單芃舒

1 引言

“直觀”（intuition），大概是哲學(xué)文獻(xiàn)中歷史沉淀厚重，各色定義紛繁，且至今仍被大量使用的核心術(shù)語的一大代表。而在當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué)的討論中，數(shù)學(xué)直觀（也即關(guān)于數(shù)學(xué)對象或命題的直觀）因其至少在表面上預(yù)設(shè)了抽象（數(shù)學(xué)）對象1抽象對象（abstract object），指不存在于特定時空中的對象，亦有別稱“理念對象”（ideal object）。的存在而常常與數(shù)學(xué)的實在論–反實在論爭論關(guān)聯(lián)在一起。著名邏輯學(xué)家哥德爾（K.G?del）在上世紀(jì)以其完全性定理、不完全性定理、選擇公理相對于ZF 的一致性為代表的卓越技術(shù)貢獻(xiàn)和堅定而充實的數(shù)學(xué)實在論立場（以及他提出的與此立場緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究綱領(lǐng)）而成為了時至今日相關(guān)哲學(xué)討論都難以繞開的作為典型數(shù)學(xué)實在論者的標(biāo)桿和基點。哥德爾主張“數(shù)學(xué)概念”（即數(shù)學(xué)對象）不是由人類所任意創(chuàng)造的，而是客觀地存在著靜待數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識，并且關(guān)于其（命題的）直觀能夠被數(shù)學(xué)家能獲得。2參見[5]，第128 頁；[6]，第258 頁；以及《哥德爾文集》主編費弗曼（S.Feferman）在[4]，第169 頁的注記。

可問題是，盡管哥德爾作為數(shù)學(xué)實在論和數(shù)學(xué)直觀支持者的堅定程度不曾令人懷疑，可是他的“數(shù)學(xué)直觀”概念常常被過分簡化（以至于在一定情景下可被認(rèn)為是一種誤解）。按照這種簡化后的理解，數(shù)學(xué)直觀是一種認(rèn)知者直接地獲得抽象數(shù)學(xué)對象知識的作用過程（或相應(yīng)的能力）。它聽起來是如此地簡單直接，以至于反而顯得像“第六感”般神秘而可疑。（[3]，第41、55 頁）3佛利納（J.Folina）指出，哥德爾“康托篇”中“盡管它們遠(yuǎn)離感官經(jīng)驗，我們關(guān)于集合論的對象也確實有著某種像是感知的東西……”的表述經(jīng)常被討論，如果脫離語境孤立地看，那么它確實很容易引起這般誤解。她進(jìn)一步指出，盡管就總體結(jié)論而言她判斷哥德爾的實在論和其它數(shù)學(xué)實在論一樣難逃貝氏問題的詰問，可是哥德爾的數(shù)學(xué)直觀概念相比康德的直觀概念已發(fā)生很大轉(zhuǎn)變，因而其無需被理解為某種“神秘的第六感”。本文將此類頗有影響力的對數(shù)學(xué)直觀的簡化解讀稱之為“直接接觸解讀”（該稱謂直接參考了[18]）。本文的目的在于與之抗衡，為此將重提哥德爾的一個簡潔明了卻時常被忽視的論斷——“數(shù)學(xué)直觀無需被理解成……直接知識”4見第2 節(jié)引文和討論。，并對這個要點的數(shù)學(xué)哲學(xué)意義做出說明。

接下來在第2 節(jié)中我將首先指出對數(shù)學(xué)直觀的直接接觸解讀之所以流行開來的兩個背景因素。在第3 節(jié)，我將會回到哥德爾的原文（以及王浩的評注）來重構(gòu)出他關(guān)于數(shù)學(xué)認(rèn)知論概念的三個層次（材料、感知、直觀）。和流行的直接接觸理解相反，本文主張哥德爾所理解的數(shù)學(xué)直觀其實是三層次中最遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)對象這一認(rèn)知源頭的事件。在第4 節(jié)，我將以兩個例子說明非直接接觸解讀的確在數(shù)學(xué)哲學(xué)上能產(chǎn)生有意義的差別，而非無關(guān)緊要的細(xì)節(jié)。第一個例子是哲學(xué)文獻(xiàn)中存在但相對小眾的關(guān)于“專家直觀”（expert intuition）這一直觀分支的探討，第二個例子是近年來蒂森（R.Tietzen）融合哥德爾實在論和現(xiàn)象學(xué)論述所發(fā)展出的“構(gòu)成實在論”（constituted platonism）立場。看似相去甚遠(yuǎn)的兩條研究進(jìn)路事實上都需在一定程度上超脫對數(shù)學(xué)直觀的直接接觸解讀才能成為可能，并且這兩條進(jìn)路還從不同側(cè)面重現(xiàn)了哥德爾所反復(fù)描繪的數(shù)學(xué)–科學(xué)平行關(guān)系（math–science analogy）。這些數(shù)學(xué)哲學(xué)理論發(fā)展的可能性例證了以對數(shù)學(xué)直觀的非直接接觸解讀來抗衡直接接觸解讀的價值，并提供了沿此路線前進(jìn)的一些動機(jī)。

2 背景簡述：對數(shù)學(xué)直觀的直接接觸解讀能夠占據(jù)主流的部分原因

對直觀的直接接觸解讀的傳統(tǒng)至少可以追溯到康德?？档掳l(fā)展了傳承自古希臘哲學(xué)的傳統(tǒng)，將知識視為質(zhì)料（matter）和形式（form）的結(jié)合，故其認(rèn)識論的一大特征也常被歸結(jié)為“質(zhì)形論”（hylomorphism）。在他看來，正是在直觀過程中，認(rèn)識者才從被認(rèn)識對象獲得了最初的質(zhì)料（或說內(nèi)容），并在同一直觀過程中給這些質(zhì)料賦予最基本的形式（時空直觀形式）?！爸庇^”，如康德學(xué)者蓋耶（P.Guyer）所總結(jié)的那樣，在康德那里是“……那種通過感官的方式從特定對象那里獲得單獨而直接（particular and immediate）的表征的能力”（[11]，第36 頁）。直觀所得又經(jīng)思考的處理被賦予更多的形式（如形成命題并被加入知性范疇）。在康德看來，直觀所帶來的質(zhì)料和概念所代表的形式是知識（或者更特定地說，包括數(shù)學(xué)知識在內(nèi)的“先天綜合知識”）不可或缺的兩種組分（[11]，第155 頁，B34）。這一直觀提供基本材料而又經(jīng)思考加工的認(rèn)識論描述模式時至今日依然在大多數(shù)情況下主導(dǎo)著哲學(xué)文獻(xiàn)對“直觀”這一術(shù)語的理解和使用。

