 使得K ?Θ，那么使用歸納法可證，對(duì)任意的α<(|L|)+，Kα ?Θ，這樣就得∪β<α Kβ=?Θ，這就保證了是K的初等類閉包。

至此，已經(jīng)完成我們的主要任務(wù)。接下來，稍展開一點(diǎn)，初步了解一下相關(guān)的結(jié)果，它們可以理解為對(duì)“對(duì)初等等價(jià)封閉”這個(gè)結(jié)構(gòu)類上的性質(zhì)的一些“面貌”的反映。

據(jù)例子21 可知，對(duì)于一個(gè)給定的結(jié)構(gòu)類，當(dāng)它對(duì)小的基數(shù)κ，對(duì)κ超積封閉時(shí)，對(duì)大的基數(shù)λ>κ，未必會(huì)是對(duì)λ超積封閉的；而推論9 與命題22 一道則使我們可以得到一個(gè)可以向上提升的充分條件。

命題24.設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，并且K對(duì)初等等價(jià)封閉，若K對(duì)|L|超積封閉，則對(duì)任意的λ>|L|，K對(duì)λ超積封閉。

這個(gè)結(jié)果由推論9 與命題22 直接可以推得：首先，據(jù)命題22，可得K是初等類，然后據(jù)推論9，K對(duì)超積封閉。

就如前面所言，某種意義上，這反映了“對(duì)初等等價(jià)封閉”是一個(gè)結(jié)構(gòu)類上強(qiáng)的性質(zhì)。

一個(gè)自然的想法是，是否可以結(jié)合命題16、命題17 也得到這樣的充分條件？

似乎是不可行的，其原因是這兩個(gè)命題都實(shí)質(zhì)性地使用了Keisler–Shelah 同構(gòu)定理，這會(huì)使得對(duì)超冪，進(jìn)而對(duì)超積無上界“多”的結(jié)構(gòu)族的構(gòu)造；與命題24相對(duì)照，這也從另外一個(gè)側(cè)面反映了初等等價(jià)的“力量”。

同樣的道理，無法“優(yōu)化”命題16，把其中的對(duì)超積封閉“降”為對(duì)|L|超積封閉。

不過使用Keisler–Shelah 同構(gòu)定理，可以得到“對(duì)初等等價(jià)封閉”的一個(gè)刻畫。

命題25.設(shè)K為L結(jié)構(gòu)類，那么K對(duì)初等等價(jià)封閉，當(dāng)且僅當(dāng)K對(duì)超冪封閉，對(duì)超冪反向封閉，并且對(duì)同構(gòu)封閉。

最后留一個(gè)問題。

問題26.是否有自然的性質(zhì)，使得對(duì)任意的L結(jié)構(gòu)類K，只要K具有這種性質(zhì)，則K可以把對(duì)|L|超積封閉提升為對(duì)超積封閉？