當(dāng)代哲學(xué)問題（特別是偏重分析哲學(xué)風(fēng)格的部分）的探討通常需要以基礎(chǔ)主義的結(jié)構(gòu)展開，一些（例如道德的、認(rèn)識論的、數(shù)學(xué)的）哲學(xué)命題需要被當(dāng)作探討的起點而被設(shè)定。而且提出這些基礎(chǔ)設(shè)定命題的哲學(xué)家通常都會將它們“符合直觀”這一特性作為其正當(dāng)性依據(jù)的重要組成部分，至少在這些命題沒有遭遇到有效的合理質(zhì)疑時如此（prima facie）。（[10]）

而在訴諸“符合直觀”的特性來為基礎(chǔ)設(shè)定命題辯護(hù)時通常意味著該命題被接受的根據(jù)要盡可能摒除個體所特有的生活經(jīng)驗、從業(yè)特性、文化背景、性格等外來因素的干擾，盡可能純粹地回歸到命題本身的自明性上，才可能成就相對普遍和站得住腳的依據(jù)。換言之，我們可以認(rèn)為許多哲學(xué)作品都要求“直觀”更貼近命題認(rèn)識主體所直接“被給予的”材料，而盡可能擯除思考、經(jīng)驗積累這樣一些（可能會因人而異的）加工過程。正是在對“直觀”一詞這樣的理解傾向下，“直觀”在當(dāng)代哲學(xué)中定義雖多，卻也涇渭分明地回避了被稱為“專家直觀”（expert intuition）的建立在特定專業(yè)實踐經(jīng)驗積累之上的直觀現(xiàn)象。我們將看到，先入為主地排除專業(yè)經(jīng)驗在對哥德爾數(shù)學(xué)直觀解讀中的效用會妨礙對它的完整理解。

二十世紀(jì)下半葉數(shù)學(xué)哲學(xué)很大程度上將一般哲學(xué)中的本體論和認(rèn)識論興趣延伸和集中到了數(shù)學(xué)對象上。這其中以貝納塞拉夫問題（Bernaceraff’s problem，以下簡稱“貝氏問題”）最具標(biāo)志性（[1]）。該疑問由貝納塞拉夫（P.Bernaceraff）提出，直指數(shù)學(xué)實在論的一個難以應(yīng)付的弱點，大意上質(zhì)疑道：抽象的（不在時空之中的）數(shù)學(xué)對象如果真的存在，那么它們又如何被具體的（時空之中的）我們（通過怎樣一條時空之中的因果鏈條）來認(rèn)識呢？不難看出回應(yīng)該問題的困難主要在于說明抽象存在和具體存在這二元交界處如何開啟認(rèn)識的因果鏈條。因而，在該問題的背景下，數(shù)學(xué)哲學(xué)家自然有動機(jī)將“直觀”的理解向直接接觸論側(cè)重，以期解釋該認(rèn)識因果鏈條如何開端或（站在反實在論立場）質(zhì)疑這種直觀的可行性與抽象數(shù)學(xué)對象的真實性。

如曼考祖（P.Mancosu，[12]，第1 頁）指出：貝氏問題本身的確是一個清晰且重要的哲學(xué)問題，它在數(shù)學(xué)哲學(xué)史上所帶來的不足或許恰是因為它簡明得太過矚目以至于在數(shù)十年里過多地占用了數(shù)學(xué)哲學(xué)家們的注意力，繼而相較之下忽視了其它有價值的議題以及無法直接回應(yīng)貝氏問題素材（比如數(shù)學(xué)中的新成果、數(shù)學(xué)家當(dāng)下的研究實踐以及數(shù)學(xué)史）。貝氏問題所引導(dǎo)的數(shù)學(xué)哲學(xué)整體上自然會更倚重以直接接觸論的方式來解讀“直觀”概念。（又見[14]，第175 頁5蒂森也不無遺憾地將“貝氏問題把因果式的關(guān)于知識的解釋強(qiáng)加給關(guān)于數(shù)學(xué)對象的實在論立場”視為一種“左傾的時代精神的人為產(chǎn)物（artifact of leftwards Zeitgeist）”。其“左傾”一詞明顯呼應(yīng)哥德爾1961 年講稿中的分類，籠統(tǒng)代指一類偏向唯名論、經(jīng)驗論等特征的哲學(xué)傾向。）

綜上，一般（分析）哲學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)中近幾十年來的問題意識和慣性都更需要一類無結(jié)構(gòu)無前提的直接的直觀解讀，而有意無意地忽視了數(shù)學(xué)實踐經(jīng)驗等更多因素對數(shù)學(xué)直觀的塑造作用。近年來數(shù)學(xué)哲學(xué)文獻(xiàn)也時有意見意識到了之前主流趨勢的局限性，并更多地探索貝氏問題相關(guān)主題之外的可能性。本文亦可被視為參與這種探索的一次嘗試。接下來在第3 節(jié)中，我們將，如暫時懸置貝氏問題，解讀出哥德爾數(shù)學(xué)直觀概念超越直接接觸論解讀的更多細(xì)節(jié)。

3 哥德爾的數(shù)學(xué)認(rèn)識論概念的三個層次

參照哥德爾的“羅素篇”（[5]）“康托篇”（[6]）“吉布斯演講稿”（[8]）6“羅素篇”（常作Russell paper）指《羅素的數(shù)理邏輯》（Russell’s mathematical logic），“康托篇”（常作Cantor paper）指《什么是康托的連續(xù)統(tǒng)問題》（What is Cantor’s continuum problem?），“吉布斯演講稿”指《一些關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的基本定理以及它們的影響》（Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications）。以及王浩在《邏輯之旅》（Logical Journey，[15]）一書中所記錄的他與哥德爾訪談的片段和評述，本文認(rèn)為哥德爾關(guān)于數(shù)學(xué)對象的認(rèn)識論思想可以被分為“材料”“感知”“直觀”（data,perception,intuition）這三個遞進(jìn)的層次，并強(qiáng)調(diào)直觀層次的認(rèn)識并不直接。就三個層次間的邊界而言，材料–感知的區(qū)別是確立無疑的；而感知–直觀之間的界限則不總是分明，感知–直觀之間的分別似乎直到在他晚年與王浩的訪談記錄中才初步可辨別。7見以下引文。在一些語境下哥德爾似乎將直觀視為一類更為凝練、全面的被拔高了的感知，也即直觀或許也可被解讀為感知的一個子類而非完全不同的一個認(rèn)識論范疇。

以下引文可充當(dāng)這數(shù)學(xué)認(rèn)識論三個層次的確出現(xiàn)在哥德爾思想中的依據(jù)。

材料層次：

在感覺之外還有別的被直接給予的，這一點可（獨立于數(shù)學(xué)地）從以下事實中得出：我們的指向物理對象的理念中包含著這樣一種組分，它在性質(zhì)上不同于感覺或是感覺的組合，例如，關(guān)于【物理】對象本身的理念。另一方面，我們思考過程無法創(chuàng)造性質(zhì)上全新的要素，而只能將已得的東西加以重現(xiàn)和組合。顯然，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)下的那種“被給予”和我們經(jīng)驗觀念中所包含的這種抽象要素關(guān)聯(lián)緊密……

……如康德所論斷，這第二類材料（the data of this second kind）并不會因其不能和某種作用于我們感官的特定事物建立聯(lián)系就成為某種純?nèi)恢饔^的東西。毋寧說它們同樣也能反映著客觀現(xiàn)實的一個方面，不過和感覺相對照的是，它們之于我們的呈現(xiàn)也許源于我們和現(xiàn)實之間的另一種聯(lián)系。（王浩訪談哥德爾片段，[15]，第225 頁）

感知層次：

在我看來，設(shè)定此類對象（指類和概念）和設(shè)定物理實體同等正當(dāng)，并且我們也有同等充足的理由去相信它們的存在。它們之于一個令人滿意的數(shù)學(xué)系統(tǒng)是必要的，在相同的意義下正如物理實體之于一個令人滿意的感官知覺理論也是必要的，并且在兩種情形中我們都不可能將關(guān)于這些實體的命題闡釋為關(guān)于“材料”的命題，也即在后一情形中實際出現(xiàn)在感官知覺（中的東西）。（[4]，第128 頁）

“但是，盡管它們遠(yuǎn)離感官經(jīng)驗，我們?nèi)源_實關(guān)于集合論的對象也有著某種像是感知的東西，如好像（集合論）公理迫使我們接受它們?yōu)檎娴氖聦嵥娮C的那樣。我看不出我們有任何理由應(yīng)該對這種感知抱更少信心?！╗4]，第268 頁）

直觀層次：

……我看不出有任何理由需要對這種知覺，以及更普遍而言，即，對數(shù)學(xué)直觀【王浩補(bǔ)記：哥德爾自己提議用“以及更普遍而言，即，對數(shù)學(xué)直觀”更正“對數(shù)學(xué)直觀”】相較感官知覺抱更少信心【王浩補(bǔ)記：“在更普遍的意義上，也包括像從客機(jī)上觀看城市景觀所得的印象”——哥德爾于1975 年11 月增補(bǔ)】……

應(yīng)當(dāng)指出，數(shù)學(xué)直觀無需被理解成一種給出關(guān)于所思慮對象的直接知識的官能。毋寧說，就像物理的經(jīng)驗?zāi)菢樱覀兪窃谑橇硗庖恍┍恢苯咏o出的東西的基礎(chǔ)之上塑造出關(guān)于對象的觀念……”（哥德爾原文見[4]，第268 頁；方頭括號“【】”中王浩補(bǔ)充見[15]，第226 頁）

直觀不同于構(gòu)造；它是一眼看出。（王浩訪談片段，[15]，第302 頁）

不同于本文第2 節(jié)所描繪的一般哲學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)主流所偏重的“數(shù)學(xué)直觀”的直接接觸論的解讀，哥德爾所談?wù)摰臄?shù)學(xué)直觀和數(shù)學(xué)對象間的關(guān)系事實上在過程上并不直接。除去他如引文中直接明了地說“數(shù)學(xué)直觀無需被理解成……直接知識”，以下兩點思考進(jìn)一步說明了哥德爾不將數(shù)學(xué)直觀視為直接知識的理由。

首先，三個認(rèn)知層次中最直接地接觸到抽象的客觀實在的層次是最基礎(chǔ)的材料層次的（或者說“第二類材料”）而非最高層的“直觀”。哥德爾并未能正面地描述材料層次的內(nèi)容，而只是從側(cè)面論證了這類非感覺材料的存在，比如吉布斯演講稿中對“數(shù)學(xué)不是‘我們的自由創(chuàng)造’”這一論點的論證本質(zhì)上可以被理解為對“第二類材料”存在性的論證（[7]，第314–315 頁）。我們甚至看不到他將材料指向任何特定的抽象對象。哥德爾關(guān)于材料層次認(rèn)知內(nèi)容的緘默是可以理解的，如王浩的評論所提示（[15]，第226 頁）8王浩將第二類材料和我們在處理研究項目時的無意識思考聯(lián)系在一起。，材料層次的認(rèn)知參與構(gòu)成了我們關(guān)于數(shù)學(xué)知識在內(nèi)的抽象命題的知識，但它本身卻太過基礎(chǔ)而難以被進(jìn)一步有意識地反思。

再者，哥德爾在談到數(shù)學(xué)直觀時首要談到的是對于命題和事態(tài)的直觀，而且只在衍生的意義上將其指向?qū)ο?。哥德爾本人的文字和王浩的證言均可印證這一術(shù)語使用習(xí)慣。帕森斯（C.Parsons）廣受引用的對數(shù)學(xué)直觀的兩種基本區(qū)分——“關(guān)于事態(tài)的”（intuition that）和“關(guān)于對象的”（intuition of）直觀亦是對這一區(qū)別的表達(dá)。（[13]，第139 頁）特別地，他指出哥德爾認(rèn)為“關(guān)于集合論的對象也有著某種像是感知的東西”的這一關(guān)于對象的直觀也是基于“如可在【集合論】公理迫使我們接受它們?yōu)檎娴氖聦嵥娮C的那樣”9見本文上文的“感知層次”的哥德爾引文。如之前所說，感知層次和直觀層次之間的區(qū)分并不顯著，數(shù)學(xué)直觀亦常在文獻(xiàn)中被理解為感知的子集。的這一關(guān)于事態(tài)的直觀（[13]，第146 頁）。類似的觀點也見于（[17]，第19 頁），其中里格利（W.Wrigley）認(rèn)為“哥德爾的直觀概念……應(yīng)該純?nèi)坏刈髅}意義上理解（construed purely propositionally）……對象直觀的概念（the notion of objectual intuition）雖然也出現(xiàn)在哥德爾文字中，但并不在任何清楚的方面扮演重要的哲學(xué)角色?！?/p>

小結(jié)一下，直接接觸論的數(shù)學(xué)直觀解讀是對哥德爾實際的數(shù)學(xué)認(rèn)識論觀點的簡化和壓縮。前者一個過程所具備的功能其實原本分散在后者的三個層次中。與抽象現(xiàn)實直接作用的獲得性功能發(fā)生在材料層面；抽象對象的設(shè)定發(fā)生在感知層面；而臨場不經(jīng)思慮直接獲得事態(tài)的整體性洞見則是直觀層面的展現(xiàn)。直接接觸論的壓縮簡化將這些功能全都裝入了一個統(tǒng)一的“直觀”的名目中。這樣的簡化是否恰當(dāng)取決于我們的目的和關(guān)切的中心問題是什么。對于回應(yīng)貝氏問題，這樣的簡化能夠突出抽象–具體二元交界如何作用這一難點所在，因而很大程度上是恰當(dāng)?shù)摹２贿^倘若我們的目的在于較重視地再現(xiàn)哥德爾的數(shù)學(xué)直覺觀，特別是想要理解他心目中的數(shù)學(xué)直觀為什么可以被提升發(fā)展，我們就不能滿足于該簡化版本的理解。

顯然，哥德爾認(rèn)為我們的數(shù)學(xué)直觀既是可錯的也是可以被提升的。我們現(xiàn)在所討論的數(shù)學(xué)對象，在哥德爾口中被稱為“數(shù)學(xué)概念”，它被設(shè)定為獨立于人類心靈的創(chuàng)造，等待著數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)而非發(fā)明的客觀實在。與此文字相近但實質(zhì)相對立的表述是“直觀概念”（intuitive concept），哥德爾用它指我們用數(shù)學(xué)直觀所獲得關(guān)于數(shù)學(xué)概念的主觀認(rèn)識。哥德爾提到過許多事例來說明數(shù)學(xué)直觀可能犯錯并產(chǎn)生有瑕疵的直觀概念。比如，歷史上困擾素樸集合論的羅素悖論、看似違反物質(zhì)守恒的巴拿赫–塔斯基分球佯謬都被哥德爾歸結(jié)于直觀概念的偏差，而非數(shù)學(xué)概念本身的矛盾。而換一個角度來看，這些事例所帶來的挑戰(zhàn)在數(shù)學(xué)史上的成功解決也例證了數(shù)學(xué)直觀（或說作為其產(chǎn)物的直觀概念）一時的謬誤可以被驅(qū)散，對哥德爾而言，這意味著數(shù)學(xué)直觀更清晰和準(zhǔn)確地反映了客觀的數(shù)學(xué)概念。此外，我們還可以看到他的更多有關(guān)數(shù)學(xué)直觀（以及數(shù)學(xué)概念感知的）可提升性的表述。一方面，他將數(shù)學(xué)概念感知類比于物理感知，暗示類似于天文觀測活動中可借助望遠(yuǎn)鏡將遙遠(yuǎn)的恒星分辨得更清晰，數(shù)學(xué)概念考察活動或許也可借助合適的某種意義上的工具將概念的性質(zhì)分辨得更明晰。另一方面，他還明確地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)直觀的應(yīng)用需要深厚的（數(shù)學(xué)實踐）經(jīng)驗作指引。否則不加約束的濫用將有損于數(shù)學(xué)直觀作為我們探索數(shù)學(xué)概念的工具的可靠性。

將哥德爾的三個數(shù)學(xué)認(rèn)知層次壓縮簡化為一的直接接觸論解讀難以很好地兼顧上述數(shù)學(xué)直觀的可錯性和可提升性，特別是難以解釋經(jīng)驗為何會影響數(shù)學(xué)直觀的應(yīng)用是否合理和成功。直接接觸論解讀這一缺陷的論證如下：第一，倘若我們將簡化壓縮后的數(shù)學(xué)直觀視為更接近于第一層次的認(rèn)識過程，那么直觀所得的結(jié)果即是材料。那么數(shù)學(xué)直觀就根本沒有可錯性和可提升性可言，因為材料本身無所謂對錯。就好像實驗儀器產(chǎn)生的不加解釋的數(shù)據(jù)10“材料”和“數(shù)據(jù)”英文皆是data，后者亦可被理解為在一定格式限定下的材料。本身無所謂對錯，科學(xué)家基于這些材料綜合理論分析（包括考慮“實驗儀器有多可靠”“這些數(shù)據(jù)所用以描述的物理對象是什么”等問題）所做的判斷才有對錯可言。第二，就算我們將簡化壓縮后的數(shù)學(xué)直觀理解為更接近第二層或第三層的認(rèn)識過程，因而可被認(rèn)為設(shè)定了直觀的客觀對象（或命題）以使直觀概念的真假能被談?wù)?；我們也仍然需要讓?shù)學(xué)直觀能力的先決因素足夠靈活才跟得上個體數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)實踐經(jīng)驗的飛速成長。而如果像直接接觸論那樣傾向于認(rèn)為數(shù)學(xué)直觀（即便存在）也只取決于某些必須顯現(xiàn)于群體的、器質(zhì)性的、變動相對緩慢的要素，那么這樣壓縮簡化的數(shù)學(xué)直觀恐怕還是很難像哥德爾所期待的那樣可以并需要受到經(jīng)驗的引導(dǎo)。

4 以非直接解讀為基礎(chǔ)的兩例數(shù)學(xué)哲學(xué)研究進(jìn)路

我們在第3 節(jié)試著與一度流行的數(shù)學(xué)直觀的直接接觸論解讀作對抗，將哥德爾的數(shù)學(xué)概念認(rèn)識論重構(gòu)出三個層次，并將數(shù)學(xué)直觀列為容許數(shù)學(xué)實踐經(jīng)驗要素參與的第三層次。本節(jié)我們將看到這種認(rèn)識論層次上的膨脹和復(fù)雜化并非不必要的吹毛求疵，而是的確可以至少在數(shù)學(xué)哲學(xué)上產(chǎn)生后果。為此，本節(jié)將以專家直觀和構(gòu)成實在論這兩個看起來截然不同的數(shù)學(xué)哲學(xué)進(jìn)路為例解釋它們?nèi)绾闻c三層次的數(shù)學(xué)概念認(rèn)識論相容。實際上，這兩例進(jìn)路也都從各自的角度支持了數(shù)學(xué)–科學(xué)平行論。

4.1 專家直觀

首先我們以查德諾夫（E.Chudnoff）的論文（[2]）為例來描述”專家直觀”（ex pert intuition）這一被當(dāng)代一般哲學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)主流有意或無意地忽視11如本文第2 節(jié)所提到的。的理解數(shù)學(xué)直觀的進(jìn)路是怎么樣的，以及它如何與我們所重構(gòu)的哥德爾的三層次的數(shù)學(xué)認(rèn)識論相關(guān)。查德諾夫題為《探尋直觀》的論文所探尋的“直觀”并不限定于數(shù)學(xué)直觀，而是希望將包括物理學(xué)、鳥類學(xué)等自然科學(xué)實踐中的直觀都包含進(jìn)的專家直觀的范疇加以探討。不過從他所引證的例子便可以看出，數(shù)學(xué)直觀不僅被他包含在內(nèi)，而且充當(dāng)了他的整套專家直觀系統(tǒng)的原型與核心。統(tǒng)觀查德諾夫的論文，他對專家直觀的主干由現(xiàn)象（學(xué)）12查德諾夫所說的“現(xiàn)象學(xué)”并不專指本文4.2 小節(jié)所探討的胡塞爾現(xiàn)象學(xué)，而只是泛指“感官感知”“直觀”所向我們呈現(xiàn)出的表面的現(xiàn)象特征。本文在且僅在4.1 小節(jié)的所有“現(xiàn)象學(xué)”均屬此列，以下不再專門注明。以及結(jié)構(gòu)兩個方面構(gòu)成。

現(xiàn)象學(xué)層面即專業(yè)直觀向我們呈現(xiàn)出來的一些表現(xiàn)方式上的特征。具體而言，他首先給出了三種專家直觀的表現(xiàn)方式：歷難而得（hard won）、可提升（improved）、專家指引而得（expertly guided）。（[2]，第3 頁）所謂“歷難而得”即專家直觀所提供給我們的結(jié)果未見得必須要像主流觀點所認(rèn)為的那樣可以被未經(jīng)訓(xùn)練過的頭腦也一眼看出，而是也可以經(jīng)過一定推導(dǎo)和努力之后才顯得直觀。對此，查德諾夫援引了數(shù)學(xué)家克萊因（F.Klein）的文字，主張對數(shù)學(xué)對象直觀式通透的理解應(yīng)該是艱辛的數(shù)學(xué)研究所追尋的目標(biāo)而非僅是起點。13在具體例子上，查德諾夫則以不等式運算舉例：如a 0 的推導(dǎo)雖然也不難，并且也顯得直觀上自明，但其自明性的顯現(xiàn)所要求的基礎(chǔ)就稍微更多一些。“可提升”意味著專家直觀的能力可經(jīng)訓(xùn)練而獲得提升。對此，他援引數(shù)學(xué)家曼德博（B.Mandelbrot）關(guān)于填滿空間的皮亞諾曲線是否符合直觀與他人論辯的觀點，主張皮亞諾曲線初始顯得違背直觀并不能徹底否定數(shù)學(xué)直觀的可靠性，反而說明了數(shù)學(xué)直觀需經(jīng)訓(xùn)練的提升來看懂更多數(shù)學(xué)事實?！皩＜抑敢谩眲t意味著未經(jīng)歷練的特定領(lǐng)域入門者也可以在專家的幫助指點下通過直觀看到相應(yīng)結(jié)果。對此，他以觀鳥者可借專家指導(dǎo)成功感知到之前被忽視的特定鳥類的特征而成功辨別其種類為例來說明。查德諾夫認(rèn)為直觀的這三種現(xiàn)象學(xué)表現(xiàn)相互關(guān)聯(lián)，并且其實例也往往重合在一起。除了這三個被單獨列出的，更偏重“專家”這一定語的專家直觀的現(xiàn)象學(xué)表現(xiàn)，查德諾夫還從相關(guān)文獻(xiàn)中提取出了更多偏向“直觀”的我們所熟悉的現(xiàn)象學(xué)特征。比如，直觀結(jié)果對我們所呈現(xiàn)出的“被給予的”（given）特征，以及（援引自哥德爾的）直觀結(jié)果“迫使我們接受它為真”（forceful or pushy）。正是在“現(xiàn)象學(xué)”的層面上，查德諾夫主張直觀與（感官）知覺（perception）的相似性；與這相似的兩者相對立，推理（reasoning）這一認(rèn)知方式所呈現(xiàn)的“現(xiàn)象學(xué)”（phenomenological）特征則是被推出的命題附帶著一條支撐它的命題串。換句話說，他將數(shù)學(xué)–科學(xué)平行論的原點放在現(xiàn)象層面上。

現(xiàn)象學(xué)之下，查德諾夫還試圖為專家直觀的內(nèi)在結(jié)構(gòu)提供一定框架性說明，特別是在此框架上為其中可提升的直觀提供說明。查德諾夫延續(xù)了上世紀(jì)70 年代以來（哲學(xué)中小眾卻一直存在著的）專家直觀研究進(jìn)路的傳統(tǒng)，將專家直觀解釋為一種在復(fù)雜的問題求解（problem solving）情景下（在問題空間中）一眼看出可行解的能力。舉例而言，我們可以將其理解為在漢諾塔謎題（的可做操作）中快速“看出”求解路徑、圍棋對弈（的可落子方式）中快速看出致勝策略的能力。對于這樣一些問題求解情形，查德諾夫匯總了三種理解專家直觀作用的方式。第一種方式將專家直觀的作用理解為狹義地14即不像第三種方式那樣徹底地重構(gòu)問題空間，而只是在固定空間的前提下優(yōu)化策略。改善搜尋解的策略。第二種方式將專家直觀的作用理解成為所面對的問題配置一個方便索引的知識庫，從而在面對待解問題時能夠能夠更快速地比對已知的相似情景實現(xiàn)求解。第三種方式則將專家直觀的作用理解為重構(gòu)整個待搜尋的解空間。

正是按照這第三種方式的理解，查德諾夫說明了（剛剛提及的）專家直觀在曼德博主張的提升后的直觀可以接納（填滿平面的）皮亞諾曲線這一個例中的運作方式。在經(jīng)受專業(yè)訓(xùn)練洗禮前的心靈所依靠的直觀傾向于在視覺想象中追蹤一個點的運動軌跡來確定一條曲線，這種被局限住的探尋曲線（的問題空間）的方式無疑將能夠填滿平面的曲線解排除在外；而經(jīng)受過訓(xùn)練的心靈則會將探尋空間擴(kuò)大到對能夠視覺想象的一系列曲線求極限的結(jié)果，從而將皮亞諾曲線納入求解范圍，并在看到它（的描述）時直觀地一眼確定它就是一則可行解。

綜上，本文認(rèn)為查德諾夫所述的包括專家直觀在內(nèi)的直觀在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的限制很有希望成功地貼合作為（第3 節(jié)所述的）哥德爾的第三數(shù)學(xué)認(rèn)知層次的數(shù)學(xué)直觀。這一進(jìn)路的一個重要優(yōu)點15至少對發(fā)展哥德爾思想而言。在于它為數(shù)學(xué)實踐經(jīng)驗明確地安排了一個位置，解釋了經(jīng)驗如何通過專家直觀的形式使得數(shù)學(xué)直觀得到提升，這與哥德爾所支持的數(shù)學(xué)直觀的可提升性相符。同時，一個相對次要的優(yōu)點是這一進(jìn)路支持并豐富了數(shù)學(xué)直觀和感官認(rèn)知在“現(xiàn)象學(xué)”方面的相似性（特別是對專家直觀的說明事實上既適用于數(shù)學(xué)也適用于自然科學(xué)領(lǐng)域），從一個側(cè)面鞏固了哥德爾主張的數(shù)學(xué)–科學(xué)平行論。要說到潛在的不足之處，其一或許在于專家直觀被解釋為一種幫助快速問題求解的能力與哥德爾的關(guān)于數(shù)學(xué)命題（并在衍生意義下關(guān)乎數(shù)學(xué)對象）的數(shù)學(xué)直觀仍有一定空隙，因為后者并沒有明顯地預(yù)設(shè)任何有待解決的問題。

不過，我們?nèi)杂邢Ｍ钛a(bǔ)這一不足，可以想見，一個數(shù)學(xué)家群體若能憑借專家直觀迅速地解決一個個證明的問題，則他們對于什么樣的公理能夠避免（已知的）矛盾、具備符合直觀的等價表述、推導(dǎo)出重要的數(shù)學(xué)定理等事項都能輕易地做出判斷。換句話說，發(fā)達(dá)的專家直觀或許將同時有助于數(shù)學(xué)家認(rèn)識到某條公理的有效的內(nèi)在辯護(hù)和外在辯護(hù)，繼而在直觀上接受這則公理，拓寬對該公理所描述的數(shù)學(xué)對象的直觀認(rèn)識。由此與哥德爾所說的關(guān)乎命題和數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)直觀更緊密地關(guān)聯(lián)在一起?？紤]數(shù)學(xué)公理辯護(hù)已是題外話，我們點到即止。

4.2 蒂森以現(xiàn)象學(xué)論述為基礎(chǔ)發(fā)展哥德爾實在論所得的構(gòu)成實在論

哥德爾對胡塞爾（E.Husserl）現(xiàn)象學(xué)16本文4.2 小節(jié)中出現(xiàn)的“現(xiàn)象學(xué)”一詞與4.1 小節(jié)中同一詞語意味不同，見4.1 小節(jié)開頭的注釋12。的濃厚興趣是一個確定且一段時間以來廣受討論的事實（比如[19]，第34 頁）。據(jù)王浩回憶，哥德爾至少從1959 年開始曾傾注可觀的精力閱讀現(xiàn)象學(xué)著作，并曾推薦他閱讀胡塞爾的《觀念》（Ideas）和《笛卡爾式沉思》（Cartesian Meditations）等著作（[15]，第164 頁）?，F(xiàn)象學(xué)研究的痕跡集中地體現(xiàn)在哥德爾的1961 年講稿《從哲學(xué)角度看數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的現(xiàn)代發(fā)展》（The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy）中（如[9]，第371 頁）。遺憾的是，哥德爾的在現(xiàn)象學(xué)上的特殊興趣和所投入精力落于文字的體現(xiàn)也僅限于他這篇生前未曾發(fā)表或宣講的講稿，未得進(jìn)一步展開。蒂森（R.Tieszen）近年在《追隨哥德爾》一書中以填補(bǔ)這個遺憾為任，“基于他（哥德爾）自己的哲學(xué)觀點，以及特別是他如何運用胡塞爾的先驗現(xiàn)象學(xué)，來給出一套支持關(guān)于邏輯和數(shù)學(xué)的實在論和萊布尼茲式理性主義的一般框架”，從而達(dá)到了一種他稱之為“構(gòu)成實在論”（constituted platonism）的主張。（[14]，第v、139頁）他宣稱這是一種既在最大限度上忠于哥德爾，又能站得住腳（特別是經(jīng)受貝氏問題詰問）的實在論立場。

在本文的視野下，蒂森的構(gòu)成實在論可以說是貫徹哥德爾的分層級的數(shù)學(xué)認(rèn)識論的絕佳數(shù)學(xué)哲學(xué)實例。他的構(gòu)成實在論不僅明確地將數(shù)學(xué)直觀確認(rèn)為一種非直接的高層級的認(rèn)知行為，而且切實地在（胡塞爾）現(xiàn)象學(xué)的意義上支持了數(shù)學(xué)–科學(xué)平行論。在此，我將不得不僅在最低限度上描述我所關(guān)注和理解的構(gòu)成實在論的主要論點，因為完整而準(zhǔn)確地展開其構(gòu)成實在論（如他著作所示）需要大量鋪墊解釋現(xiàn)象學(xué)那自成一套且望而生畏的術(shù)語體系并結(jié)合例子在這套體系內(nèi)重構(gòu)出哥德爾的思想，以至于至少需額外花費數(shù)篇文章的篇幅。因此還是建議感興趣的讀者自行參閱相關(guān)原著。

相較于經(jīng)典的數(shù)學(xué)實在論–反實在論語境下爭論數(shù)學(xué)對象是否（像物理對象那樣）獨立于人的心靈而存在從而靜待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和認(rèn)識，是否不隨主觀意愿而可被任意塑造，是否不隨人類心靈的生滅而生滅，蒂森的構(gòu)造實在論反轉(zhuǎn)了從對象到現(xiàn)象的優(yōu)先順序，以向心靈17在此忽略現(xiàn)象學(xué)術(shù)語中一些關(guān)于“單子”“先驗主體”等更精細(xì)的代指主體的術(shù)語而籠統(tǒng)地以“心靈“作主語。呈現(xiàn)的現(xiàn)象和它的思想行為為本位，把包括物理對象和數(shù)學(xué)對象在內(nèi)的所有對象都視為因這些現(xiàn)象和行為（本身的指向性或說意向性）（intentionality）而被（有意識或無意識地）設(shè)定的產(chǎn)物。（比如見[14]，第97–98 頁）

在構(gòu)成實在論的立場下，盡管數(shù)學(xué)對象無法像經(jīng)典的實在論所主張的那樣被斷定徹底脫離心靈而存在（蒂森稱之為不能斷定“心靈獨立性1”）。但相應(yīng)地，該立場亦認(rèn)為包括物理對象在內(nèi)的其它所有對象也都被認(rèn)為無法被斷定可以徹底脫離心靈而存在，從而令數(shù)學(xué)對象和物理對象仍像經(jīng)典實在論中那樣具備同等程度的實在性。此外，雖然從根本上放棄了論證數(shù)學(xué)對象具備“心靈獨立性1”的可能性，蒂森認(rèn)為我們?nèi)阅転樗耸刈　靶撵`獨立性2”，該性質(zhì)大體上意味著圍繞這些“獨立的2”對象的現(xiàn)象或說思想行為不能被任意地操縱而只能在很大程度上如其所是地被心靈所接受。（比如見[14]，第103、155–156 頁）

那么數(shù)學(xué)直觀在構(gòu)成實在論的理論中又扮演什么角色呢？蒂森沿用胡塞爾的定義將直觀理解為“意向（或說意圖）的滿足”（fulfillment of intention）。（[14]，第100、157 頁）我們剛剛提到構(gòu)成實在論認(rèn)為包括數(shù)學(xué)對象在內(nèi)的所有對象都是現(xiàn)象和思想行為內(nèi)在的“意向性”的設(shè)定。用胡塞爾經(jīng)典的“曲繩”例子來解釋，當(dāng)我們看到一段彎曲的繩狀物體時，我們便接收到了該現(xiàn)象，并開始了解釋它的思想行為。我們或許會產(chǎn)生“這是一條蛇”的想法。該想法具有意向性，因而它能（設(shè)定并）指向某個對象。在此例，它特別地指向了“蛇”這一對象，也即它具備的是“指向蛇”這一意向。如果我們走近一步，從而更仔細(xì)地觀看該繩狀物體，我們所接收的更多現(xiàn)象或許會揭示它的確如我們之前所料是一條蛇，或許揭示它只是一段像蛇的麻繩。在前一種可能中，初始的“這是一條蛇”的意向便被做實或說“滿足”了，而在后一種可能中，它便“落空”了，并很快被我們拋諸腦后。有關(guān)數(shù)學(xué)對象的直觀亦然，并且來自直觀的支撐對于圍繞某對象展開的科學(xué)研究意義重大。（[14]，第100 頁）蒂森以ZFC 集合論公理系統(tǒng)為例說明，倘若沒有“層壘的集合觀念”（the conception of iterative set）為該公理系統(tǒng)做直觀上的支撐，那么該公理系統(tǒng)或許就只能淪為空洞的符號串演算并很快淡出數(shù)學(xué)研究實踐的視野。（[14]，第164 頁）而且，蒂森延續(xù)了我們所強(qiáng)調(diào)的哥德爾分層級的數(shù)學(xué)認(rèn)識論觀點，把直觀視為一種非直接的、高于材料層次的思想行為，即是說直觀是“被奠基的”（founded）。（[14]，第170 頁）正如剛剛提到的“曲繩”一例那樣，最終或驗證或否決“這是一條蛇”的意向的直觀實際上不同于混沌無定型的原始（感官）現(xiàn)象材料的輸入，而是奠基于這些（“低層認(rèn)知活動”）之上的高層思想行為。蒂森主張數(shù)學(xué)直觀也應(yīng)被理解為一種奠基在更低層認(rèn)知活動之上的思想行為（無論它所依賴的材料究竟是什么）。

最后，考慮到數(shù)學(xué)–科學(xué)平行論，經(jīng)過以上介紹我們不難看出有關(guān)數(shù)學(xué)對象和物理對象在對象設(shè)定本身（其存在依據(jù)）、心靈獨立性2、直觀的作用方式上都是鏡像般相似的。毫不意外的是，該平行論在蒂森著作中可以繼續(xù)延伸到本文所沒觸及的對科學(xué)和數(shù)學(xué)的現(xiàn)象學(xué)分析的方方面面。（[14]，第170–171 頁）可以說，蒂森的現(xiàn)象學(xué)導(dǎo)向的構(gòu)成實在論，以懸置整個舊有本體論框架的方式，懸置了（原版）貝氏問題中物理對象憑借實體和認(rèn)知者間的相對明晰的因果關(guān)聯(lián)所建立的相對于數(shù)學(xué)對象的優(yōu)勢，讓物理對象和數(shù)學(xué)對象回到了被現(xiàn)象和思想行為意向性同時設(shè)定的同一起跑線。既然數(shù)學(xué)對象和物理對象都是被心靈（不完全自覺地）非任意地設(shè)定的對象，那么它們和心靈之間似乎也就不存在什么不可逾越的障礙了。

5 結(jié)語

在本文中我們分三階段來抗衡本文稱之為“直接接觸論”的對于數(shù)學(xué)直觀的流行解讀，重新強(qiáng)調(diào)了哥德爾認(rèn)為數(shù)學(xué)直觀并非必須被理解為一種“直接”知識的重要觀點。第一階段，我們簡要回顧了“直接接觸論”之所以占據(jù)主流的一些背景。第二階段，我們參考哥德爾原文說明他的數(shù)學(xué)對象認(rèn)識論概念事實上可以被分為“材料”“感知”“直觀”三個層次，其中“直觀”是最高最不直接的一個層次。第三階段，我們以專家直觀、構(gòu)成實在論這兩個近年來的數(shù)學(xué)哲學(xué)研究主題為例展示了堅持哥德爾的非直接的數(shù)學(xué)直觀理解在哲學(xué)上豐富的發(fā)展空間，從而證實堅持這一區(qū)分事實上是有意義的。

最后還應(yīng)補(bǔ)充的是，本文意在抗衡“直接接觸論”而非直接否定這種解讀，或者更主要的是否定這種解讀背后的關(guān)于想要探求我們?nèi)绾潍@得數(shù)學(xué)知識的哲學(xué)和科學(xué)問題的合理性和可行性。就像哥德爾也曾對“我們?nèi)绾谓邮栈虍a(chǎn)生支撐數(shù)學(xué)的基本材料”感到好奇，并猜測我們或許有專門的官能承擔(dān)這一功能并且和處理語言的官能緊密聯(lián)系在一起。本文所傾向的態(tài)度或許更接近于王浩抗衡歸約主義（reductionist）的想法：盡管我們對數(shù)學(xué)對象（甚至物理對象也是）的認(rèn)識過程的底層機(jī)制的知識還遠(yuǎn)不足以將這些過程歸約為一些物理–化學(xué)過程，從而對該認(rèn)識過程的真實性、可靠性給出公允的評判（[16]，第3–4 頁），可是我們也應(yīng)當(dāng)看到，至少在不那么基礎(chǔ)的層次，在我們能意識得到的現(xiàn)象范圍內(nèi)，數(shù)學(xué)和自然科學(xué)有著包括客觀性在內(nèi)的頗多無法否認(rèn)的相似性。而在數(shù)學(xué)實踐已展現(xiàn)出來的現(xiàn)象層面傾注更多精力，用理解關(guān)于某客觀對象的自然科學(xué)的方式來理解數(shù)學(xué)，或有望能在一般的數(shù)學(xué)哲學(xué)或更特定的公理辯護(hù)問題上產(chǎn)生出不少洞見。哪怕有朝一日，認(rèn)知科學(xué)的進(jìn)展真能（像反實在論者所期望的那樣）完全令人信服地否定包括數(shù)學(xué)直觀在內(nèi)的所有抽象直觀的真實性，我想這些數(shù)學(xué)–科學(xué)之間現(xiàn)象層面的類比研究所觀察出的模式以及總結(jié)出的方法論也不至于轟然倒塌，正如牛頓力學(xué)所描述的現(xiàn)象的規(guī)律并未被相對論徹底摧毀，而是更多被更精確地再解釋。18此外，即便反實在論如數(shù)學(xué)虛構(gòu)主義（fictionalism of mathematics），也無法否認(rèn)數(shù)學(xué)對象“有用”以及“可被設(shè)定為科學(xué)對象加以研究”的現(xiàn)象層面事實。比如見（[20]，第2 頁）。也正如王浩所言，“上層建筑”（super structure）自有相對于多種可能的下層基礎(chǔ)的穩(wěn)定性。